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变式训练1 将下列各分式通分：
(1)$\frac{1}{3ab^2},\frac{2}{7a^2b}$；
(2)$\frac{x+1}{x^2 -x},\frac{x-1}{x^2 +x}$；
(3)
(1)$\frac{1}{3ab^2},\frac{2}{7a^2b}$；
(2)$\frac{x+1}{x^2 -x},\frac{x-1}{x^2 +x}$；
(3)
答案
解:(1)最简公分母为:$21a^2b^2$，
$\therefore \frac{1}{3ab^2}=\frac{7a}{3ab^2· 7a}=\frac{7a}{21a^2b^2},\frac{2}{7a^2b}=\frac{2· (3b)}{7a^2b· 3b}=\frac{6b}{21a^2b^2}$；
(2)最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\therefore \frac{x+1}{x^2 -x}=\frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)},\frac{x-1}{x^2 +x}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$；
(3)最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，
$\therefore \frac{x+2}{2x+2}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)},\frac{x}{x^2 -x-2}=\frac{4x}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
$\therefore \frac{1}{3ab^2}=\frac{7a}{3ab^2· 7a}=\frac{7a}{21a^2b^2},\frac{2}{7a^2b}=\frac{2· (3b)}{7a^2b· 3b}=\frac{6b}{21a^2b^2}$；
(2)最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，
$\therefore \frac{x+1}{x^2 -x}=\frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)},\frac{x-1}{x^2 +x}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$；
(3)最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，
$\therefore \frac{x+2}{2x+2}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)},\frac{x}{x^2 -x-2}=\frac{4x}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘合适的整式，使分母统一为最简公分母，解题思路如下：
1. 先对每个分式的分母做因式分解：若分母是单项式，直接取系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂；若分母是多项式，先分解因式，再提取所有不同因式、相同因式取最高次幂，系数取最小公倍数，组合得到最简公分母。
2. 每个分式的分子分母同乘分母变为最简公分母所需的整式，注意分母带负号时要先处理符号，避免符号错误。
(1)两个分母为单项式，直接确定最简公分母即可变形；(2)(3)的分母为多项式，先因式分解再找最简公分母，其中(3)第三个分母需先提取负号简化计算。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：系数3和7的最小公倍数是21，a的最高次幂为$a^2$，b的最高次幂为$b^2$，因此最简公分母为$21a^2b^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{3ab^2}=\frac{1×7a}{3ab^2×7a}=\frac{7a}{21a^2b^2}$，
$\frac{2}{7a^2b}=\frac{2×3b}{7a^2b×3b}=\frac{6b}{21a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 -x = x(x-1)$，$x^2 +x = x(x+1)$，
因此最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，变形得：
$\frac{x+1}{x^2 -x}=\frac{(x+1)×(x+1)}{x(x-1)×(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)}$，
$\frac{x-1}{x^2 +x}=\frac{(x-1)×(x-1)}{x(x+1)×(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$。
(3) 先对分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$，$8-4x=-4(x-2)$，
因此最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，变形得：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)×2(x-2)}{2(x+1)×2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{x}{x^2 -x -2}=\frac{x×4}{(x-2)(x+1)×4}=\frac{4x}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3×(x+1)}{-4(x-2)×(x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【答案】
(1) 最简公分母为$21a^2b^2$，通分结果：$\frac{7a}{21a^2b^2},\frac{6b}{21a^2b^2}$；
(2) 最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，通分结果：$\frac{(x+1)^2}{x(x+1)(x-1)},\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$；
(3) 最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，通分结果：$\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)},\frac{4x}{4(x+1)(x-2)},-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母要先因式分解，当分母含有负号时要注意符号的正确处理，通分是后续分式加减运算的核心基础。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘合适的整式，使分母统一为最简公分母，解题思路如下：
1. 先对每个分式的分母做因式分解：若分母是单项式，直接取系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂；若分母是多项式，先分解因式，再提取所有不同因式、相同因式取最高次幂，系数取最小公倍数，组合得到最简公分母。
2. 每个分式的分子分母同乘分母变为最简公分母所需的整式，注意分母带负号时要先处理符号，避免符号错误。
