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1. 约分$\frac{-xy^2}{(2xy)^2}$的结果是（
A.$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4x}$
C.$-\frac{1}{4}x$
D.$-\frac{1}{2x}$
B
）A.$-\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4x}$
C.$-\frac{1}{4}x$
D.$-\frac{1}{2x}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这个分式约分的问题，首先需要先化简分母中的积的乘方运算，再找出分子和分母的公因式，将公因式约去后即可得到最简结果。思考步骤：①先根据积的乘方运算法则计算分母$(2xy)^2$的结果；②将化简后的分母代入原式，确定分子与分母的公因式；③约去公因式，注意保留符号，得到最终约分结果，对应选项即可。
【解析】
第一步：计算分母的乘方，根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2xy)^2=2^2 · x^2 · y^2=4x^2y^2$
第二步：代入原式，得到：
$\frac{-xy^2}{(2xy)^2}=\frac{-xy^2}{4x^2y^2}$
第三步：约分，分子分母的公因式为$xy^2$，约去公因式后：
$\frac{-xy^2 ÷ xy^2}{4x^2y^2 ÷ xy^2}=-\frac{1}{4x}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是先正确完成乘方运算，再找准公因式约分，运算时要注意不要遗漏系数的乘方，也不要漏约相同的字母因式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决这个分式约分的问题，首先需要先化简分母中的积的乘方运算，再找出分子和分母的公因式，将公因式约去后即可得到最简结果。思考步骤：①先根据积的乘方运算法则计算分母$(2xy)^2$的结果；②将化简后的分母代入原式，确定分子与分母的公因式；③约去公因式，注意保留符号，得到最终约分结果，对应选项即可。
【解析】
第一步：计算分母的乘方，根据积的乘方运算法则：$(ab)^n=a^n b^n$，可得：
$(2xy)^2=2^2 · x^2 · y^2=4x^2y^2$
第二步：代入原式，得到：
$\frac{-xy^2}{(2xy)^2}=\frac{-xy^2}{4x^2y^2}$
第三步：约分，分子分母的公因式为$xy^2$，约去公因式后：
$\frac{-xy^2 ÷ xy^2}{4x^2y^2 ÷ xy^2}=-\frac{1}{4x}$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
积的乘方运算；分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题的关键是先正确完成乘方运算，再找准公因式约分，运算时要注意不要遗漏系数的乘方，也不要漏约相同的字母因式，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
2. 下列分式是最简分式的是 （
D
）答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式是最简分式。解题时需逐个分析选项的分子、分母是否存在公因式，能约分的就不是最简分式，不能约分的即为正确答案。
【解析】
最简分式的判定标准为：分式的分子与分母不含公因式，我们逐一分析选项：
1. 选项A：$-\frac{ab}{ca}$的分子和分母有公因式$a$，约分后为$-\frac{b}{c}$，不是最简分式；
2. 选项B：$\frac{a+b}{a^2-b^2}$中，分母可利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，分子分母有公因式$a+b$，约分后为$\frac{1}{a-b}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{2}{2x+4}$中，分母提取公因式2后为$2(x+2)$，分子分母有公因式2，约分后为$\frac{1}{x+2}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\frac{ab}{a+b}$的分子因式为$a、b$，分母$a+b$不存在与分子共有的因式，无法约分，是最简分式。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判定；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简分式概念的理解，解题的关键是能正确对分子、分母进行因式分解，判断二者是否有公因式，熟练掌握常见的因式分解方法能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式是最简分式。解题时需逐个分析选项的分子、分母是否存在公因式，能约分的就不是最简分式，不能约分的即为正确答案。
【解析】
最简分式的判定标准为：分式的分子与分母不含公因式，我们逐一分析选项：
1. 选项A：$-\frac{ab}{ca}$的分子和分母有公因式$a$，约分后为$-\frac{b}{c}$，不是最简分式；
2. 选项B：$\frac{a+b}{a^2-b^2}$中，分母可利用平方差公式分解为$(a+b)(a-b)$，分子分母有公因式$a+b$，约分后为$\frac{1}{a-b}$，不是最简分式；
