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7. 甲、乙两地相距1 400 km，从甲地到乙地乘高铁列车比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的2.8倍。
(1)写出这一问题中的所有等量关系；
(2)设特快列车的平均速度为x km/h，请列出关于x的方程；
(3)设小明同学乘高铁列车从甲地到乙地需y h，请列出关于y的方程。
(1)写出这一问题中的所有等量关系；
(2)设特快列车的平均速度为x km/h，请列出关于x的方程；
(3)设小明同学乘高铁列车从甲地到乙地需y h，请列出关于y的方程。
答案
解:(1)等量关系：
①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；
②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8。
(2)由题意得$\frac{1\ 400}{x}-9=\frac{1\ 400}{2.8x}$。
(3)由题意得$\frac{1\ 400}{y}=2.8×\frac{1\ 400}{y+9}$。
①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；
②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8。
(2)由题意得$\frac{1\ 400}{x}-9=\frac{1\ 400}{2.8x}$。
(3)由题意得$\frac{1\ 400}{y}=2.8×\frac{1\ 400}{y+9}$。
解析
【分析】
解题时先从题干提取核心信息：一是高铁行驶时间比特快列车少9h，二是高铁平均速度是特快列车的2.8倍。
(1)找等量关系直接对应提取到的两个核心逻辑关系即可；
(2)设特快速度为x km/h，先推导出高铁速度为2.8x km/h，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两种列车的行驶时间，结合“特快行驶时间-9=高铁行驶时间”的等量关系列方程；
(3)设高铁行驶时间为y h，先推导出特快行驶时间为(y+9)h，再根据“速度=路程÷时间”分别表示两种列车的速度，结合“高铁速度=2.8×特快速度”的等量关系列方程。
【解析】
(1)根据题干信息梳理等量关系：
①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；
②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8。
(2)设特快列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为2.8x km/h，
特快列车从甲地到乙地的用时为$\frac{1400}{x}$ h，高铁列车的用时为$\frac{1400}{2.8x}$ h，代入时间等量关系得：
$\frac{1400}{x}-9=\frac{1400}{2.8x}$。
(3)设乘高铁列车从甲地到乙地需y h，则乘特快列车需要(y+9)h，
高铁列车的平均速度为$\frac{1400}{y}$ km/h，特快列车的平均速度为$\frac{1400}{y+9}$ km/h，代入速度等量关系得：
$\frac{1400}{y}=2.8×\frac{1400}{y+9}$。
【答案】
(1)①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8；
(2)$\frac{1\ 400}{x}-9=\frac{1\ 400}{2.8x}$；
(3)$\frac{1\ 400}{y}=2.8×\frac{1\ 400}{y+9}$。
【知识点】
行程问题公式，等量关系识别，分式方程列写
【点评】
本题是行程类应用题的基础题型，重点考查从题干提取有效信息、梳理逻辑关系的能力，熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系是解决这类问题的核心，也为后续求解分式方程及解决更复杂的实际应用问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
解题时先从题干提取核心信息：一是高铁行驶时间比特快列车少9h，二是高铁平均速度是特快列车的2.8倍。
(1)找等量关系直接对应提取到的两个核心逻辑关系即可；
(2)设特快速度为x km/h，先推导出高铁速度为2.8x km/h，再根据“时间=路程÷速度”分别表示两种列车的行驶时间，结合“特快行驶时间-9=高铁行驶时间”的等量关系列方程；
(3)设高铁行驶时间为y h，先推导出特快行驶时间为(y+9)h，再根据“速度=路程÷时间”分别表示两种列车的速度，结合“高铁速度=2.8×特快速度”的等量关系列方程。
【解析】
(1)根据题干信息梳理等量关系：
①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；
②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8。
(2)设特快列车的平均速度为x km/h，则高铁列车的平均速度为2.8x km/h，
特快列车从甲地到乙地的用时为$\frac{1400}{x}$ h，高铁列车的用时为$\frac{1400}{2.8x}$ h，代入时间等量关系得：
$\frac{1400}{x}-9=\frac{1400}{2.8x}$。
(3)设乘高铁列车从甲地到乙地需y h，则乘特快列车需要(y+9)h，
高铁列车的平均速度为$\frac{1400}{y}$ km/h，特快列车的平均速度为$\frac{1400}{y+9}$ km/h，代入速度等量关系得：
$\frac{1400}{y}=2.8×\frac{1400}{y+9}$。
【答案】
(1)①乘高铁列车所用时间＝乘特快列车所用时间－9；②高铁列车平均行驶速度＝特快列车平均速度×2.8；
(2)$\frac{1\ 400}{x}-9=\frac{1\ 400}{2.8x}$；
(3)$\frac{1\ 400}{y}=2.8×\frac{1\ 400}{y+9}$。
【知识点】
行程问题公式，等量关系识别，分式方程列写
【点评】
本题是行程类应用题的基础题型，重点考查从题干提取有效信息、梳理逻辑关系的能力，熟练掌握路程、速度、时间三者的运算关系是解决这类问题的核心，也为后续求解分式方程及解决更复杂的实际应用问题奠定基础。
【难度系数】
0.8
8.甲、乙两人制作某种机械零件。
（1）已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用时间相等，则甲、乙每小时各做零件多少个？
