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| 变式训练 | 新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱。各种品牌相继投放市场，一汽贸公司经销某品牌新能源汽车，去年销售总额为5 000万元。今年1－5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元，销售数量与去年一整年的相同，销售总额比去年一整年的少20％。则今年1－5月份每辆车的销售价格是多少万元？
答案
解:设今年1－5月份每辆车的销售价格x万元，
根据题意，得$\frac{5\ 000}{x+1}=\frac{5\ 000×(1-20\%)}{x}$。
解得 $x=4$。
检验:当 $x=4$ 时,$x(x+1)≠0$,
所以 $x=4$ 是原方程的解。
所以,今年1－5月份每辆车的销售价格为4万元。
根据题意，得$\frac{5\ 000}{x+1}=\frac{5\ 000×(1-20\%)}{x}$。
解得 $x=4$。
检验:当 $x=4$ 时,$x(x+1)≠0$,
所以 $x=4$ 是原方程的解。
所以,今年1－5月份每辆车的销售价格为4万元。
解析
【分析】
解决本题的核心是找准等量关系：今年1-5月的销售数量=去年全年的销售数量。我们已知销售数量的计算公式为“销售数量=销售总额÷每辆车的销售价格”，首先设今年1-5月每辆车的售价为x万元，即可推出去年每辆车售价为(x+1)万元；结合去年销售总额5000万元可表示出去年的总销量，再根据今年1-5月销售总额比去年少20%，算出今年1-5月的销售总额后可表示出今年的销量，根据两者销量相等列分式方程求解即可，注意分式方程求出根后需要检验有效性。
【解析】
解：设今年1－5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年每辆车的销售价格为(x+1)万元。
根据销售数量相等的等量关系列方程：
$\frac{5\ 000}{x+1}=\frac{5\ 000×(1-20\%)}{x}$
化简得：$\frac{5000}{x+1}=\frac{4000}{x}$
交叉相乘得：$5000x=4000(x+1)$
去括号得：$5000x=4000x+4000$
移项合并同类项得：$1000x=4000$
解得 $x=4$
检验：当 $x=4$ 时，$x(x+1)=4×5=20≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且符合实际销售的意义。
答：今年1－5月份每辆车的销售价格是4万元。
【答案】
4万元
【知识点】
分式方程的应用，销售问题数量关系，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际销售场景中的基础应用，解题的关键是抓住题目中不变的量作为等量关系建立方程，求解后要注意分式方程需要双重验根，既要验证根满足原方程，也要验证根符合实际情景的要求。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是找准等量关系：今年1-5月的销售数量=去年全年的销售数量。我们已知销售数量的计算公式为“销售数量=销售总额÷每辆车的销售价格”，首先设今年1-5月每辆车的售价为x万元，即可推出去年每辆车售价为(x+1)万元；结合去年销售总额5000万元可表示出去年的总销量，再根据今年1-5月销售总额比去年少20%，算出今年1-5月的销售总额后可表示出今年的销量，根据两者销量相等列分式方程求解即可，注意分式方程求出根后需要检验有效性。
【解析】
解：设今年1－5月份每辆车的销售价格为x万元，则去年每辆车的销售价格为(x+1)万元。
根据销售数量相等的等量关系列方程：
$\frac{5\ 000}{x+1}=\frac{5\ 000×(1-20\%)}{x}$
化简得：$\frac{5000}{x+1}=\frac{4000}{x}$
交叉相乘得：$5000x=4000(x+1)$
去括号得：$5000x=4000x+4000$
移项合并同类项得：$1000x=4000$
解得 $x=4$
检验：当 $x=4$ 时，$x(x+1)=4×5=20≠0$，因此$x=4$是原方程的解，且符合实际销售的意义。
答：今年1－5月份每辆车的销售价格是4万元。
【答案】
4万元
【知识点】
分式方程的应用，销售问题数量关系，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程在实际销售场景中的基础应用，解题的关键是抓住题目中不变的量作为等量关系建立方程，求解后要注意分式方程需要双重验根，既要验证根满足原方程，也要验证根符合实际情景的要求。
【难度系数】
0.7
1. 在创建“国家卫生城市”的活动中，某市园林部门加大了对市区主干道两旁植景观树的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，则现在平均每天植树（
A.10棵
B.15棵
C.20棵
D.25棵
C
）A.10棵
B.15棵
C.20棵
D.25棵
答案
C
解析
【分析】
这是一道分式方程应用类题目，解题核心是找准题中等量关系。首先明确题目给出的相等条件：现在植60棵树的所需时间=原计划植45棵树所需的时间。我们可以设现在平均每天植树x棵，根据“现在平均每天比原计划多植5棵”可推出原计划每天植树$(x-5)$棵，再结合“植树时间=总植树棵数÷每天植树棵数”分别表示出两个时间段，即可列出方程求解，注意分式方程求解后需要检验根是否符合方程要求和实际意义。
