知识点一 通分
1. 根据，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。
2. 为了计算方便，异分母的分式通分时，通常取作为它们的共同分母。

1. 分式的基本性质
2. 最简公分母

【分析】
这道题考查分式通分的基础概念，解题时先回忆通分的相关定义与规则：第一空思考通分操作的理论依据，通分时要保证变形前后分式的值不变，对应分式的核心性质即可；第二空思考通分选公分母的原则，为了简化后续计算，通常会选择形式最简洁的公分母，对应相关概念填空即可。
【解析】
1. 通分是将异分母分式化为同分母分式的过程，变形时需要给每个分式的分子、分母同乘合适的非零整式，且保证分式的值不变，这一操作的依据是分式的基本性质。
2. 异分母分式通分时，若选择的公分母包含的因式最少、次数最低，后续的分式运算会更简便，因此通常取各分母的最简公分母作为共同分母。
【答案】
1. 分式的基本性质
2. 最简公分母
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分；最简公分母
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，是分式加减运算的前置基础，熟练掌握通分相关的定义、规则即可正确作答。
【难度系数】
0.9

知识点二 异分母的分式加减法法则
1.异分母的分式相加减，先，化为的分式，然后再按分式的加减法法则进行计算。
2.这一法则可以用式子表示为
。

1. 通分 同分母 同分母
2. $\frac{b}{a}\pm\frac{d}{c}=\frac{bc}{ac}\pm\frac{ad}{ac}=\frac{bc\pm ad}{ac}$

【分析】
本题考查异分母分式加减法的基本概念与公式表达，解题思路如下：异分母分式的分母不同，无法直接进行加减运算，因此首先要通过通分将其转化为分母相同的分式，再按照已经学过的同分母分式加减法规则计算；对应的公式需要体现通分、合并分子的完整运算过程。
【解析】
1. 根据异分母分式加减法的基本规则，异分母的分式相加减，第一步要先通分，将其化为同分母的分式，之后再按照同分母分式的加减法法则进行计算。
2. 用式子表示该法则时，对异分母分式$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$通分，取公分母为$ac$，转化为同分母分式$\frac{bc}{ac}$和$\frac{ad}{ac}$，再按同分母分式加减法规则合并分子，可得式子：$\frac{b}{a}\pm\frac{d}{c}=\frac{bc}{ac}\pm\frac{ad}{ac}=\frac{bc\pm ad}{ac}$。
【答案】
1. 通分 同分母 同分母
2. $\frac{b}{a}\pm\frac{d}{c}=\frac{bc}{ac}\pm\frac{ad}{ac}=\frac{bc\pm ad}{ac}$
【知识点】
异分母分式加减法法则、分式通分、同分母分式加减法
【点评】
本题是基础概念类填空题，主要考查对异分母分式加减法法则的识记和理解，熟练掌握该法则是后续进行复杂分式运算的前提。
【难度系数】
0.9

例1 把下列各组中的分式通分：
(1)$\frac{a}{2xy},\frac{b}{3x^2}$；
(2)$\frac{3c}{2ab^2},-\frac{b}{6a^2c},\frac{a}{-8bc^2}$；
(3)$\frac{x}{x^2 - x},\frac{2}{x^2},\frac{-1}{x^2 + 2x + 1}$。
[点拨] 通分的关键是先找出各分母的最简公分母(取各分母系数的最小公倍数，相同字母或因式的最高次幂)，然后根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，化为同分母分式即可。特别说明：当分式的分母为多项式时，要先将分母因式分解，再按照上面的方法准确找出最简公分母。