3. 选项C：$\frac{2}{2x+4}$中，分母提取公因式2后为$2(x+2)$，分子分母有公因式2，约分后为$\frac{1}{x+2}$，不是最简分式；
4. 选项D：$\frac{ab}{a+b}$的分子因式为$a、b$，分母$a+b$不存在与分子共有的因式，无法约分，是最简分式。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
最简分式判定；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对最简分式概念的理解，解题的关键是能正确对分子、分母进行因式分解，判断二者是否有公因式，熟练掌握常见的因式分解方法能提升解题效率。
【难度系数】
0.8
例 不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数。
(1)$\dfrac{-x^2}{x^2 - y}$；
(2)$\dfrac{b}{-a^2 - a}$；
(3)$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}$；
(4)$-\dfrac{3m - m^2}{1 - m^2}$。
归纳总结
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
(1)$\dfrac{-x^2}{x^2 - y}$；
(2)$\dfrac{b}{-a^2 - a}$；
(3)$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}$；
(4)$-\dfrac{3m - m^2}{1 - m^2}$。
归纳总结
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。
答案
(1) $\frac{-x^2}{x^2 - y}=-\frac{x^2}{x^2 - y}$。
(2) $\frac{b}{-a^2 - a}=-\frac{b}{a^2 + a}$。
(3) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}=\frac{-x^2 - x + 1}{-x^2 + x + 1}=\frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$。
(4) $-\frac{3m - m^2}{1 - m^2}=-\frac{-m^2 + 3m}{-m^2 + 1}=-\frac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$。
(2) $\frac{b}{-a^2 - a}=-\frac{b}{a^2 + a}$。
(3) $\frac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}=\frac{-x^2 - x + 1}{-x^2 + x + 1}=\frac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$。
(4) $-\frac{3m - m^2}{1 - m^2}=-\frac{-m^2 + 3m}{-m^2 + 1}=-\frac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。2. 对每个分式，分别找到分子、分母中次数最高的项，判断其系数的正负。3. 若最高次项系数为负，通过给对应部分提取负号，结合符号法则调整符号，保证仅改变两个位置的符号，维持分式值不变，最终将分子、分母最高次项的系数都化为正数。
【解析】
(1) 该分式分子最高次项为$-x^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$x^2$，系数为正。将分子的负号提到分式本身的位置，仅改变分子和分式本身两个符号，分式值不变：
$\dfrac{-x^2}{x^2 - y}=-\dfrac{x^2}{x^2 - y}$
(2) 该分式分母最高次项为$-a^2$，系数为$-1$，分子最高次项为$b$，系数为正。给分母整体提取负号，将负号提到分式本身的位置，仅改变分母和分式本身两个符号，分式值不变：
$\dfrac{b}{-a^2 - a}=\dfrac{b}{-(a^2+a)}=-\dfrac{b}{a^2 + a}$
(3) 该分式分子最高次项为$-x^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$-x^2$，系数为$-1$。给分子、分母分别提取负号，同时改变分子、分母两个符号，分式值不变：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}=\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{-(x^2 - x - 1)}=\dfrac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$
(4) 先整理分子、分母的最高次项，分子最高次项为$-m^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$-m^2$，系数为$-1$。给分子、分母分别提取负号，同时改变分子、分母两个符号，分式值不变，再保留原式前的负号：