【解析】
设现在平均每天植树$x$棵，则原计划平均每天植树$(x-5)$棵。
根据题意列方程得：
$\frac{60}{x}=\frac{45}{x-5}$
交叉相乘去分母得：
$60(x-5)=45x$
展开括号：
$60x-300=45x$
移项合并同类项：
$15x=300$
解得：
$x=20$
检验：将$x=20$代入原方程分母，$x=20≠0$，$x-5=15≠0$，因此$x=20$是原方程的解，且符合实际植树的数量要求。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；解分式方程；工程类应用题
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查利用分式方程解决实际问题的能力，解题关键是准确抓住时间相等的核心等量关系，同时要牢记分式方程求解后必须检验根的有效性，排除增根和不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
这是一道分式方程应用类题目，解题核心是找准题中等量关系。首先明确题目给出的相等条件：现在植60棵树的所需时间=原计划植45棵树所需的时间。我们可以设现在平均每天植树x棵，根据“现在平均每天比原计划多植5棵”可推出原计划每天植树$(x-5)$棵，再结合“植树时间=总植树棵数÷每天植树棵数”分别表示出两个时间段，即可列出方程求解，注意分式方程求解后需要检验根是否符合方程要求和实际意义。
【解析】
设现在平均每天植树$x$棵，则原计划平均每天植树$(x-5)$棵。
根据题意列方程得：
$\frac{60}{x}=\frac{45}{x-5}$
交叉相乘去分母得：
$60(x-5)=45x$
展开括号：
$60x-300=45x$
移项合并同类项：
$15x=300$
解得：
$x=20$
检验：将$x=20$代入原方程分母，$x=20≠0$，$x-5=15≠0$，因此$x=20$是原方程的解，且符合实际植树的数量要求。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用；解分式方程；工程类应用题
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查利用分式方程解决实际问题的能力，解题关键是准确抓住时间相等的核心等量关系，同时要牢记分式方程求解后必须检验根的有效性，排除增根和不符合实际意义的解。
【难度系数】
0.7
2.甲、乙两人加工同一种零件，甲加工90个零件所用的时间与乙加工120个零件所用的时间相等。已知甲、乙两人每天共加工35个零件，则甲每天加工零件（
A.15个
B.20个
C.18个
D.17个
A
）A.15个
B.20个
C.18个
D.17个
答案
A
解析
【分析】
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系找等量条件。首先从题目提取两个关键信息：①甲加工90个零件的时间=乙加工120个零件的时间；②甲、乙每天共加工35个零件。我们可以设甲每天加工的零件数为未知数，用总加工数表示出乙每天的加工量，再根据时间相等的关系列方程求解，注意分式方程求解后要检验根的合理性。
【解析】
解：设甲每天加工$x$个零件，则乙每天加工$(35-x)$个零件。
根据甲、乙加工对应零件的时间相等，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{120}{35-x}$
交叉相乘去分母得：
$90(35-x)=120x$
展开括号：
$3150-90x=120x$
移项合并同类项：
$210x=3150$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，$x≠0$，$35-x=20≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际加工的数量要求。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是找准时间相等的等量关系，求解后要注意检验分式方程的根既要满足分母不为0的要求，也要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.8
这是一道工程类的分式方程应用题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系找等量条件。首先从题目提取两个关键信息：①甲加工90个零件的时间=乙加工120个零件的时间；②甲、乙每天共加工35个零件。我们可以设甲每天加工的零件数为未知数，用总加工数表示出乙每天的加工量，再根据时间相等的关系列方程求解，注意分式方程求解后要检验根的合理性。
【解析】
解：设甲每天加工$x$个零件，则乙每天加工$(35-x)$个零件。
根据甲、乙加工对应零件的时间相等，列方程得：
$\frac{90}{x}=\frac{120}{35-x}$
交叉相乘去分母得：
$90(35-x)=120x$
展开括号：
$3150-90x=120x$
移项合并同类项：