（2）已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，则乙每小时做零件多少个？
（1）已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用时间相等，则甲、乙每小时各做零件多少个？
（2）已知甲计划做零件60个，乙计划做零件100个，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟完成任务，则乙每小时做零件多少个？
答案
解:(1)设乙每小时做 $x$ 个,则甲每小时做 $(x+6)$ 个，
甲做 90 个所用的时间为$\frac{90}{x+6}$小时,乙做 60 个所用的时间为$\frac{60}{x}$小时；
根据题意列方程为:$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，
解得 $x=12$，
经检验:$x=12$ 是原分式方程的解,且符合题意，
则 $x+6=18$。
所以,甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个。
(2)设甲每小时做 $3x$ 个零件,则乙每小时做 $4x$ 个零件，
根据题意得,$\frac{60}{3x}+\frac{20}{60}=\frac{100}{4x}$，
解得 $x=15$，
经检验:$x=15$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$4×15=60$(个)。
所以,乙每小时做 60 个。
甲做 90 个所用的时间为$\frac{90}{x+6}$小时,乙做 60 个所用的时间为$\frac{60}{x}$小时；
根据题意列方程为:$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，
解得 $x=12$，
经检验:$x=12$ 是原分式方程的解,且符合题意，
则 $x+6=18$。
所以,甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个。
(2)设甲每小时做 $3x$ 个零件,则乙每小时做 $4x$ 个零件，
根据题意得,$\frac{60}{3x}+\frac{20}{60}=\frac{100}{4x}$，
解得 $x=15$，
经检验:$x=15$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$4×15=60$(个)。
所以,乙每小时做 60 个。
解析
【分析】
（1）本题为工程类应用题，核心公式是“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知甲每小时比乙多做6个，且甲做90个的时间与乙做60个的时间相等，我们可以设乙的工作效率为未知数，用未知数表示出甲的工作效率，再根据时间相等的等量关系列分式方程求解，分式方程解出后必须检验是否为原方程的解、是否符合实际意义。
（2）已知甲乙的速度比为3:4，可按比例设未知数表示两人的工作效率，注意题中时间单位为分钟，要先统一换算为小时，根据“甲的工作时间+20分钟=乙的工作时间”（甲提前20分钟完成，即乙用时更长）列方程，求解后同样要检验。
【解析】
(1)设乙每小时做 $x$ 个,则甲每小时做 $(x+6)$ 个，
甲做 90 个所用的时间为$\frac{90}{x+6}$小时,乙做 60 个所用的时间为$\frac{60}{x}$小时；
根据题意列方程为:$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，
解得 $x=12$，
经检验:$x=12$ 是原分式方程的解,且符合题意，
则 $x+6=18$。
所以,甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个。
(2)设甲每小时做 $3x$ 个零件,则乙每小时做 $4x$ 个零件，
根据题意得,$\frac{60}{3x}+\frac{20}{60}=\frac{100}{4x}$，
解得 $x=15$，
经检验:$x=15$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$4×15=60$(个)。
所以,乙每小时做 60 个。
【答案】
（1）甲每小时做18个，乙每小时做12个；（2）乙每小时做60个
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；分式方程检验
【点评】
本题是分式方程在工程场景下的基础应用，解题关键是准确提取等量关系列方程，做题时要注意单位统一，另外分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际题意。
【难度系数】
0.7
（1）本题为工程类应用题，核心公式是“工作时间=工作总量÷工作效率”。已知甲每小时比乙多做6个，且甲做90个的时间与乙做60个的时间相等，我们可以设乙的工作效率为未知数，用未知数表示出甲的工作效率，再根据时间相等的等量关系列分式方程求解，分式方程解出后必须检验是否为原方程的解、是否符合实际意义。
（2）已知甲乙的速度比为3:4，可按比例设未知数表示两人的工作效率，注意题中时间单位为分钟，要先统一换算为小时，根据“甲的工作时间+20分钟=乙的工作时间”（甲提前20分钟完成，即乙用时更长）列方程，求解后同样要检验。
【解析】
(1)设乙每小时做 $x$ 个,则甲每小时做 $(x+6)$ 个，
甲做 90 个所用的时间为$\frac{90}{x+6}$小时,乙做 60 个所用的时间为$\frac{60}{x}$小时；
根据题意列方程为:$\frac{90}{x+6}=\frac{60}{x}$，
解得 $x=12$，
经检验:$x=12$ 是原分式方程的解,且符合题意，
则 $x+6=18$。
所以,甲每小时做 18 个,乙每小时做 12 个。
(2)设甲每小时做 $3x$ 个零件,则乙每小时做 $4x$ 个零件，
根据题意得,$\frac{60}{3x}+\frac{20}{60}=\frac{100}{4x}$，
解得 $x=15$，
经检验:$x=15$ 是原分式方程的解,且符合题意，
$4×15=60$(个)。
所以,乙每小时做 60 个。
【答案】
（1）甲每小时做18个，乙每小时做12个；（2）乙每小时做60个
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；分式方程检验
【点评】
本题是分式方程在工程场景下的基础应用，解题关键是准确提取等量关系列方程，做题时要注意单位统一，另外分式方程求解后必须检验，既要排除增根，也要确认解符合实际题意。
