回顾复习：计算下列各式。
(1)$\frac{1}{3} × \frac{4}{7}$；
(2)$\frac{5}{6} × \frac{2}{5}$；
(3)$\frac{1}{3} ÷ \frac{4}{7}$；
(4)$\frac{5}{6} ÷ \frac{2}{5}$。

(1) $\frac{4}{21}$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $\frac{7}{12}$
(4) $\frac{25}{12}$

【分析】
解决这组分数乘除计算题，核心是牢记分数乘除法的运算法则：①分数乘法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能先约分的可以先约分再计算，结果要化为最简形式；②分数除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，再按照分数乘法的规则计算。逐个分析计算思路：(1)是无公因数可约的分数乘法，直接计算分子、分母的乘积即可；(2)是有公因数的分数乘法，先约分再计算更简便；(3)(4)是分数除法，先把除法转化为乘法，再按乘法规则计算。
【解析】
(1) 根据分数乘法法则计算：
$\frac{1}{3} × \frac{4}{7} = \frac{1×4}{3×7} = \frac{4}{21}$
(2) 根据分数乘法法则，先约分再计算：
$\frac{5}{6} × \frac{2}{5} = \frac{\cancel{5}^1}{\underset{3}{\cancel{6}}} × \frac{\overset{1}{\cancel{2}}}{\cancel{5}^1} = \frac{1×1}{3×1} = \frac{1}{3}$
(3) 根据分数除法法则，先转化为乘法再计算：
$\frac{1}{3} ÷ \frac{4}{7} = \frac{1}{3} × \frac{7}{4} = \frac{1×7}{3×4} = \frac{7}{12}$
(4) 根据分数除法法则，先转化为乘法再计算：
$\frac{5}{6} ÷ \frac{2}{5} = \frac{5}{6} × \frac{5}{2} = \frac{5×5}{6×2} = \frac{25}{12}$
【答案】
(1) $\frac{4}{21}$
(2) $\frac{1}{3}$
(3) $\frac{7}{12}$
(4) $\frac{25}{12}$
【知识点】
分数乘法运算，分数除法运算，约分
【点评】
本题是分数乘除法的基础运算题，重点考查分数乘除运算法则的应用，计算时优先约分再计算可以简化运算过程，同时要注意分数除法必须先转化为乘除数的倒数再运算，避免出错。
【难度系数】
0.9

类比探究：计算下列各式。
(1)$\frac{2x^3}{y^2} · \frac{y}{x^2}$；
(2)$\frac{x}{y} ÷ \frac{2}{y}$；
(3)$\frac{a}{5b} ÷ \frac{a^2}{b^3}$。
新知生成：(1)两个分式相乘，把作为积的分子，把作为积的分母。
用式子表示：。
(2)两个分式相除，把的分子和分母颠倒位置后再与被除式。
用式子表示：。
(3)进行分式的乘法、除法运算时，结果应当是。

(1) $\frac{2x}{y}$
(2) $\frac{x}{2}$
(3) $\frac{b^2}{5a}$
(1) 分子相乘的积，分母相乘的积，$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$
(2) 除式，相乘，$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} · \frac{c}{d} = \frac{bc}{ad}$
(3) 最简分式或整式

【分析】
这道题分为类比探究计算和新知生成法则归纳两部分。解题时先完成分式乘除的具体计算：①分式乘法运算遵循“分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母，再约去公因式化为最简”的思路；②分式除法运算先转化为乘法运算（乘以除式的倒数），再按分式乘法法则计算。完成计算后，结合计算过程总结归纳分式乘除的运算法则即可。
【解析】
类比探究计算：
(1) 计算$\frac{2x^3}{y^2} · \frac{y}{x^2}$
根据分式乘法法则，分子、分母分别相乘，再约分：
原式$=\frac{2x^3 · y}{y^2 · x^2} = \frac{2x}{y}$
(2) 计算$\frac{x}{y} ÷ \frac{2}{y}$
分式除法先转化为乘法（乘以除式的倒数），再计算：
原式$=\frac{x}{y} · \frac{y}{2} = \frac{x · y}{y · 2} = \frac{x}{2}$
(3) 计算$\frac{a}{5b} ÷ \frac{a^2}{b^3}$
先将除法转化为乘法，再约分计算：
原式$=\frac{a}{5b} · \frac{b^3}{a^2} = \frac{a · b^3}{5b · a^2} = \frac{b^2}{5a}$
新知生成填空：
(1) 根据分式乘法的运算过程，两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，再按要求写出字母表达式即可。
(2) 根据分式除法的运算过程，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按要求写出字母表达式即可。
(3) 为了规范运算结果，进行分式的乘法、除法运算时，结果应当是最简分式或整式。
【答案】
类比探究：
(1) $\frac{2x}{y}$
(2) $\frac{x}{2}$
(3) $\frac{b^2}{5a}$
新知生成：
(1) 分子相乘的积，分母相乘的积，$\frac{b}{a} · \frac{d}{c} = \frac{bd}{ac}$
(2) 除式，相乘，$\frac{b}{a} ÷ \frac{d}{c} = \frac{b}{a} · \frac{c}{d} = \frac{bc}{ad}$
(3) 最简分式或整式
【知识点】
分式乘法法则，分式除法法则，分式约分
【点评】
本题通过具体计算引导归纳分式乘除运算法则，兼顾了运算实操和法则理解，是分式运算的基础题型。计算时注意先约分再求值可简化运算，最终结果必须化为最简形式。
【难度系数】
0.8