$210x=3150$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，$x≠0$，$35-x=20≠0$，因此$x=15$是原方程的解，且符合实际加工的数量要求。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的应用；工程问题数量关系
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是找准时间相等的等量关系，求解后要注意检验分式方程的根既要满足分母不为0的要求，也要符合实际问题的意义。
【难度系数】
0.8
3.一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，若它以最大航速沿江顺流航行 120 km所用的时间与以最大航速沿江逆流航行60 km所用的时间相同，则江水的流速为
10
km/h。答案
10
解析
【分析】
这是一道流水行船类的行程应用题，解题核心是抓住“时间相同”这个等量关系列方程。首先回忆流水行船的速度公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再结合“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流航行120km的时间和逆流航行60km的时间，令二者相等即可列出分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可得到答案。
【解析】
设江水的流速为$ v $ km/h。
根据题意，轮船顺流的最大航速为$ (30+v) $ km/h，逆流的最大航速为$ (30-v) $ km/h。
因为顺流航行120km所用时间与逆流航行60km所用时间相同，可列方程：
$\frac{120}{30+v} = \frac{60}{30-v}$
交叉相乘去分母得：
$120(30-v) = 60(30+v)$
两边同时除以60化简得：
$2(30-v) = 30+v$
展开括号：
$60 - 2v = 30 + v$
移项合并同类项：
$3v = 30$
解得：$ v=10 $
检验：将$ v=10 $代入原方程分母，$ 30+10=40≠0 $，$ 30-10=20≠0 $，且流速10km/h小于静水航速，符合实际意义，是原方程的解。
【答案】
10
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 流水行船行程问题
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是正确梳理顺流、逆流速度的表达式，准确抓住时间相等的等量关系列方程，解分式方程后要注意检验根是否满足分母不为0、是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
这是一道流水行船类的行程应用题，解题核心是抓住“时间相同”这个等量关系列方程。首先回忆流水行船的速度公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；再结合“时间=路程÷速度”，分别表示出顺流航行120km的时间和逆流航行60km的时间，令二者相等即可列出分式方程，求解后检验根是否符合实际意义即可得到答案。
【解析】
设江水的流速为$ v $ km/h。
根据题意，轮船顺流的最大航速为$ (30+v) $ km/h，逆流的最大航速为$ (30-v) $ km/h。
因为顺流航行120km所用时间与逆流航行60km所用时间相同，可列方程：
$\frac{120}{30+v} = \frac{60}{30-v}$
交叉相乘去分母得：
$120(30-v) = 60(30+v)$
两边同时除以60化简得：
$2(30-v) = 30+v$
展开括号：
$60 - 2v = 30 + v$
移项合并同类项：
$3v = 30$
解得：$ v=10 $
检验：将$ v=10 $代入原方程分母，$ 30+10=40≠0 $，$ 30-10=20≠0 $，且流速10km/h小于静水航速，符合实际意义，是原方程的解。
【答案】
10
【知识点】
1. 分式方程的应用
2. 流水行船行程问题
【点评】
本题属于基础的分式方程应用题，解题的关键是正确梳理顺流、逆流速度的表达式，准确抓住时间相等的等量关系列方程，解分式方程后要注意检验根是否满足分母不为0、是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
4.某班的学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15 km。一部分学生骑自行车先走，过了15 min，其余的学生乘公交车出发，结果他们同时到达科技馆。已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是
20
km/h。答案
20
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：①首先明确行程问题核心公式：路程=速度×时间，本题中两种方式行驶的路程均为15km，已知公交车速度是自行车速度的1.5倍，且骑自行车的学生比乘公交车的学生多用15min到达；②先统一单位，将15min换算为0.25h，设自行车速度为未知数，即可表示出公交车的速度；③根据“自行车行驶总时间 - 公交车行驶总时间 = 先走的15min”这一等量关系列分式方程；④求解方程后要检验，既要确认解是原方程的根，也要符合实际意义。
