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11.已知关于$x$的分式方程$\frac{x-a}{x-1}-\frac{3}{x}=1+\frac{a}{x^2 - x}$，回答下列问题：
(1)原方程去分母后，整理成关于$x$的整式方程得：
(2)若原分式方程无解，求$a$的值。
(1)原方程去分母后，整理成关于$x$的整式方程得：
$(a+2)x=3-a$
；(2)若原分式方程无解，求$a$的值。
答案
(1)$\because \frac{x-a}{x-1}-\frac{3}{x}=1+\frac{a}{x^2-x}$,
$\therefore x(x-a)-3(x-1)=x^2-x+a$,
$\therefore (a+2)x=3-a$。
(2)当$a+2=0$时,此时$a=-2$,该方程无解;
当$a+2≠0$时,此时将$x=\frac{3-a}{a+2}$代入$x(x-1)=0$,
$\therefore \frac{3-a}{a+2}(\frac{3-a}{a+2}-1)=0$,
$\therefore \frac{3-a}{a+2}=0$或$\frac{3-a}{a+2}=1$,
$\therefore a=3$或$a=\frac{1}{2}$;
综上所述,$a=-2$或$3$或$\frac{1}{2}$。
$\therefore x(x-a)-3(x-1)=x^2-x+a$,
$\therefore (a+2)x=3-a$。
(2)当$a+2=0$时,此时$a=-2$,该方程无解;
当$a+2≠0$时,此时将$x=\frac{3-a}{a+2}$代入$x(x-1)=0$,
$\therefore \frac{3-a}{a+2}(\frac{3-a}{a+2}-1)=0$,
$\therefore \frac{3-a}{a+2}=0$或$\frac{3-a}{a+2}=1$,
$\therefore a=3$或$a=\frac{1}{2}$;
综上所述,$a=-2$或$3$或$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 要将分式方程转化为整式方程，首先确定最简公分母：原方程各分母分别为$x-1$、$x$、$x^2-x=x(x-1)$，因此最简公分母是$x(x-1)$。给方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项“1”，再通过去括号、移项、合并同类项即可整理得到关于$x$的整式方程。
(2) 分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解，对于一元一次方程$Ax=B$，当$A=0$且$B≠0$时方程无解；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的$x$值，即$x=0$或$x=1$），将增根代入整式方程即可求出对应的$a$值，最后综合两种情况得到所有符合要求的$a$的取值。
【解析】
(1) 原方程为$\frac{x-a}{x-1}-\frac{3}{x}=1+\frac{a}{x^2-x}$，最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同时乘$x(x-1)$得：
$x(x-a)-3(x-1)=x(x-1)+a$
展开得：$x^2-ax-3x+3=x^2-x+a$
移项、合并同类项消去$x^2$项：$-ax-3x+3+x-a=0$
整理得：$\boldsymbol{(a+2)x=3-a}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时：
令$a+2=0$，解得$a=-2$，此时方程右边$3-a=3-(-2)=5≠0$，整式方程变为$0· x=5$，无实数解，因此原分式方程无解，符合要求；
② 当整式方程有解，但解为原分式方程的增根时：
原分式方程的增根满足$x(x-1)=0$，即$x=0$或$x=1$。
当$a+2≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{3-a}{a+2}$：
若增根为$x=0$，则$\frac{3-a}{a+2}=0$，即$3-a=0$，解得$a=3$；
若增根为$x=1$，则$\frac{3-a}{a+2}=1$，去分母得$3-a=a+2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
综上，原分式方程无解时$a$的取值为$-2$、$3$、$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $(a+2)x=3-a$
(2) $a=-2$或$3$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程去分母法则
2. 分式方程无解的判定
3. 增根的定义及应用
【点评】
本题重点考查分式方程相关的分类讨论思想，解题时要注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要准确找出所有可能的增根代入求解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
(1) 要将分式方程转化为整式方程，首先确定最简公分母：原方程各分母分别为$x-1$、$x$、$x^2-x=x(x-1)$，因此最简公分母是$x(x-1)$。给方程两边同时乘最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项“1”，再通过去括号、移项、合并同类项即可整理得到关于$x$的整式方程。
(2) 分式方程无解分两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解，对于一元一次方程$Ax=B$，当$A=0$且$B≠0$时方程无解；②整式方程有解，但该解是原分式方程的增根（即使原分式方程分母为0的$x$值，即$x=0$或$x=1$），将增根代入整式方程即可求出对应的$a$值，最后综合两种情况得到所有符合要求的$a$的取值。
【解析】
(1) 原方程为$\frac{x-a}{x-1}-\frac{3}{x}=1+\frac{a}{x^2-x}$，最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同时乘$x(x-1)$得：
