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7.计算$\frac{1}{(m-1)^2} - \frac{m}{(m-1)^2}$的结果等于（
A.$\frac{1}{1-m}$
B.$\frac{1}{m-1}$
C.$\frac{1}{m+1}$
D.$\frac{1}{(m-1)^2}$
A
）A.$\frac{1}{1-m}$
B.$\frac{1}{m-1}$
C.$\frac{1}{m+1}$
D.$\frac{1}{(m-1)^2}$
答案
7.A
解析
【分析】
这是同分母分式的减法运算，解题思路清晰：首先根据同分母分式加减法法则，保持分母不变，将两个分式的分子相减得到新的分子；再对得到的分式的分子做符号变形，找出分子和分母的公因式；最后约去公因式化简，将化简结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：本题是同分母分式相减，根据同分母分式加减法则：分母不变，分子相减，可得：
$\frac{1}{(m-1)^2} - \frac{m}{(m-1)^2} = \frac{1 - m}{(m-1)^2}$
将分子变形：$1 - m = -(m - 1)$，代入上式得：
$\frac{-(m - 1)}{(m-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(m-1)$（$m ≠ 1$），化简得：
$\frac{-1}{m - 1} = \frac{1}{1 - m}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是熟练掌握同分母分式的加减规则，要特别注意分子相减时的符号处理，约分前可先对分子或分母做适当变形找到公因式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
这是同分母分式的减法运算，解题思路清晰：首先根据同分母分式加减法法则，保持分母不变，将两个分式的分子相减得到新的分子；再对得到的分式的分子做符号变形，找出分子和分母的公因式；最后约去公因式化简，将化简结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：本题是同分母分式相减，根据同分母分式加减法则：分母不变，分子相减，可得：
$\frac{1}{(m-1)^2} - \frac{m}{(m-1)^2} = \frac{1 - m}{(m-1)^2}$
将分子变形：$1 - m = -(m - 1)$，代入上式得：
$\frac{-(m - 1)}{(m-1)^2}$
约去分子分母的公因式$(m-1)$（$m ≠ 1$），化简得：
$\frac{-1}{m - 1} = \frac{1}{1 - m}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，解题核心是熟练掌握同分母分式的加减规则，要特别注意分子相减时的符号处理，约分前可先对分子或分母做适当变形找到公因式，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
8.已知$M,N$均为分式，且$M=\dfrac{x}{x-1},N=\dfrac{1}{1-x}$，下列运算正确的是（
A.$M+N=-1$
B.$M-N=\dfrac{x+1}{x-1}$
C.$M· N=\dfrac{x}{(x-1)^2}$
D.$M÷ N=x$
B
）A.$M+N=-1$
B.$M-N=\dfrac{x+1}{x-1}$
C.$M· N=\dfrac{x}{(x-1)^2}$
D.$M÷ N=x$
答案
8.B
解析
【分析】
这道题考查分式的四则运算，解题思路是先观察两个分式的分母：M的分母是x-1，N的分母是1-x，二者互为相反数，可先将N变形为分母是x-1的形式，再根据分式加减乘除的运算法则，分别计算四个选项的结果，和选项给出的结论对比，判断正误即可。
【解析】
首先对N进行变形：$N=\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$，再分别计算各选项：
A选项：$M+N=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}=1≠-1$，故A错误；
B选项：$M-N=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$，与选项结论一致，故B正确；
C选项：$M·N=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}·(-\dfrac{1}{x-1})=-\dfrac{x}{(x-1)^2}≠\dfrac{x}{(x-1)^2}$，故C错误；
D选项：$M÷ N=\dfrac{x}{x-1}÷\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}×(1-x)=\dfrac{x}{x-1}×[-(x-1)]=-x≠ x$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、分式符号变换
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是注意互为相反数的分母之间的符号转换，再严格按照分式四则运算的法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
这道题考查分式的四则运算，解题思路是先观察两个分式的分母：M的分母是x-1，N的分母是1-x，二者互为相反数，可先将N变形为分母是x-1的形式，再根据分式加减乘除的运算法则，分别计算四个选项的结果，和选项给出的结论对比，判断正误即可。
【解析】
首先对N进行变形：$N=\dfrac{1}{1-x}=-\dfrac{1}{x-1}$，再分别计算各选项：
A选项：$M+N=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}=1≠-1$，故A错误；
B选项：$M-N=\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{x+1}{x-1}$，与选项结论一致，故B正确；
