当分式的分子或分母是多项式时，运算的关键步骤是：先，再。

因式分解；约分

【分析】
在进行分式运算时，核心要求是将分式化简为最简形式。当分式的分子或分母是多项式时，无法直接观察到分子分母的公因式，因此第一步需要先对分子、分母中的多项式进行因式分解，将其转化为多个整式乘积的形式，方便找出公因式；找到公因式后，第二步就可以通过约分化简分式，降低后续运算的难度，所以运算的关键步骤为先因式分解，再约分。
【解析】
分式运算中，若分子或分母为多项式，首先要对多项式进行因式分解，将其改写为整式乘积的形式，便于查找分子与分母的公因式，之后进行约分，消除公因式以化简分式，因此两个关键步骤依次为因式分解、约分。
【答案】
因式分解；约分
【知识点】
分式运算；因式分解；约分
【点评】
本题是分式运算的基础类题目，考察分式运算的核心前置操作步骤，熟练掌握该步骤能有效减少分式运算的错误率，提升运算效率。
【难度系数】
0.9

例1 计算：
$\frac{y^2 -4y +4}{2y -6} · \frac{1}{y+3} ÷ \frac{12 -6y}{9 - y^2}$。
[点拨] 根据分式的乘除运算法则进行计算，注意进行约分。
[解] 原式 $= \frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{(3-y)(3+y)}{6(2-y)} = \frac{y-2}{12}$。

解：
先对各分式的分子、分母因式分解，将除法运算转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{9-y^2}{12-6y}\\&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{(3-y)(3+y)}{6(2-y)}\\&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{-(y-3)(y+3)}{-6(y-2)}\\&=\frac{(y-2)^2 · (y-3) · (y+3)}{12(y-3) · (y+3) · (y-2)}\\&=\frac{y-2}{12}\end{aligned}$

【分析】
解决分式乘除混合运算类题目，思路可分为三步：第一步，根据分式除法法则，先把所有除法运算转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘它的倒数；第二步，对每个分式的分子、分母进行因式分解，遇到互为相反数的因式（如$3-y$与$y-3$、$2-y$与$y-2$）时，要统一为相同形式，同时注意符号的变化；第三步，约去分子和分母中所有的公因式，最终化简得到最简结果即可。
【解析】
先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解、约分计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{9-y^2}{12-6y}\\&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{(3-y)(3+y)}{6(2-y)}\\&=\frac{(y-2)^2}{2(y-3)} · \frac{1}{y+3} · \frac{-(y-3)(y+3)}{-6(y-2)}\\&=\frac{(y-2)^2 · (y-3) · (y+3)}{12(y-3) · (y+3) · (y-2)}\\&=\frac{y-2}{12}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{y-2}{12}$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常规题，主要考查学生的因式分解能力和运算中符号处理的细心程度，运算时先统一为乘法运算再逐步因式分解约分，能有效减少符号错误。
【难度系数】
0.7

变式训练1

解:原式=$\frac{(x+y)^2}{y(x-y)} × \frac{y(x-y)}{y(x+y)} × \frac{y}{x-y} =\frac{x+y}{x-y}$。

【分析】
这是分式乘除混合运算题，解题思路如下：1. 明确运算规则：乘除为同级运算，按从左到右顺序计算，遇到除法要先转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；2. 先对各个分式的分子、分母进行因式分解，本题的多项式都可以用提取公因式法完成分解；3. 把所有运算转化为乘法连乘形式后，约去分子分母中相同的因式，最终整理得到最简结果即可。
【解析】
解：先对各分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法：
原式=$\frac{(x+y)^2}{y(x-y)} × \frac{y(x-y)}{y(x+y)} × \frac{y}{x-y}$
对分子分母的公因式进行约分：约去共同的因式$y$、$x-y$、$x+y$，
化简可得：原式=$\frac{x+y}{x-y}$
【答案】
$\frac{x+y}{x-y}$
【知识点】
分式乘除运算，提公因式法因式分解，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是掌握分式乘除的运算规则，先统一为乘法运算再通过因式分解约分计算，解题时要注意运算顺序，避免因颠倒运算顺序或者因式分解错误失分。
【难度系数】
0.8