$x(x-a)-3(x-1)=x(x-1)+a$
展开得：$x^2-ax-3x+3=x^2-x+a$
移项、合并同类项消去$x^2$项：$-ax-3x+3+x-a=0$
整理得：$\boldsymbol{(a+2)x=3-a}$
(2) 分两种情况讨论：
① 当整式方程无解时：
令$a+2=0$，解得$a=-2$，此时方程右边$3-a=3-(-2)=5≠0$，整式方程变为$0· x=5$，无实数解，因此原分式方程无解，符合要求；
② 当整式方程有解，但解为原分式方程的增根时：
原分式方程的增根满足$x(x-1)=0$，即$x=0$或$x=1$。
当$a+2≠0$时，整式方程的解为$x=\frac{3-a}{a+2}$：
若增根为$x=0$，则$\frac{3-a}{a+2}=0$，即$3-a=0$，解得$a=3$；
若增根为$x=1$，则$\frac{3-a}{a+2}=1$，去分母得$3-a=a+2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
综上，原分式方程无解时$a$的取值为$-2$、$3$、$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $(a+2)x=3-a$
(2) $a=-2$或$3$或$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 分式方程去分母法则
2. 分式方程无解的判定
3. 增根的定义及应用
【点评】
本题重点考查分式方程相关的分类讨论思想，解题时要注意不要遗漏整式方程本身无解的情况，同时要准确找出所有可能的增根代入求解，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6
在用分式方程解决实际问题时，要注意检验解的“双重”合理性：解出的解不仅要满足
分式方程
，还要符合实际问题的意义
。答案
解出的分式方程的解不仅要满足分式方程，还要符合实际问题的意义。
解析
【分析】
我们可以从分式方程的特点和实际应用的要求两个层面思考：首先，分式方程去分母求解时可能产生使分母为0的增根，所以解首先要保证是分式方程本身的有效解；其次，用分式方程解决实际问题时，未知数代表的是现实中的量（比如人数、时间、价格等），有明确的现实约束，所以解还要符合实际场景的要求。
【解析】
解分式方程的过程中，去分母的操作可能引入使原分式分母为0的增根，因此解出的结果首先要满足分式方程本身，以此排除增根；当分式方程用于解决实际问题时，未知数的取值对应实际场景中的具体量，存在现实约束，因此解还需要符合实际问题的意义。
【答案】
分式方程；实际问题的意义
【知识点】
分式方程解的检验；分式方程的实际应用
【点评】
本题考查分式方程解决实际问题时的检验要求，属于基础概念类题目，牢记双重检验的原则是求解分式方程实际应用题的关键，能有效避免增根或不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.9
我们可以从分式方程的特点和实际应用的要求两个层面思考：首先，分式方程去分母求解时可能产生使分母为0的增根，所以解首先要保证是分式方程本身的有效解；其次，用分式方程解决实际问题时，未知数代表的是现实中的量（比如人数、时间、价格等），有明确的现实约束，所以解还要符合实际场景的要求。
【解析】
解分式方程的过程中，去分母的操作可能引入使原分式分母为0的增根，因此解出的结果首先要满足分式方程本身，以此排除增根；当分式方程用于解决实际问题时，未知数的取值对应实际场景中的具体量，存在现实约束，因此解还需要符合实际问题的意义。
【答案】
分式方程；实际问题的意义
【知识点】
分式方程解的检验；分式方程的实际应用
【点评】
本题考查分式方程解决实际问题时的检验要求，属于基础概念类题目，牢记双重检验的原则是求解分式方程实际应用题的关键，能有效避免增根或不符合实际的错误解。
【难度系数】
0.9
例 已知一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器收割10 $ \mathrm{hm}^2 $的小麦比80个农民人工收割这些小麦少用1 h。
(1)这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
(2)通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10 $ \mathrm{hm}^2 $小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用0.8 h。那么技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的多少倍？
[点拨] (1)设一个农民每小时收割小麦$ x \ \mathrm{hm}^2 $，则这台收割机每小时收割$ 120x \ \mathrm{hm}^2 $，由题意得到关于$ x $的分式方程，求解并检验即可。
(2)设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$ n $倍，则由(1)知一个农民每小时收割小麦$ \frac{1}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，一台收割机每小时收割$ \frac{n}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，由题意得到关于$ x $的分式方程，求解并检验即可。
[解] (1)设一个农民每小时收割小麦$ x \ \mathrm{hm}^2 $，则这台收割机每小时收割$ 120x \ \mathrm{hm}^2 $。
由题意得$ \frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x} $，
解得$ x = \frac{1}{24} $。
经检验，$ x = \frac{1}{24} $是原分式方程的解。
∴这台收割机每小时收割小麦
$ \frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2) $。
所以这台收割机每小时收割$ 5 \ \mathrm{hm}^2 $小麦。