C选项：$M·N=\dfrac{x}{x-1}·\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}·(-\dfrac{1}{x-1})=-\dfrac{x}{(x-1)^2}≠\dfrac{x}{(x-1)^2}$，故C错误；
D选项：$M÷ N=\dfrac{x}{x-1}÷\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}×(1-x)=\dfrac{x}{x-1}×[-(x-1)]=-x≠ x$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
分式的加减运算、分式的乘除运算、分式符号变换
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题的核心是注意互为相反数的分母之间的符号转换，再严格按照分式四则运算的法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9.若$\frac{1}{1-x}+M=\frac{1}{x-1}$，则$M=$（
A.$0$
B.$\frac{2}{1-x}$
C.$\frac{-2x}{(1-x)(x-1)}$
D.$\frac{2}{x-1}$
D
）A.$0$
B.$\frac{2}{1-x}$
C.$\frac{-2x}{(1-x)(x-1)}$
D.$\frac{2}{x-1}$
答案
9.D
解析
【分析】
要求M的值，我们可以先通过移项将M单独放在等式的一侧，得到$M=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}$。接下来观察两个分式的分母，发现$1-x$和$x-1$互为相反数，我们可以利用这个关系对分式进行变形，转化为同分母分式的减法运算，再按照同分母分式加减法则计算即可得到结果。
【解析】
对原式移项可得：
$M=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}$
由$1-x=-(x-1)$，可得$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{-(x-1)}=-\frac{1}{x-1}$，将其代入上式：
$M=\frac{1}{x-1}-(-\frac{1}{x-1})=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的核心是识别出互为相反数的两个分母的关系，正确对分式进行变形后再运算，避免符号错误即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要求M的值，我们可以先通过移项将M单独放在等式的一侧，得到$M=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}$。接下来观察两个分式的分母，发现$1-x$和$x-1$互为相反数，我们可以利用这个关系对分式进行变形，转化为同分母分式的减法运算，再按照同分母分式加减法则计算即可得到结果。
【解析】
对原式移项可得：
$M=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{1-x}$
由$1-x=-(x-1)$，可得$\frac{1}{1-x}=\frac{1}{-(x-1)}=-\frac{1}{x-1}$，将其代入上式：
$M=\frac{1}{x-1}-(-\frac{1}{x-1})=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x-1}$
【答案】
D
【知识点】
分式的加减运算，分式的基本性质
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题的核心是识别出互为相反数的两个分母的关系，正确对分式进行变形后再运算，避免符号错误即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
10.若$\frac{x}{x-2}-\frac{x-1}{x-2}$的结果是负数，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（
C
）答案
10.C
解析
【分析】
解题时首先利用同分母分式的减法法则对原式化简，再根据结果为负数列出不等式，同时要牢记分式有意义的前提是分母不为0，求出x的取值范围后，结合数轴表示解集的规则（小于向左画，不包含端点用空心圆圈，包含端点用实心圆点）匹配对应选项即可。
【解析】
首先对分式进行化简：
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\frac{x}{x-2}-\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-(x-1)}{x-2}=\frac{1}{x-2}$
由题意结果为负数，可得：
$\frac{1}{x-2}＜0$
因为分子1＞0，要使分式值为负，需分母小于0，即：
$x-2＜0$，解得$x＜2$
同时分式有意义需满足分母$x-2≠0$，即$x≠2$，该条件已包含在$x＜2$中。
$x＜2$在数轴上的表示为：在数字2的位置画空心圆圈，向左画射线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式运算、分式有意义的条件、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查分式化简和解集的数轴表示，解题时容易忽略分式有意义的条件，另外要注意区分数轴上空心圆圈和实心圆点的用法。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用同分母分式的减法法则对原式化简，再根据结果为负数列出不等式，同时要牢记分式有意义的前提是分母不为0，求出x的取值范围后，结合数轴表示解集的规则（小于向左画，不包含端点用空心圆圈，包含端点用实心圆点）匹配对应选项即可。
【解析】
首先对分式进行化简：
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$\frac{x}{x-2}-\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-(x-1)}{x-2}=\frac{1}{x-2}$