$-\dfrac{3m - m^2}{1 - m^2}=-\dfrac{-(m^2 - 3m)}{-(m^2 - 1)}=-\dfrac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x^2}{x^2 - y}$；(2) $-\dfrac{b}{a^2 + a}$；(3) $\dfrac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$；(4) $-\dfrac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题属于分式符号变换的基础题型，核心是正确运用分式的符号变换规则，解题时需先准确识别分子、分母的最高次项，注意仅同时改变三个符号中的任意两个才能保证分式的值不变，避免因符号变换错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 先回忆分式的符号法则：分式的分子、分母、分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变。2. 对每个分式，分别找到分子、分母中次数最高的项，判断其系数的正负。3. 若最高次项系数为负，通过给对应部分提取负号，结合符号法则调整符号，保证仅改变两个位置的符号，维持分式值不变，最终将分子、分母最高次项的系数都化为正数。
【解析】
(1) 该分式分子最高次项为$-x^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$x^2$，系数为正。将分子的负号提到分式本身的位置，仅改变分子和分式本身两个符号，分式值不变：
$\dfrac{-x^2}{x^2 - y}=-\dfrac{x^2}{x^2 - y}$
(2) 该分式分母最高次项为$-a^2$，系数为$-1$，分子最高次项为$b$，系数为正。给分母整体提取负号，将负号提到分式本身的位置，仅改变分母和分式本身两个符号，分式值不变：
$\dfrac{b}{-a^2 - a}=\dfrac{b}{-(a^2+a)}=-\dfrac{b}{a^2 + a}$
(3) 该分式分子最高次项为$-x^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$-x^2$，系数为$-1$。给分子、分母分别提取负号，同时改变分子、分母两个符号，分式值不变：
$\dfrac{1 - x - x^2}{1 + x - x^2}=\dfrac{-(x^2 + x - 1)}{-(x^2 - x - 1)}=\dfrac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$
(4) 先整理分子、分母的最高次项，分子最高次项为$-m^2$，系数为$-1$，分母最高次项为$-m^2$，系数为$-1$。给分子、分母分别提取负号，同时改变分子、分母两个符号，分式值不变，再保留原式前的负号：
$-\dfrac{3m - m^2}{1 - m^2}=-\dfrac{-(m^2 - 3m)}{-(m^2 - 1)}=-\dfrac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x^2}{x^2 - y}$；(2) $-\dfrac{b}{a^2 + a}$；(3) $\dfrac{x^2 + x - 1}{x^2 - x - 1}$；(4) $-\dfrac{m^2 - 3m}{m^2 - 1}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的符号法则
【点评】
本题属于分式符号变换的基础题型，核心是正确运用分式的符号变换规则，解题时需先准确识别分子、分母的最高次项，注意仅同时改变三个符号中的任意两个才能保证分式的值不变，避免因符号变换错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)$\frac{-5y}{-x^2}$；(2)$\frac{-a}{2b}$；(3)$\frac{4m}{-3n}$；(4)$-\frac{-x}{2y}$。
(1)$\frac{-5y}{-x^2}$；(2)$\frac{-a}{2b}$；(3)$\frac{4m}{-3n}$；(4)$-\frac{-x}{2y}$。
答案
解：
根据分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身的符号中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变。
(1) $\frac{-5y}{-x^2} = \frac{5y}{x^2}$
(2) $\frac{-a}{2b} = -\frac{a}{2b}$
(3) $\frac{4m}{-3n} = -\frac{4m}{3n}$
(4) $-\frac{-x}{2y} = \frac{x}{2y}$
根据分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身的符号中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变。
(1) $\frac{-5y}{-x^2} = \frac{5y}{x^2}$
(2) $\frac{-a}{2b} = -\frac{a}{2b}$
(3) $\frac{4m}{-3n} = -\frac{4m}{3n}$
(4) $-\frac{-x}{2y} = \frac{x}{2y}$
解析
【分析】
解决这类问题首先要掌握分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号中，同时改变任意两处的符号，分式的值保持不变。解题时我们逐个观察每个分式中负号的位置，通过调整两处负号，在保证分式值不变的前提下，使分子和分母都不含负号即可。
【解析】
根据分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身的符号中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变。