(2)设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$ n $倍，则由(1)知一个农民每小时收割小麦$ \frac{1}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，一台收割机每小时收割$ \frac{n}{24} \ \mathrm{hm}^2 $。
由题意得$ \frac{10}{100 × \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8 $。
解得$ n = 150 $。
经检验，$ n = 150 $是原分式方程的解。
所以技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
(1)这台收割机每小时收割多少公顷小麦？
(2)通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10 $ \mathrm{hm}^2 $小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用0.8 h。那么技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的多少倍？
[点拨] (1)设一个农民每小时收割小麦$ x \ \mathrm{hm}^2 $，则这台收割机每小时收割$ 120x \ \mathrm{hm}^2 $，由题意得到关于$ x $的分式方程，求解并检验即可。
(2)设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$ n $倍，则由(1)知一个农民每小时收割小麦$ \frac{1}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，一台收割机每小时收割$ \frac{n}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，由题意得到关于$ x $的分式方程，求解并检验即可。
[解] (1)设一个农民每小时收割小麦$ x \ \mathrm{hm}^2 $，则这台收割机每小时收割$ 120x \ \mathrm{hm}^2 $。
由题意得$ \frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x} $，
解得$ x = \frac{1}{24} $。
经检验，$ x = \frac{1}{24} $是原分式方程的解。
∴这台收割机每小时收割小麦
$ \frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2) $。
所以这台收割机每小时收割$ 5 \ \mathrm{hm}^2 $小麦。
(2)设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$ n $倍，则由(1)知一个农民每小时收割小麦$ \frac{1}{24} \ \mathrm{hm}^2 $，一台收割机每小时收割$ \frac{n}{24} \ \mathrm{hm}^2 $。
由题意得$ \frac{10}{100 × \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8 $。
解得$ n = 150 $。
经检验，$ n = 150 $是原分式方程的解。
所以技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
答案
解：
(1) 设一个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，则这台收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x}$，
解得$x = \frac{1}{24}$。
经检验，$x = \frac{1}{24}$是原分式方程的解，且符合实际意义。
这台收割机每小时收割小麦的面积为$\frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2)$。
(2) 设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$n$倍。
由(1)可知一个农民每小时收割小麦$\frac{1}{24}\ \mathrm{hm}^2$，则革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{100× \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8$，
解得$n = 150$。
经检验，$n = 150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：(1)这台收割机每小时收割$5\ \mathrm{hm}^2$小麦；(2)技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
(1) 设一个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，则这台收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x}$，
解得$x = \frac{1}{24}$。
经检验，$x = \frac{1}{24}$是原分式方程的解，且符合实际意义。
这台收割机每小时收割小麦的面积为$\frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2)$。
(2) 设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$n$倍。
由(1)可知一个农民每小时收割小麦$\frac{1}{24}\ \mathrm{hm}^2$，则革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{100× \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8$，
解得$n = 150$。
经检验，$n = 150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：(1)这台收割机每小时收割$5\ \mathrm{hm}^2$小麦；(2)技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