由题意结果为负数，可得：
$\frac{1}{x-2}＜0$
因为分子1＞0，要使分式值为负，需分母小于0，即：
$x-2＜0$，解得$x＜2$
同时分式有意义需满足分母$x-2≠0$，即$x≠2$，该条件已包含在$x＜2$中。
$x＜2$在数轴上的表示为：在数字2的位置画空心圆圈，向左画射线，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式运算、分式有意义的条件、解集的数轴表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查分式化简和解集的数轴表示，解题时容易忽略分式有意义的条件，另外要注意区分数轴上空心圆圈和实心圆点的用法。
【难度系数】
0.7
11.计算：
(1)$\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{2ab}{$
$} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$；
(2)$\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(3 - x)^2}$。
(1)$\frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{2ab}{$
$} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$；(2)$\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(3 - x)^2}$。
答案
11.解:(1)原式$=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{a - b}{a + b}$。
(2)原式$=\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(x - 3)^2}$
$=\frac{x^2 - y - 9 + y}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 9}{(x - 3)^2}$
$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}$。
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
$=\frac{a - b}{a + b}$。
(2)原式$=\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(x - 3)^2}$
$=\frac{x^2 - y - 9 + y}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 9}{(x - 3)^2}$
$=\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2} = \frac{x + 3}{x - 3}$。
解析
【分析】
(1)观察三个分式的分母，发现$b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$，首先将第二个分式变形为和另外两个分式同分母的形式，再根据同分母分式加减法法则，分母不变、分子相加减，之后对分子分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
(2)观察两个分式的分母，根据平方的性质可得$(3-x)^2=(x-3)^2$，先统一两个分式的分母，再按照同分母分式加减法法则计算分子，对化简后的分子因式分解后约去公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 先统一分母：
原式$=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$
合并分子：
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$
因式分解分子分母：
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
约去公因式$a-b$：
$=\frac{a - b}{a + b}$
(2) 先统一分母：
原式$=\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(x - 3)^2}$
合并分子：
$=\frac{x^2 - y - (9 - y)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - y - 9 + y}{(x - 3)^2}$
化简分子后因式分解：
$=\frac{x^2 - 9}{(x - 3)^2}=\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2}$
约去公因式$x-3$：
$=\frac{x + 3}{x - 3}$
【答案】
(1)$\frac{a - b}{a + b}$；(2)$\frac{x + 3}{x - 3}$
【知识点】
同分母分式加减、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题核心是正确处理分母变形：互为相反数的分母转化时要注意符号变化，偶次幂下互为相反数的底数对应的偶次幂相等，运算后需将结果约分为最简分式，熟练掌握因式分解是正确约分的基础。
【难度系数】
0.7
(1)观察三个分式的分母，发现$b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2)$，首先将第二个分式变形为和另外两个分式同分母的形式，再根据同分母分式加减法法则，分母不变、分子相加减，之后对分子分母分别因式分解，约去公因式即可得到最简结果。
(2)观察两个分式的分母，根据平方的性质可得$(3-x)^2=(x-3)^2$，先统一两个分式的分母，再按照同分母分式加减法法则计算分子，对化简后的分子因式分解后约去公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 先统一分母：