例2 先化简，再求值：
$\frac{4x^2 -1}{2-4x} ÷ \frac{4x^2 +4x +1}{x}$，其中$x=-\frac{1}{4}$。
[点拨] 根据分式的混合运算法则把原式化简，再将$x=-\frac{1}{4}$代入计算即可。
[解] 原式$=\frac{(2x+1)(2x-1)}{2(1-2x)} · \frac{x}{(2x+1)^2}=-\frac{x}{2(2x+1)}$。
当$x=-\frac{1}{4}$时，

解：
原式$=\frac{(2x+1)(2x-1)}{2(1-2x)} · \frac{x}{(2x+1)^2}$
$=\frac{(2x+1)(2x-1)}{-2(2x-1)} · \frac{x}{(2x+1)^2}$
$=-\frac{x}{2(2x+1)}$
当$x=-\frac{1}{4}$时，
原式$=-\frac{-\frac{1}{4}}{2×[2×(-\frac{1}{4})+1]}$
$=-\frac{-\frac{1}{4}}{2×(-\frac{1}{2}+1)}$
$=-\frac{-\frac{1}{4}}{1}$
$=\frac{1}{4}$

【分析】
这是分式化简求值类题目，解题分为两步：第一步先化简原式，首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对每个分式的分子、分母进行因式分解，注意(1-2x)与(2x-1)互为相反数，约分后得到最简分式；第二步将x的取值代入最简分式，按照有理数运算规则计算出结果即可，先化简再代值可以大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
解：先化简原式：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，得：
原式$=\frac{4x^2 -1}{2-4x} · \frac{x}{4x^2 +4x +1}$
对分子分母因式分解：
$4x^2-1=(2x+1)(2x-1)$，$2-4x=2(1-2x)=-2(2x-1)$，$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，代入得：
$=\frac{(2x+1)(2x-1)}{-2(2x-1)} · \frac{x}{(2x+1)^2}$
约去分子分母的公因式$(2x-1)$和$(2x+1)$，得：
$=-\frac{x}{2(2x+1)}$
将$x=-\frac{1}{4}$代入化简后的式子：
原式$=-\frac{-\frac{1}{4}}{2×[2×(-\frac{1}{4})+1]}$
先计算括号内的运算：$2×(-\frac{1}{4})=-\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$
再计算分母：$2×\frac{1}{2}=1$
最后计算整体：$=-\frac{-\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，代数式求值
【点评】
本题属于分式化简求值的基础题型，核心考查分式运算的规则和因式分解的应用，解题时需注意互为相反数的因式约分时要保留负号，代入计算时要注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7

| 变式训练2 | 先化简 $\frac{x^2 -1}{x^2 +4x +4} ÷ (x-1) · \frac{x+2}{x+1}$，再找一个你喜欢的数值代入计算。
值是。

解:原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} × \frac{1}{x-1} × \frac{x+2}{x+1} =\frac{1}{x+2}$，$x≠-2,1,-1$。当$x=0$时，原式=$\frac{1}{2}$。(答案不唯一)

【分析】
解决本题需按照分式乘除混合运算的逻辑思考：首先将除法转化为乘法，统一为分式连乘形式；再对分子、分母进行因式分解，方便后续约分；约去所有公因式得到最简结果；最后代入数值时，要保证选取的x使原式所有分母、除式都不为0，确保分式有意义后再计算结果。
【解析】
1. 因式分解并将除法转为乘法：
原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)^2} × \frac{1}{x-1} × \frac{x+2}{x+1}$
2. 约分化简：
约去分子分母的公因式$(x+1)$、$(x-1)$、$(x+2)$，可得：
原式=$\frac{1}{x+2}$
3. 确定x的合法取值范围：
要使原式有意义，需满足分母、除式均不为0，即：
$(x+2)^2≠0$，$x+1≠0$，$x-1≠0$
解得$x≠-2、x≠-1、x≠1$
4. 代入数值计算：
选取$x=0$（可取除-2、-1、1外的任意数），代入得：
原式=$\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}$（答案不唯一）
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x+2}$（$x≠-2,-1,1$），示例：当$x=0$时，值为$\frac{1}{2}$（答案不唯一）
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，解题时需注意运算顺序，先将除法转化为乘法再计算，代入数值前一定要排除使原分式无意义的取值，避免出现错误。
【难度系数】
0.7