(1) 同时改变分子、分母的负号：$\frac{-5y}{-x^2} = \frac{5y}{x^2}$
(2) 同时改变分子和分式本身的符号：$\frac{-a}{2b} = -\frac{a}{2b}$
(3) 同时改变分母和分式本身的符号：$\frac{4m}{-3n} = -\frac{4m}{3n}$
(4) 同时改变分式本身和分子的符号：$-\frac{-x}{2y} = \frac{x}{2y}$
【答案】
(1)$\frac{5y}{x^2}$；(2)$-\frac{a}{2b}$；(3)$-\frac{4m}{3n}$；(4)$\frac{x}{2y}$
【知识点】
分式的符号法则
【点评】
本题是分式符号化简的基础题，核心考查对分式符号性质的应用，解题注意不能只改变三处符号中的任意一处，否则会改变分式的值，只要准确判断负号位置、细心调整即可正确解答。
【难度系数】
0.8
解决这类问题首先要掌握分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身这三处的符号中，同时改变任意两处的符号，分式的值保持不变。解题时我们逐个观察每个分式中负号的位置，通过调整两处负号，在保证分式值不变的前提下，使分子和分母都不含负号即可。
【解析】
根据分式的符号性质：分式的分子、分母、分式本身的符号中，同时改变其中任意两个的符号，分式的值不变。
(1) 同时改变分子、分母的负号：$\frac{-5y}{-x^2} = \frac{5y}{x^2}$
(2) 同时改变分子和分式本身的符号：$\frac{-a}{2b} = -\frac{a}{2b}$
(3) 同时改变分母和分式本身的符号：$\frac{4m}{-3n} = -\frac{4m}{3n}$
(4) 同时改变分式本身和分子的符号：$-\frac{-x}{2y} = \frac{x}{2y}$
【答案】
(1)$\frac{5y}{x^2}$；(2)$-\frac{a}{2b}$；(3)$-\frac{4m}{3n}$；(4)$\frac{x}{2y}$
【知识点】
分式的符号法则
【点评】
本题是分式符号化简的基础题，核心考查对分式符号性质的应用，解题注意不能只改变三处符号中的任意一处，否则会改变分式的值，只要准确判断负号位置、细心调整即可正确解答。
【难度系数】
0.8
任务四 掌握分式的化简求值
阅读下列解题过程，完成下列探究。
若$\frac{a}{b}=-2$，求$\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab -7b^2}$的值。
解：因为$\frac{a}{b}=-2$，所以$a=-2b$。
所以$\frac{a^2 -2ab -3b^2}{a^2 -6ab -7b^2}$
$=\frac{(-2b)^2 -2(-2b)b -3b^2}{(-2b)^2 -6(-2b)b -7b^2}=\frac{5b^2}{9b^2}=\frac{5}{9}$。
探究1：解题过程中，由$\frac{5b^2}{9b^2}$得$\frac{5}{9}$，是对分式进行了。
探究2：已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，求$\frac{a^2 -2ab -3b^2}{a^2 -6ab -7b^2}$的值。
探究3：已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}≠0$，求$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值。
阅读下列解题过程，完成下列探究。
若$\frac{a}{b}=-2$，求$\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab -7b^2}$的值。
解：因为$\frac{a}{b}=-2$，所以$a=-2b$。
所以$\frac{a^2 -2ab -3b^2}{a^2 -6ab -7b^2}$
$=\frac{(-2b)^2 -2(-2b)b -3b^2}{(-2b)^2 -6(-2b)b -7b^2}=\frac{5b^2}{9b^2}=\frac{5}{9}$。
探究1：解题过程中，由$\frac{5b^2}{9b^2}$得$\frac{5}{9}$，是对分式进行了。
探究2：已知$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，求$\frac{a^2 -2ab -3b^2}{a^2 -6ab -7b^2}$的值。
探究3：已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}≠0$，求$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值。
答案
解：
探究1：约分
探究2：
因为$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，所以$a=\frac{1}{2}b$。
将$a=\frac{1}{2}b$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab - 7b^2}&=\frac{(\frac{1}{2}b)^2 - 2· \frac{1}{2}b· b - 3b^2}{(\frac{1}{2}b)^2 - 6· \frac{1}{2}b· b - 7b^2}\\&=\frac{\frac{1}{4}b^2 - b^2 - 3b^2}{\frac{1}{4}b^2 - 3b^2 - 7b^2}\\&=\frac{-\frac{15}{4}b^2}{-\frac{39}{4}b^2}\\&=\frac{15}{39}\\&=\frac{5}{13}\end{aligned}$