解：
(1) 最简公分母为$6x^2y$。
$\frac{a}{2xy} = \frac{a· 3x}{2xy· 3x} = \frac{3ax}{6x^2y}$，
$\frac{b}{3x^2} = \frac{b· 2y}{3x^2· 2y} = \frac{2by}{6x^2y}$。
(2) 最简公分母为$24a^2b^2c^2$。
$\frac{3c}{2ab^2} = \frac{3c· 12ac^2}{2ab^2· 12ac^2} = \frac{36ac^3}{24a^2b^2c^2}$，
$-\frac{b}{6a^2c} = \frac{-b· 4b^2c}{6a^2c· 4b^2c} = \frac{-4b^3c}{24a^2b^2c^2}$，
$\frac{a}{-8bc^2} = \frac{a· (-3a^2b)}{-8bc^2· (-3a^2b)} = \frac{-3a^3b}{24a^2b^2c^2}$。
(3) 先对各分母因式分解：
$x^2 - x = x(x-1)$，
$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，
因此最简公分母为$x(x-1)(x+1)^2$。
$\frac{x}{x^2 - x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x· (x+1)^2}{x(x-1)· (x+1)^2} = \frac{x^3 + 2x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$，
$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2· x(x+1)}{(x+1)(x-1)· x(x+1)} = \frac{2x^2 + 2x}{x(x-1)(x+1)^2}$，
$\frac{-1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{-1}{(x+1)^2} = \frac{-1· x(x-1)}{(x+1)^2· x(x-1)} = \frac{-x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$。

【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘合适的整式，使各分式分母均变为最简公分母：
1. 若分母是单项式：取各分母系数的最小公倍数，相同字母（或因式）取最高次幂，所有不同字母（或因式）都要写入最简公分母；
2. 若分母是多项式：先对每个分母因式分解，再按照单项式分母的规则确定最简公分母。
针对3个小问的具体思路：
(1) 两个分母是单项式2xy、3x²，先确定最简公分母为6x²y，再分别给两个分式的分子分母乘各自缺少的因式即可；
(2) 三个分母是单项式2ab²、6a²c、-8bc²，先确定最简公分母为24a²b²c²，再分别给三个分式的分子分母乘各自缺少的因式；
(3) 三个分母都是多项式，先分别因式分解：$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，再确定最简公分母为$x(x-1)(x+1)^2$，最后分别给三个分式的分子分母乘各自缺少的因式。
【解析】
(1) 最简公分母为$6x^2y$：
$\frac{a}{2xy} = \frac{a· 3x}{2xy· 3x} = \frac{3ax}{6x^2y}$，
$\frac{b}{3x^2} = \frac{b· 2y}{3x^2· 2y} = \frac{2by}{6x^2y}$。
(2) 最简公分母为$24a^2b^2c^2$：
$\frac{3c}{2ab^2} = \frac{3c· 12ac^2}{2ab^2· 12ac^2} = \frac{36ac^3}{24a^2b^2c^2}$，
$-\frac{b}{6a^2c} = \frac{-b· 4b^2c}{6a^2c· 4b^2c} = \frac{-4b^3c}{24a^2b^2c^2}$，
$\frac{a}{-8bc^2} = \frac{a· (-3a^2b)}{-8bc^2· (-3a^2b)} = \frac{-3a^3b}{24a^2b^2c^2}$。
(3) 先对各分母因式分解：
$x^2 - x = x(x-1)$，
$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$，
因此最简公分母为$x(x-1)(x+1)^2$：
$\frac{x}{x^2 - x} = \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x· (x+1)^2}{x(x-1)· (x+1)^2} = \frac{x^3 + 2x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$，
$\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{2}{(x+1)(x-1)} = \frac{2· x(x+1)}{(x+1)(x-1)· x(x+1)} = \frac{2x^2 + 2x}{x(x-1)(x+1)^2}$，
$\frac{-1}{x^2 + 2x + 1} = \frac{-1}{(x+1)^2} = \frac{-1· x(x-1)}{(x+1)^2· x(x-1)} = \frac{-x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{3ax}{6x^2y}$，$\frac{2by}{6x^2y}$；
(2) $\frac{36ac^3}{24a^2b^2c^2}$，$\frac{-4b^3c}{24a^2b^2c^2}$，$\frac{-3a^3b}{24a^2b^2c^2}$；
(3) $\frac{x^3 + 2x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$，$\frac{2x^2 + 2x}{x(x-1)(x+1)^2}$，$\frac{-x^2 + x}{x(x-1)(x+1)^2}$。
【知识点】
分式的通分；分式的基本性质；因式分解
【点评】
本题是分式通分的常规题型，重点考查最简公分母的确定方法，需要注意当分母为多项式时，必须先因式分解再找最简公分母，熟练掌握通分的步骤是后续学习分式加减运算的基础。
【难度系数】
0.7