(1)两个分母为单项式，直接确定最简公分母即可变形；(2)(3)的分母为多项式，先因式分解再找最简公分母，其中(3)第三个分母需先提取负号简化计算。
【解析】
(1) 先确定最简公分母：系数3和7的最小公倍数是21，a的最高次幂为$a^2$，b的最高次幂为$b^2$，因此最简公分母为$21a^2b^2$。
根据分式的基本性质变形：
$\frac{1}{3ab^2}=\frac{1×7a}{3ab^2×7a}=\frac{7a}{21a^2b^2}$，
$\frac{2}{7a^2b}=\frac{2×3b}{7a^2b×3b}=\frac{6b}{21a^2b^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2 -x = x(x-1)$，$x^2 +x = x(x+1)$，
因此最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，变形得：
$\frac{x+1}{x^2 -x}=\frac{(x+1)×(x+1)}{x(x-1)×(x+1)}=\frac{(x+1)^2}{x(x-1)(x+1)}$，
$\frac{x-1}{x^2 +x}=\frac{(x-1)×(x-1)}{x(x+1)×(x-1)}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$。
(3) 先对分母因式分解：
$2x+2=2(x+1)$，$x^2 -x -2=(x-2)(x+1)$，$8-4x=-4(x-2)$，
因此最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，变形得：
$\frac{x+2}{2x+2}=\frac{(x+2)×2(x-2)}{2(x+1)×2(x-2)}=\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{x}{x^2 -x -2}=\frac{x×4}{(x-2)(x+1)×4}=\frac{4x}{4(x+1)(x-2)}$，
$\frac{3}{8-4x}=\frac{3×(x+1)}{-4(x-2)×(x+1)}=-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【答案】
(1) 最简公分母为$21a^2b^2$，通分结果：$\frac{7a}{21a^2b^2},\frac{6b}{21a^2b^2}$；
(2) 最简公分母为$x(x+1)(x-1)$，通分结果：$\frac{(x+1)^2}{x(x+1)(x-1)},\frac{(x-1)^2}{x(x+1)(x-1)}$；
(3) 最简公分母为$4(x+1)(x-2)$，通分结果：$\frac{2(x+2)(x-2)}{4(x+1)(x-2)},\frac{4x}{4(x+1)(x-2)},-\frac{3(x+1)}{4(x+1)(x-2)}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，分式的基本性质
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是熟练掌握最简公分母的确定方法，注意多项式分母要先因式分解，当分母含有负号时要注意符号的正确处理，通分是后续分式加减运算的核心基础。
【难度系数】
0.8
例2 计算：$\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$。
[点拨] 先通分，再根据同分母的分式相加减的运算法则计算即可。
[解] $\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$。
[点拨] 先通分，再根据同分母的分式相加减的运算法则计算即可。
[解] $\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$。
答案
解：
$\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$
$\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$
解析
【分析】
本题是分式减法运算，解题思路可按以下步骤梳理：第一步先观察分式分母，第一个分母$a^2-2a+1$符合完全平方公式特征，先因式分解得到$(a-1)^2$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a-1)^2$；第二步将分母为$a-1$的分式通分，转化为分母是$(a-1)^2$的分式；第三步按照同分母分式相加减的法则，分母不变，分子相减，计算时注意去括号的符号规则；第四步化简分子得到最简结果，也可根据要求将分母展开为多项式形式。
【解析】
$\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$
【答案】
$\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$（或$\frac{3}{(a-1)^2}$）
【知识点】
分式的加减运算、完全平方公式因式分解、分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式加减的运算规则，解题的关键是先对可因式分解的分母进行分解，快速确定最简公分母，计算分子时要注意去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题是分式减法运算，解题思路可按以下步骤梳理：第一步先观察分式分母，第一个分母$a^2-2a+1$符合完全平方公式特征，先因式分解得到$(a-1)^2$，由此确定两个分式的最简公分母为$(a-1)^2$；第二步将分母为$a-1$的分式通分，转化为分母是$(a-1)^2$的分式；第三步按照同分母分式相加减的法则，分母不变，分子相减，计算时注意去括号的符号规则；第四步化简分子得到最简结果，也可根据要求将分母展开为多项式形式。
【解析】
$\frac{3a}{a^2 - 2a + 1} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3}{a - 1}$
$=\frac{3a}{(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3(a - 1)}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3a - 3a + 3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{(a - 1)^2}$
$=\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$
【答案】
$\frac{3}{a^2 - 2a + 1}$（或$\frac{3}{(a-1)^2}$）
【知识点】
分式的加减运算、完全平方公式因式分解、分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查分式加减的运算规则，解题的关键是先对可因式分解的分母进行分解，快速确定最简公分母，计算分子时要注意去括号的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
|变式训练2| 计算：$\frac{m-15}{m^2 -9} - \frac{2}{3 - m}$。
答案
解:$\frac{m-15}{m^2 -9} - \frac{2}{3 - m}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2}{m-3}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{m-15+2m+6}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3m-9}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3}{m+3}$。