【解析】
首先统一单位：$15\ \mathrm{min} = \frac{15}{60}\ \mathrm{h} = 0.25\ \mathrm{h}$
设学生骑自行车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则公交车的速度为$1.5x\ \mathrm{km/h}$。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.5x} = 0.25$
化简方程：
$\frac{15}{x} - \frac{10}{x} = 0.25$
$\frac{5}{x} = 0.25$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x ≠ 0$，$1.5x = 30 ≠ 0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际出行的速度要求。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题的核心是找准时间差这一关键等量关系，需要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配导致计算错误，解完分式方程后务必要进行检验，排除增根，同时确认解符合实际情景。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：①首先明确行程问题核心公式：路程=速度×时间，本题中两种方式行驶的路程均为15km，已知公交车速度是自行车速度的1.5倍，且骑自行车的学生比乘公交车的学生多用15min到达；②先统一单位，将15min换算为0.25h，设自行车速度为未知数，即可表示出公交车的速度；③根据“自行车行驶总时间 - 公交车行驶总时间 = 先走的15min”这一等量关系列分式方程；④求解方程后要检验，既要确认解是原方程的根，也要符合实际意义。
【解析】
首先统一单位：$15\ \mathrm{min} = \frac{15}{60}\ \mathrm{h} = 0.25\ \mathrm{h}$
设学生骑自行车的速度为$x\ \mathrm{km/h}$，则公交车的速度为$1.5x\ \mathrm{km/h}$。
根据时间差的等量关系列方程：
$\frac{15}{x} - \frac{15}{1.5x} = 0.25$
化简方程：
$\frac{15}{x} - \frac{10}{x} = 0.25$
$\frac{5}{x} = 0.25$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x ≠ 0$，$1.5x = 30 ≠ 0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际出行的速度要求。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用、行程问题等量关系、分式方程检验
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题的核心是找准时间差这一关键等量关系，需要注意时间单位的统一，避免因单位不匹配导致计算错误，解完分式方程后务必要进行检验，排除增根，同时确认解符合实际情景。
【难度系数】
0.7
5.观察并分析下列方程:①$x+\frac{2}{x}=3$;②$x+\frac{6}{x}=5$;③$x+\frac{12}{x}=7$。请利用它们蕴含的规律,写出第n个方程:
$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$
。答案
$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$
解析
【分析】
解决本题可采用拆分找规律的思路，将每个方程拆分为左侧第一项、左侧分式的分子、方程右侧常数项三部分，分别对应序号n（n为正整数）寻找变化规律，再组合得到第n个方程。具体思考步骤：第一步，标记3个已知方程的序号为n=1、n=2、n=3；第二步，分别观察各部分的变化：左侧第一项固定为x，无需变化；左侧分式的分子，n=1时为2=1×2，n=2时为6=2×3，n=3时为12=3×4，可得第n个方程的分子为n(n+1)；方程右侧的常数，n=1时为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，n=3时为7=2×3+1，可得第n个方程的右侧为2n+1；第三步按原方程结构组合各部分即可。
【解析】
将3个已知方程对应序号n=1、2、3逐一验证规律：
当n=1时，代入规律表达式得$x+\frac{1×2}{x}=2×1+1$，即$x+\frac{2}{x}=3$，与方程①一致；
当n=2时，代入规律表达式得$x+\frac{2×3}{x}=2×2+1$，即$x+\frac{6}{x}=5$，与方程②一致；
当n=3时，代入规律表达式得$x+\frac{3×4}{x}=2×3+1$，即$x+\frac{12}{x}=7$，与方程③一致；
因此归纳可得第n个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$（n为正整数）。
【答案】
$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$