原式$=\frac{a^2}{a^2 - b^2} - \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$
合并分子：
$=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$
因式分解分子分母：
$=\frac{(a - b)^2}{(a + b)(a - b)}$
约去公因式$a-b$：
$=\frac{a - b}{a + b}$
(2) 先统一分母：
原式$=\frac{x^2 - y}{(x - 3)^2} - \frac{9 - y}{(x - 3)^2}$
合并分子：
$=\frac{x^2 - y - (9 - y)}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - y - 9 + y}{(x - 3)^2}$
化简分子后因式分解：
$=\frac{x^2 - 9}{(x - 3)^2}=\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2}$
约去公因式$x-3$：
$=\frac{x + 3}{x - 3}$
【答案】
(1)$\frac{a - b}{a + b}$；(2)$\frac{x + 3}{x - 3}$
【知识点】
同分母分式加减、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础题型，解题核心是正确处理分母变形：互为相反数的分母转化时要注意符号变化，偶次幂下互为相反数的底数对应的偶次幂相等，运算后需将结果约分为最简分式，熟练掌握因式分解是正确约分的基础。
【难度系数】
0.7
12.请认真阅读以下材料,并完成相应任务。
材料:通过小学的学习,我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数。
例如:$\frac{8}{3}=\frac{6+2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{22}{3}$。
我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”。
如$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^2}{x+1}$这样的分式就是假分式;再如$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$这样的分式就是真分式。
类似地,假分式也可以化为带分式(整式与真分式的和)的形式。
如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$,
$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。
任务:
(1)分式$\frac{3}{x+1}$是
(2)将假分式$\frac{x^2}{x+1}$化为带分式的形式;
(3)已知$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数,直接写出$x$的整数值。
材料:通过小学的学习,我们知道,分数可分为“真分数”和“假分数”,而假分数都可化为带分数。
例如:$\frac{8}{3}=\frac{6+2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{22}{3}$。
我们定义:在分式中,对于只含有一个字母的分式,当分子的次数大于或等于分母的次数时,我们称之为“假分式”;当分子的次数小于分母的次数时,我们称之为“真分式”。
如$\frac{x-1}{x+1},\frac{x^2}{x+1}$这样的分式就是假分式;再如$\frac{3}{x+1},\frac{2x}{x^2+1}$这样的分式就是真分式。
类似地,假分式也可以化为带分式(整式与真分式的和)的形式。
如:$\frac{x-1}{x+1}=\frac{(x+1)-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$,
$\frac{x^2}{x-1}=\frac{x^2-1+1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。
任务:
(1)分式$\frac{3}{x+1}$是
真
(填“真”或“假”)分式;(2)将假分式$\frac{x^2}{x+1}$化为带分式的形式;
(3)已知$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数,直接写出$x$的整数值。
答案
12.解:(1)
∵分式$\frac{3}{x+1}$中,分子的次数为0,分母的次数为1,
即分子的次数小于分母的次数,
∴分式$\frac{3}{x+1}$为真分式。
故答案为真。
(2)原式$=\frac{x^2 -1 +1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
$=x-1+\frac{1}{x+1}$。
(3)原式$=\frac{2x -2 +5}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2+\frac{5}{x-1}$,
∵$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数,
∴$2+\frac{5}{x-1}$的值为正整数,
则$x-1$必须是5的整数因数,
∴$x-1=1$或$x-1=5$或$x-1=-5$,
解得$x=2$或6或$-4$。
∵分式$\frac{3}{x+1}$中,分子的次数为0,分母的次数为1,
即分子的次数小于分母的次数,
∴分式$\frac{3}{x+1}$为真分式。
故答案为真。
(2)原式$=\frac{x^2 -1 +1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x+1} + \frac{1}{x+1}$
$=x-1+\frac{1}{x+1}$。
(3)原式$=\frac{2x -2 +5}{x-1} = \frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1} = 2+\frac{5}{x-1}$,