【难度系数】
0.7
9.铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的$\frac{2}{3}$，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天恰好完成。
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由。
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
(2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由。
答案
解:(1)设乙队单独完成这项工程需 $x$ 天,那么甲队单独完成这项工作所需天数是$\frac{2}{3}x$天，
根据题意得:$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$，
解得 $x=90$，
经检验:$x=90$ 是原方程的解，
$\frac{2}{3}×90=60$，
因此,甲、乙两队单独完成这项工程分别需 60 天和 90 天；
(2)设甲队和乙队合作 $a$ 天完成。
根据题意得:$\frac{a}{60}+\frac{a}{90}=1$，
解得 $a=36$，
需要施工费用:$36×(8.4+6.6)=540＞500$(万元)。
所以,工程预算的施工费用不够用,需追加预算 40 万元。
根据题意得:$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$，
解得 $x=90$，
经检验:$x=90$ 是原方程的解，
$\frac{2}{3}×90=60$，
因此,甲、乙两队单独完成这项工程分别需 60 天和 90 天；
(2)设甲队和乙队合作 $a$ 天完成。
根据题意得:$\frac{a}{60}+\frac{a}{90}=1$，
解得 $a=36$，
需要施工费用:$36×(8.4+6.6)=540＞500$(万元)。
所以,工程预算的施工费用不够用,需追加预算 40 万元。
解析
【分析】
本题属于工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总天数。
(1) 先根据甲、乙单独完成工程的天数关系设未知数，再根据“甲先做10天的工作量+甲乙合作30天的工作量=总工作量1”列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性；
(2) 要缩短工期，需选择效率最高的施工方案，即甲乙两队合作完成，先根据“甲乙合作的总工作量=1”列方程求出合作所需天数，再计算总施工费用，和预算500万元比较即可判断是否够用。
【解析】
(1) 设乙队单独完成这项工程需$x$天，则甲队单独完成这项工作所需天数是$\frac{2}{3}x$天，甲的工作效率为$\frac{1}{\frac{2}{3}x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$
解得：$x=90$
经检验，$x=90$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲单独完成需要的天数：$\frac{2}{3}×90=60$（天）
(2) 要缩短工期，选择甲乙两队合作完成工程，设两队合作$a$天完成。
根据题意列方程：
$\frac{a}{60}+\frac{a}{90}=1$
解得：$a=36$
总施工费用为：$36×(8.4+6.6)=540$（万元）
因为$540＞500$，所以预算费用不够，需追加预算：$540-500=40$（万元）
【答案】
(1) 甲队单独完成这项工程需60天，乙队单独完成需90天；
(2) 工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的典型考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确找到工作量对应的等量关系列方程求解；第二问需要结合“缩短工期”的要求选择最优施工方案，避免错选单独施工的方案，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
本题属于工程类应用题，解题时通常将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的总天数。
(1) 先根据甲、乙单独完成工程的天数关系设未知数，再根据“甲先做10天的工作量+甲乙合作30天的工作量=总工作量1”列分式方程求解，注意分式方程需要检验根的合理性；
(2) 要缩短工期，需选择效率最高的施工方案，即甲乙两队合作完成，先根据“甲乙合作的总工作量=1”列方程求出合作所需天数，再计算总施工费用，和预算500万元比较即可判断是否够用。
【解析】
(1) 设乙队单独完成这项工程需$x$天，则甲队单独完成这项工作所需天数是$\frac{2}{3}x$天，甲的工作效率为$\frac{1}{\frac{2}{3}x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x}$。
根据题意列方程：
$\frac{10}{\frac{2}{3}x}+30(\frac{1}{\frac{2}{3}x}+\frac{1}{x})=1$
解得：$x=90$
经检验，$x=90$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则甲单独完成需要的天数：$\frac{2}{3}×90=60$（天）
(2) 要缩短工期，选择甲乙两队合作完成工程，设两队合作$a$天完成。
根据题意列方程：
$\frac{a}{60}+\frac{a}{90}=1$
解得：$a=36$
总施工费用为：$36×(8.4+6.6)=540$（万元）
因为$540＞500$，所以预算费用不够，需追加预算：$540-500=40$（万元）
【答案】
(1) 甲队单独完成这项工程需60天，乙队单独完成需90天；
(2) 工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元。
【知识点】
分式方程的应用、工程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是工程问题的典型考题，解题核心是将总工作量设为单位“1”，准确找到工作量对应的等量关系列方程求解；第二问需要结合“缩短工期”的要求选择最优施工方案，避免错选单独施工的方案，同时要注意分式方程求解后必须检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