探究3：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k\ (k≠0)$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$。
将$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}\\&=\frac{k}{5k}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
探究1：约分
探究2：
因为$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，所以$a=\frac{1}{2}b$。
将$a=\frac{1}{2}b$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab - 7b^2}&=\frac{(\frac{1}{2}b)^2 - 2· \frac{1}{2}b· b - 3b^2}{(\frac{1}{2}b)^2 - 6· \frac{1}{2}b· b - 7b^2}\\&=\frac{\frac{1}{4}b^2 - b^2 - 3b^2}{\frac{1}{4}b^2 - 3b^2 - 7b^2}\\&=\frac{-\frac{15}{4}b^2}{-\frac{39}{4}b^2}\\&=\frac{15}{39}\\&=\frac{5}{13}\end{aligned}$
探究3：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k\ (k≠0)$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$。
将$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}\\&=\frac{k}{5k}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
解析
【分析】
1. 探究1：$\frac{5b^2}{9b^2}$的分子分母存在公因式$b^2$，结合题设条件可知$b≠0$，约去公因式的操作对应分式的约分。
2. 探究2：仿照题干给出的解题思路，已知$\frac{a}{b}$的比值，可将$a$用含$b$的代数式表示，代入待求分式后，分子分母均为含$b$的整式，约去非零公因式$b^2$即可求出结果。
3. 探究3：遇到连比形式的条件，常用设参数法，设三个比值等于非零参数$k$，将$x、y、z$都用含$k$的代数式表示，代入分式后约去非零公因式$k$即可求出结果。
【解析】
探究1：
$\frac{5b^2}{9b^2}$的分子分母同时约去公因式$b^2$（由题设可知$b≠0$，符合约分要求），该操作是约分。
探究2：
因为$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，所以$a=\frac{1}{2}b$（$b≠0$）。
将$a=\frac{1}{2}b$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab -7b^2}&=\frac{(\frac{1}{2}b)^2 - 2· \frac{1}{2}b· b - 3b^2}{(\frac{1}{2}b)^2 - 6· \frac{1}{2}b· b - 7b^2}\\&=\frac{\frac{1}{4}b^2 - b^2 - 3b^2}{\frac{1}{4}b^2 - 3b^2 - 7b^2}\\&=\frac{-\frac{15}{4}b^2}{-\frac{39}{4}b^2}\\&=\frac{15}{39}\\&=\frac{5}{13}\end{aligned}$
探究3：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k\ (k≠0)$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$。
将$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}\\&=\frac{k}{5k}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
【答案】
探究1：约分；探究2：$\frac{5}{13}$；探究3：$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 分式约分 2. 分式化简求值 3. 比例的性质
【点评】
本题围绕分式化简求值设置由浅入深的问题，既考察分式基本性质的应用，也引导学生掌握比值类问题的两种常用解法：代入消元法和设参数法，解题时需注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.75
1. 探究1：$\frac{5b^2}{9b^2}$的分子分母存在公因式$b^2$，结合题设条件可知$b≠0$，约去公因式的操作对应分式的约分。
2. 探究2：仿照题干给出的解题思路，已知$\frac{a}{b}$的比值，可将$a$用含$b$的代数式表示，代入待求分式后，分子分母均为含$b$的整式，约去非零公因式$b^2$即可求出结果。
3. 探究3：遇到连比形式的条件，常用设参数法，设三个比值等于非零参数$k$，将$x、y、z$都用含$k$的代数式表示，代入分式后约去非零公因式$k$即可求出结果。
【解析】
探究1：
$\frac{5b^2}{9b^2}$的分子分母同时约去公因式$b^2$（由题设可知$b≠0$，符合约分要求），该操作是约分。