∵$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数,
∴$2+\frac{5}{x-1}$的值为正整数,
则$x-1$必须是5的整数因数,
∴$x-1=1$或$x-1=5$或$x-1=-5$,
解得$x=2$或6或$-4$。
解析
【分析】
(1) 第一问紧扣真、假分式的定义解题：比较分子和分母的次数，若分子次数小于分母次数则为真分式，反之则为假分式。观察$\frac{3}{x+1}$，分子是常数、次数为0，分母是一次多项式、次数为1，分子次数小于分母次数，即可判断类型。
(2) 第二问将假分式化为带分式，核心思路是把分子拆为两部分：一部分是分母的整数倍，约分后得到整式；另一部分次数低于分母，拆分后为真分式。本题将分子$x^2$拆为$x^2-1+1$，其中$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，与分母约分后得到整式，剩余项与分母组成真分式，合并即可。
(3) 第三问先将$\frac{2x+3}{x-1}$拆分为整式与真分式的和，根据分式值为正整数的条件分析：整式部分为固定值，因此真分式部分必须为整数，且两部分相加结果为正，推出分母是5的整数因数，列举所有符合条件的因数求解x，再验证是否符合正整数要求即可，注意避免漏解。
【解析】
(1) 分式$\frac{3}{x+1}$中，分子为常数，次数为0，分母$x+1$的次数为1，分子次数小于分母次数，符合真分式的定义。
(2) 对$\frac{x^2}{x+1}$变形：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x+1}&=\frac{x^2 -1 +1}{x+1}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} + \frac{1}{x+1}\\&=x-1+\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先化简$\frac{2x+3}{x-1}$：
$\begin{aligned}\frac{2x+3}{x-1}&=\frac{2x -2 +5}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1}\\&=2+\frac{5}{x-1}\end{aligned}$
∵$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数，
∴$2+\frac{5}{x-1}$为正整数，即$\frac{5}{x-1}$为整数且$2+\frac{5}{x-1}＞0$。
因此$x-1$是5的整数因数，5的因数为$\pm1,\pm5$：
若$x-1=1$，则$x=2$，此时分式值为7，符合要求；
若$x-1=5$，则$x=6$，此时分式值为3，符合要求；
若$x-1=-1$，则$x=0$，此时分式值为-3，为负整数，不符合；
若$x-1=-5$，则$x=-4$，此时分式值为1，符合要求。
综上，x的整数值为2、6、-4。
【答案】
(1) 真；
(2) $x-1+\frac{1}{x+1}$；
(3) $2$，$6$，$-4$
【知识点】
1. 分式新定义
2. 分式的化简
3. 整数解求解
【点评】
本题为新定义类题目，考查对新概念的理解能力和分式运算能力，需要掌握拆分分子化简分式的方法，第三问需全面考虑因数的正负情况，结合正整数的条件筛选结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问紧扣真、假分式的定义解题：比较分子和分母的次数，若分子次数小于分母次数则为真分式，反之则为假分式。观察$\frac{3}{x+1}$，分子是常数、次数为0，分母是一次多项式、次数为1，分子次数小于分母次数，即可判断类型。
(2) 第二问将假分式化为带分式，核心思路是把分子拆为两部分：一部分是分母的整数倍，约分后得到整式；另一部分次数低于分母，拆分后为真分式。本题将分子$x^2$拆为$x^2-1+1$，其中$x^2-1$用平方差公式分解为$(x+1)(x-1)$，与分母约分后得到整式，剩余项与分母组成真分式，合并即可。
(3) 第三问先将$\frac{2x+3}{x-1}$拆分为整式与真分式的和，根据分式值为正整数的条件分析：整式部分为固定值，因此真分式部分必须为整数，且两部分相加结果为正，推出分母是5的整数因数，列举所有符合条件的因数求解x，再验证是否符合正整数要求即可，注意避免漏解。
【解析】
(1) 分式$\frac{3}{x+1}$中，分子为常数，次数为0，分母$x+1$的次数为1，分子次数小于分母次数，符合真分式的定义。
(2) 对$\frac{x^2}{x+1}$变形：
$\begin{aligned}\frac{x^2}{x+1}&=\frac{x^2 -1 +1}{x+1}\\&=\frac{(x+1)(x-1)}{x+1} + \frac{1}{x+1}\\&=x-1+\frac{1}{x+1}\end{aligned}$
(3) 先化简$\frac{2x+3}{x-1}$：
$\begin{aligned}\frac{2x+3}{x-1}&=\frac{2x -2 +5}{x-1}\\&=\frac{2(x-1)}{x-1} + \frac{5}{x-1}\\&=2+\frac{5}{x-1}\end{aligned}$
∵$\frac{2x+3}{x-1}$的值为正整数，
∴$2+\frac{5}{x-1}$为正整数，即$\frac{5}{x-1}$为整数且$2+\frac{5}{x-1}＞0$。
因此$x-1$是5的整数因数，5的因数为$\pm1,\pm5$：
若$x-1=1$，则$x=2$，此时分式值为7，符合要求；
若$x-1=5$，则$x=6$，此时分式值为3，符合要求；
若$x-1=-1$，则$x=0$，此时分式值为-3，为负整数，不符合；
若$x-1=-5$，则$x=-4$，此时分式值为1，符合要求。
综上，x的整数值为2、6、-4。
【答案】
(1) 真；
(2) $x-1+\frac{1}{x+1}$；
(3) $2$，$6$，$-4$
【知识点】
1. 分式新定义
2. 分式的化简
3. 整数解求解
【点评】
本题为新定义类题目，考查对新概念的理解能力和分式运算能力，需要掌握拆分分子化简分式的方法，第三问需全面考虑因数的正负情况，结合正整数的条件筛选结果，避免漏解。
【难度系数】
0.7