解析
【分析】
本题为工程类分式方程应用题，核心解题依据为“工作时间=工作总量÷工作效率”。
(1) 先设1个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，根据收割机效率是农民的120倍，可知收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。题目给出的时间等量关系为：80个农民收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时减去1小时，等于收割机收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时，根据这个关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际，再代入计算收割机的工作效率即可。
(2) 设技术革新后收割机的工作效率是1个农民的$n$倍，结合(1)中求出的农民每小时收割量，可得革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。本题等量关系为：100个农民收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时，等于革新后收割机收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时加0.8小时，列方程求解并检验即可得到结果。
【解析】
(1) 设一个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，则这台收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x}$，
解得$x = \frac{1}{24}$。
经检验，$x = \frac{1}{24}$是原分式方程的解，且符合实际意义。
这台收割机每小时收割小麦的面积为$\frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2)$。
(2) 设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$n$倍。
由(1)可知一个农民每小时收割小麦$\frac{1}{24}\ \mathrm{hm}^2$，则革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{100× \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8$，
解得$n = 150$。
经检验，$n = 150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 这台收割机每小时收割$5\ \mathrm{hm}^2$小麦；(2) 技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类实际应用问题，解题的关键是找准工作时间的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足原方程且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题为工程类分式方程应用题，核心解题依据为“工作时间=工作总量÷工作效率”。
(1) 先设1个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，根据收割机效率是农民的120倍，可知收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。题目给出的时间等量关系为：80个农民收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时减去1小时，等于收割机收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时，根据这个关系列分式方程，求解后检验根是否符合实际，再代入计算收割机的工作效率即可。
(2) 设技术革新后收割机的工作效率是1个农民的$n$倍，结合(1)中求出的农民每小时收割量，可得革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。本题等量关系为：100个农民收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时，等于革新后收割机收割10$\mathrm{hm}^2$小麦的用时加0.8小时，列方程求解并检验即可得到结果。
【解析】
(1) 设一个农民每小时收割小麦$x\ \mathrm{hm}^2$，则这台收割机每小时收割$120x\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{80x} - 1 = \frac{10}{120x}$，
解得$x = \frac{1}{24}$。
经检验，$x = \frac{1}{24}$是原分式方程的解，且符合实际意义。
这台收割机每小时收割小麦的面积为$\frac{1}{24} × 120 = 5(\mathrm{hm}^2)$。
(2) 设技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的$n$倍。
由(1)可知一个农民每小时收割小麦$\frac{1}{24}\ \mathrm{hm}^2$，则革新后收割机每小时收割$\frac{n}{24}\ \mathrm{hm}^2$。
由题意得$\frac{10}{100× \frac{1}{24}} = \frac{10}{\frac{n}{24}} + 0.8$，
解得$n = 150$。
经检验，$n = 150$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 这台收割机每小时收割$5\ \mathrm{hm}^2$小麦；(2) 技术革新后这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题等量关系，分式方程的检验
【点评】
本题是典型的工程类实际应用问题，解题的关键是找准工作时间的等量关系列方程，需要注意分式方程求解后必须检验根是否满足原方程且符合实际意义。
【难度系数】
0.7