探究2：
因为$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，所以$a=\frac{1}{2}b$（$b≠0$）。
将$a=\frac{1}{2}b$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab -7b^2}&=\frac{(\frac{1}{2}b)^2 - 2· \frac{1}{2}b· b - 3b^2}{(\frac{1}{2}b)^2 - 6· \frac{1}{2}b· b - 7b^2}\\&=\frac{\frac{1}{4}b^2 - b^2 - 3b^2}{\frac{1}{4}b^2 - 3b^2 - 7b^2}\\&=\frac{-\frac{15}{4}b^2}{-\frac{39}{4}b^2}\\&=\frac{15}{39}\\&=\frac{5}{13}\end{aligned}$
探究3：
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{6}=k\ (k≠0)$，则$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$。
将$x=3k$，$y=4k$，$z=6k$代入分式：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k + 4k - 6k}{3k - 4k + 6k}\\&=\frac{k}{5k}\\&=\frac{1}{5}\end{aligned}$
【答案】
探究1：约分；探究2：$\frac{5}{13}$；探究3：$\frac{1}{5}$
【知识点】
1. 分式约分 2. 分式化简求值 3. 比例的性质
【点评】
本题围绕分式化简求值设置由浅入深的问题，既考察分式基本性质的应用，也引导学生掌握比值类问题的两种常用解法：代入消元法和设参数法，解题时需注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.75
先化简，再求值：$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x}$，其中$x=2$，$y=3$。
答案
解：$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x} = -\dfrac{(x - y)^2}{x - y} = -(x - y) = y - x$。
$\because x=2,\ y=3$，
$\therefore 原式 = y - x = 3 - 2 = 1$。
$\because x=2,\ y=3$，
$\therefore 原式 = y - x = 3 - 2 = 1$。
解析
【分析】
解决这道分式化简求值题时，首先观察分子的结构，分子$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的特征，可先因式分解为$(x-y)^2$；再对分母变形，将$y-x$改写为$-(x-y)$，此时分子分母存在公因式$(x-y)$，在$x≠ y$（满足分式有意义的条件）的前提下可约去公因式，得到最简整式；最后把$x$、$y$的取值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x} = \dfrac{(x - y)^2}{-(x - y)} = -\dfrac{(x - y)^2}{x - y}$
由$x=2$，$y=3$可知$x-y≠0$，可约分得到：
$-\dfrac{(x - y)^2}{x - y} = -(x - y) = y - x$
将$x=2$，$y=3$代入化简后的式子：
原式$= y - x = 3 - 2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式、分式约分、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题核心是正确利用因式分解拆分分子，需要格外注意分母变形时的符号变化，约分前要确认公因式不为0，熟练掌握因式分解公式和分式的基本性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.85
解决这道分式化简求值题时，首先观察分子的结构，分子$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式的特征，可先因式分解为$(x-y)^2$；再对分母变形，将$y-x$改写为$-(x-y)$，此时分子分母存在公因式$(x-y)$，在$x≠ y$（满足分式有意义的条件）的前提下可约去公因式，得到最简整式；最后把$x$、$y$的取值代入最简式计算即可得到结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{y - x} = \dfrac{(x - y)^2}{-(x - y)} = -\dfrac{(x - y)^2}{x - y}$
由$x=2$，$y=3$可知$x-y≠0$，可约分得到：
$-\dfrac{(x - y)^2}{x - y} = -(x - y) = y - x$
将$x=2$，$y=3$代入化简后的式子：
原式$= y - x = 3 - 2 = 1$
【答案】
$1$
【知识点】
完全平方公式、分式约分、代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，解题核心是正确利用因式分解拆分分子，需要格外注意分母变形时的符号变化，约分前要确认公因式不为0，熟练掌握因式分解公式和分式的基本性质是解决这类题的基础。
【难度系数】
0.85