【知识点】
数字规律探究，分式方程的概念
【点评】
本题是规律探究类基础题型，核心考查观察与归纳能力，拆分方程各部分分别对应序号找规律的方法是解决这类问题的常用技巧，难度较低，细心观察即可得到正确结论。
【难度系数】
0.8
解决本题可采用拆分找规律的思路，将每个方程拆分为左侧第一项、左侧分式的分子、方程右侧常数项三部分，分别对应序号n（n为正整数）寻找变化规律，再组合得到第n个方程。具体思考步骤：第一步，标记3个已知方程的序号为n=1、n=2、n=3；第二步，分别观察各部分的变化：左侧第一项固定为x，无需变化；左侧分式的分子，n=1时为2=1×2，n=2时为6=2×3，n=3时为12=3×4，可得第n个方程的分子为n(n+1)；方程右侧的常数，n=1时为3=2×1+1，n=2时为5=2×2+1，n=3时为7=2×3+1，可得第n个方程的右侧为2n+1；第三步按原方程结构组合各部分即可。
【解析】
将3个已知方程对应序号n=1、2、3逐一验证规律：
当n=1时，代入规律表达式得$x+\frac{1×2}{x}=2×1+1$，即$x+\frac{2}{x}=3$，与方程①一致；
当n=2时，代入规律表达式得$x+\frac{2×3}{x}=2×2+1$，即$x+\frac{6}{x}=5$，与方程②一致；
当n=3时，代入规律表达式得$x+\frac{3×4}{x}=2×3+1$，即$x+\frac{12}{x}=7$，与方程③一致；
因此归纳可得第n个方程为$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$（n为正整数）。
【答案】
$x+\frac{n(n+1)}{x}=2n+1$
【知识点】
数字规律探究，分式方程的概念
【点评】
本题是规律探究类基础题型，核心考查观察与归纳能力，拆分方程各部分分别对应序号找规律的方法是解决这类问题的常用技巧，难度较低，细心观察即可得到正确结论。
【难度系数】
0.8
6.一艘轮船在静水中的最大航速为20 km/h，它沿江以最大航速顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，则江水的流速为多少？（只列方程）
答案
解:设江水的流速为 $x$ km/h,由题意得
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$。
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$。
解析
【分析】
解题时首先提取题干的核心等量关系：顺流航行100 km所用时间 = 逆流航行60 km所用时间。其次回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。再结合行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，先设江水的流速为未知数，分别表示出顺流、逆流的行驶速度，进而表示出两个行驶时间，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
轮船顺流的最大航速为$(20+x)$ km/h，顺流航行100 km的时间为$\frac{100}{20+x}$ h；
轮船逆流的最大航速为$(20-x)$ km/h，逆流航行60 km的时间为$\frac{60}{20-x}$ h。
根据两种航行方式时间相等，可列方程：
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$
【答案】
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$
【知识点】
分式方程应用；流水行船速度规律；行程问题公式
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是找准题干给出的等量关系，同时熟练掌握流水行船的速度计算方法，结合行程的基本公式就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干的核心等量关系：顺流航行100 km所用时间 = 逆流航行60 km所用时间。其次回忆流水行船的速度规律：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度。再结合行程问题的基本公式“时间=路程÷速度”，先设江水的流速为未知数，分别表示出顺流、逆流的行驶速度，进而表示出两个行驶时间，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
解：设江水的流速为$x$ km/h。
轮船顺流的最大航速为$(20+x)$ km/h，顺流航行100 km的时间为$\frac{100}{20+x}$ h；
轮船逆流的最大航速为$(20-x)$ km/h，逆流航行60 km的时间为$\frac{60}{20-x}$ h。
根据两种航行方式时间相等，可列方程：
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$
【答案】
$\frac{60}{20-x}=\frac{100}{20+x}$
【知识点】
分式方程应用；流水行船速度规律；行程问题公式
【点评】
本题属于基础的方程应用题，核心是找准题干给出的等量关系，同时熟练掌握流水行船的速度计算方法，结合行程的基本公式就能顺利列出方程。
【难度系数】
0.8