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2}{m-3}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{m-15+2m+6}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3m-9}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3}{m+3}$。
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：①先处理分母：第一个分母$m^2-9$符合平方差公式，可因式分解为$(m+3)(m-3)$；第二个分母$3-m$与$m-3$互为相反数，可变形为$-(m-3)$，先调整符号将原式转化为便于通分的形式；②确定最简公分母为$(m+3)(m-3)$，对第二个分式通分，统一两个分式的分母；③分子合并同类项后，对分子因式分解，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式即可，注意处理分母符号时不要出错。
【解析】
$\frac{m-15}{m^2 -9} - \frac{2}{3 - m}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2}{m-3}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{m-15+2m+6}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3m-9}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3}{m+3}$
【答案】
$\frac{3}{m+3}$
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题核心是先对分母因式分解，正确处理互为相反数的分母的符号变化，通分后合并分子的同类项，最后必须约分为最简形式，常见易错点是变形$\frac{2}{3-m}$时符号出错，或者运算最后忘记约分。
【难度系数】
0.75
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：①先处理分母：第一个分母$m^2-9$符合平方差公式，可因式分解为$(m+3)(m-3)$；第二个分母$3-m$与$m-3$互为相反数，可变形为$-(m-3)$，先调整符号将原式转化为便于通分的形式；②确定最简公分母为$(m+3)(m-3)$，对第二个分式通分，统一两个分式的分母；③分子合并同类项后，对分子因式分解，约去分子分母的公因式，最终得到最简分式即可，注意处理分母符号时不要出错。
【解析】
$\frac{m-15}{m^2 -9} - \frac{2}{3 - m}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2}{m-3}$
$=\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2(m+3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{m-15+2m+6}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3m-9}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
$=\frac{3}{m+3}$
【答案】
$\frac{3}{m+3}$
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，解题核心是先对分母因式分解，正确处理互为相反数的分母的符号变化，通分后合并分子的同类项，最后必须约分为最简形式，常见易错点是变形$\frac{2}{3-m}$时符号出错，或者运算最后忘记约分。
【难度系数】
0.75
1. 将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子变为 （
A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
C
）A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道通分题，首先明确通分的核心思路：第一步先对两个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步根据分式的基本性质，给待变形分式的分子和分母同乘相应的整式，使分母变为最简公分母，即可得到变形后的分子。首先对两个分母处理：第一个分母$x^2-y^2$可通过平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，第二个分母为$2(x-y)$，对比可得最简公分母是$2(x+y)(x-y)$。再看分式$\frac{3x^2}{x^2-y^2}$，原分母是$(x+y)(x-y)$，要变成最简公分母需要给分母乘2，对应分子也要同步乘2，计算后就能得到新的分子。
【解析】
1. 因式分解两个分式的分母：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，另一个分母为$2(x-y)$
2. 确定最简公分母：
两个分母的公共因式为$(x-y)$，独有因式为$(x+y)$和$2$，因此最简公分母为$2(x+y)(x-y)$
3. 根据分式的基本性质变形第一个分式：
要让$\frac{3x^2}{x^2-y^2}$的分母变为$2(x+y)(x-y)$，需要给分母乘2，为保证分式值不变，分子也要同时乘2，即新分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题属于通分的基础应用类题目，解题关键是准确对分母因式分解并找到最简公分母，结合分式的基本性质变形即可，熟练掌握通分步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要解决这道通分题，首先明确通分的核心思路：第一步先对两个分式的分母因式分解，找到最简公分母；第二步根据分式的基本性质，给待变形分式的分子和分母同乘相应的整式，使分母变为最简公分母，即可得到变形后的分子。首先对两个分母处理：第一个分母$x^2-y^2$可通过平方差公式分解为$(x+y)(x-y)$，第二个分母为$2(x-y)$，对比可得最简公分母是$2(x+y)(x-y)$。再看分式$\frac{3x^2}{x^2-y^2}$，原分母是$(x+y)(x-y)$，要变成最简公分母需要给分母乘2，对应分子也要同步乘2，计算后就能得到新的分子。
【解析】
1. 因式分解两个分式的分母：
$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，另一个分母为$2(x-y)$
2. 确定最简公分母：
两个分母的公共因式为$(x-y)$，独有因式为$(x+y)$和$2$，因此最简公分母为$2(x+y)(x-y)$
3. 根据分式的基本性质变形第一个分式：
要让$\frac{3x^2}{x^2-y^2}$的分母变为$2(x+y)(x-y)$，需要给分母乘2，为保证分式值不变，分子也要同时乘2，即新分子为$3x^2 × 2 = 6x^2$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题属于通分的基础应用类题目，解题关键是准确对分母因式分解并找到最简公分母，结合分式的基本性质变形即可，熟练掌握通分步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.8