1. 计算：$\frac{10ab}{c} ÷ \frac{5a}{4c} =$ 。
2. 计算：$\frac{2b}{a} · \frac{-4a^2}{4bc^2}$。

解：
1. 原式$=\frac{10ab}{c} · \frac{4c}{5a}$
$=\frac{40abc}{5ac}$
$=8b$
2. 原式$=\frac{2b · (-4a^2)}{a · 4bc^2}$
$=\frac{-8a^2b}{4abc^2}$
$=-\frac{2a}{c^2}$

【分析】
分式乘除运算的核心解题思路：①遇到分式除法，先根据“除以一个不为0的分式等于乘它的倒数”，将除法转化为乘法运算；②分式乘法按照“分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母”计算，计算时可以先找分子分母的公因式约分，再化简结果，也可以先相乘再约分，最终结果要化为最简分式或整式。
第1题是分式除法，先把除法转为乘$\frac{5a}{4c}$的倒数$\frac{4c}{5a}$，再找分子分母的公因式：系数10和5的最大公约数是5，相同因式$a$、$c$可约去，最后化简即可。
第2题是分式乘法，先将分子、分母分别相乘，再找公因式：系数2、-4和4的最大公约数是4，相同因式$a$、$b$可约去，注意负号的处理，最后化简为最简形式。
【解析】
1. 原式$=\frac{10ab}{c} · \frac{4c}{5a}$
$=\frac{40abc}{5ac}$
约去分子分母的公因式$5ac$，得结果为$8b$。
2. 原式$=\frac{2b · (-4a^2)}{a · 4bc^2}$
$=\frac{-8a^2b}{4abc^2}$
约去分子分母的公因式$4ab$，得结果为$-\frac{2a}{c^2}$。
【答案】
1. $8b$；2. $-\frac{2a}{c^2}$
【知识点】
1. 分式乘除法则 2. 分式约分 3. 分式符号化简
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的关键是牢记分式除法转乘法的规则，约分时要找准分子分母的公因式，特别注意负号不要遗漏，熟练后可先约分再计算，提升运算速度和准确率。
【难度系数】
0.8

探究1:（分式的乘方法则）分式的乘方是把分子、分母分别。
用式子表示：（n是正整数）。

解：乘方
$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

【分析】
本题是对分式乘方法则基础概念的考查，解题时首先回忆分式乘方的运算要求：分式做乘方运算时，需要分别对分子、分母进行乘方运算，再根据法则写出对应的字母表达式即可，题目默认分母不为0，满足分式有意义的条件。
【解析】
根据分式的乘方法则可知：
1. 分式的乘方是把分子、分母分别乘方；
2. 用字母表示该法则（n为正整数）为：$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（默认$b≠0$，分式有意义）。
【答案】
乘方；$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$
【知识点】
分式的乘方法则
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对分式乘方法则的掌握程度，牢记该法则是后续学习分式混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

探究2：计算。
(1)$(\dfrac{b}{5a})^2 =$ ；
(2)$(\dfrac{x}{2y})^2 · \dfrac{y^2}{2x} =$ 。

(1) $\boldsymbol{\frac{b^2}{25a^2}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{x}{8}}$

【分析】
本题考查分式的乘方与乘法运算，解题思路如下：
(1) 第一题是分式的乘方运算，根据分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，分别计算分子和分母的乘方即可得到结果；
(2) 第二题是分式的乘方与乘法混合运算，运算顺序为先算乘方，再算乘法，计算乘法时按照分式乘法法则计算，最后约分化为最简分式即可。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则计算：
$(\dfrac{b}{5a})^2 = \dfrac{b^2}{(5a)^2} = \dfrac{b^2}{5^2 · a^2} = \dfrac{b^2}{25a^2}$
(2) 分步骤计算：
① 先计算乘方：$(\dfrac{x}{2y})^2 = \dfrac{x^2}{(2y)^2} = \dfrac{x^2}{4y^2}$
② 再计算分式乘法：$\dfrac{x^2}{4y^2} · \dfrac{y^2}{2x} = \dfrac{x^2 · y^2}{4y^2 · 2x}$
③ 约分化简：约去分子分母的公因式$x y^2$，得到$\dfrac{x}{8}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^2}{25a^2}$；(2) $\dfrac{x}{8}$
【知识点】
分式的乘方运算、分式的乘法运算、分式的约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是牢记分式运算的顺序和法则，运算时注意系数和字母的乘方不要出错，约分要彻底，避免出现漏乘或者漏约的情况。
【难度系数】
0.9