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1. 下列计算正确的是 （
A.$\frac{3xy^2}{6xy}=\frac{1}{2y}$
B.$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b)=1$
C.$2a^2 ÷ \frac{10b^2}{5a}=b$
D.$\frac{a^2 -1}{a^2 -a}=\frac{a+1}{a}$
D
）A.$\frac{3xy^2}{6xy}=\frac{1}{2y}$
B.$\frac{1}{a+b} ÷ (a+b)=1$
C.$2a^2 ÷ \frac{10b^2}{5a}=b$
D.$\frac{a^2 -1}{a^2 -a}=\frac{a+1}{a}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式的运算与化简，解题思路是逐个选项根据分式的基本性质、分式乘除运算法则计算，判断正误，最终选出正确选项。首先回忆分式运算的规则：分式约分要先找分子分母的公因式，约分时注意公因式要全部约去；分式的除法运算要先转化为乘法运算（除以一个式子等于乘以它的倒数），再按乘法法则计算；化简分式时还要注意隐含的分母不为0的条件。
【解析】
我们逐项分析计算：
选项A：对分式约分，分子$3xy^2=3xy· y$，分母$6xy=3xy· 2$，约去公因式$3xy$得$\frac{y}{2}≠\frac{1}{2y}$，故A错误；
选项B：分式除法转化为乘法，$\frac{1}{a+b}÷(a+b)=\frac{1}{a+b}×\frac{1}{a+b}=\frac{1}{(a+b)^2}≠1$，故B错误；
选项C：先化简除数，再转化为乘法计算：$2a^2÷\frac{10b^2}{5a}=2a^2÷\frac{2b^2}{a}=2a^2×\frac{a}{2b^2}=\frac{a^3}{b^2}≠ b$，故C错误；
选项D：先对分子分母因式分解，分子$a^2-1=(a+1)(a-1)$，分母$a^2-a=a(a-1)$，由分式有意义的条件可知$a≠0$且$a≠1$，约去公因式$(a-1)$得$\frac{a+1}{a}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的乘除运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，需要熟练掌握分式约分、除法的运算规则，计算时注意先将分子分母因式分解再约分，同时要注意分式有意义的隐含限制条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的运算与化简，解题思路是逐个选项根据分式的基本性质、分式乘除运算法则计算，判断正误，最终选出正确选项。首先回忆分式运算的规则：分式约分要先找分子分母的公因式，约分时注意公因式要全部约去；分式的除法运算要先转化为乘法运算（除以一个式子等于乘以它的倒数），再按乘法法则计算；化简分式时还要注意隐含的分母不为0的条件。
【解析】
我们逐项分析计算：
选项A：对分式约分，分子$3xy^2=3xy· y$，分母$6xy=3xy· 2$，约去公因式$3xy$得$\frac{y}{2}≠\frac{1}{2y}$，故A错误；
选项B：分式除法转化为乘法，$\frac{1}{a+b}÷(a+b)=\frac{1}{a+b}×\frac{1}{a+b}=\frac{1}{(a+b)^2}≠1$，故B错误；
选项C：先化简除数，再转化为乘法计算：$2a^2÷\frac{10b^2}{5a}=2a^2÷\frac{2b^2}{a}=2a^2×\frac{a}{2b^2}=\frac{a^3}{b^2}≠ b$，故C错误；
选项D：先对分子分母因式分解，分子$a^2-1=(a+1)(a-1)$，分母$a^2-a=a(a-1)$，由分式有意义的条件可知$a≠0$且$a≠1$，约去公因式$(a-1)$得$\frac{a+1}{a}$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质，分式的乘除运算，分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题，需要熟练掌握分式约分、除法的运算规则，计算时注意先将分子分母因式分解再约分，同时要注意分式有意义的隐含限制条件，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 计算$\frac{2x}{5x-3} ÷ \frac{3}{25x^2 -9} · \frac{x}{5x+3}$的结果为（
A
）答案
A
解析
【分析】
本题是分式乘除混合运算题，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；第二步，观察式子中的多项式$25x^2-9$，它符合平方差的形式，先对其因式分解；第三步，将所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，约去分子分母的公因式后化简即可得到结果。
【解析】
根据分式乘除运算法则计算：
1. 把除法转化为乘法：
$\frac{2x}{5x-3} ÷ \frac{3}{25x^2 -9} · \frac{x}{5x+3}=\frac{2x}{5x-3} × \frac{25x^2 -9}{3} × \frac{x}{5x+3}$
2. 利用平方差公式因式分解$25x^2-9=(5x+3)(5x-3)$，代入得：
$=\frac{2x}{5x-3} × \frac{(5x+3)(5x-3)}{3} × \frac{x}{5x+3}$
3. 约去分子分母的公因式$(5x+3)$和$(5x-3)$，剩余部分相乘：
$=\frac{2x·x}{3}=\frac{2x^2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先统一为乘法运算，再通过因式分解后约分简化计算，计算时注意运算顺序，避免漏乘或错约分。
【难度系数】
0.8
本题是分式乘除混合运算题，解题思路如下：第一步，根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算（除以一个分式等于乘该分式的倒数）；第二步，观察式子中的多项式$25x^2-9$，它符合平方差的形式，先对其因式分解；第三步，将所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，约去分子分母的公因式后化简即可得到结果。
【解析】
根据分式乘除运算法则计算：
1. 把除法转化为乘法：
$\frac{2x}{5x-3} ÷ \frac{3}{25x^2 -9} · \frac{x}{5x+3}=\frac{2x}{5x-3} × \frac{25x^2 -9}{3} × \frac{x}{5x+3}$
2. 利用平方差公式因式分解$25x^2-9=(5x+3)(5x-3)$，代入得：
$=\frac{2x}{5x-3} × \frac{(5x+3)(5x-3)}{3} × \frac{x}{5x+3}$
3. 约去分子分母的公因式$(5x+3)$和$(5x-3)$，剩余部分相乘：
$=\frac{2x·x}{3}=\frac{2x^2}{3}$
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，解题核心是先统一为乘法运算，再通过因式分解后约分简化计算，计算时注意运算顺序，避免漏乘或错约分。
【难度系数】
0.8
3.若△÷$\frac{a^2 -1}{a}$=$\frac{1}{a-1}$，则△是（
A
）答案
A
解析
【分析】要计算△的值，可依据除法中“被除数=商×除数”的关系列式。首先确定商为$\frac{1}{a-1}$，除数为$\frac{a^2-1}{a}$，列出乘法算式后，先利用平方差公式对$a^2-1$因式分解，再对分式约分，就能得到最终结果。
【解析】根据除法各部分之间的关系：$\mathrm{被除数}=\mathrm{商}×\mathrm{除数}$，可得：
$△ = \frac{1}{a-1} × \frac{a^2 -1}{a}$
利用平方差公式因式分解$a^2-1$，得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入式子：
$△ = \frac{1}{a-1} × \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
约去分子和分母的公因式$a-1$（此时$a≠1$且$a≠0$，分式有意义），化简得：
$△ = \frac{a+1}{a}$
【答案】A
【知识点】分式乘除运算；平方差公式；因式分解
【点评】本题属于基础运算类题目，解题关键是将求被除数的问题转化为分式乘法运算，掌握分式约分、因式分解的基本方法即可顺利解答，需注意因式分解时公式的正确应用。
【难度系数】0.8
【解析】根据除法各部分之间的关系：$\mathrm{被除数}=\mathrm{商}×\mathrm{除数}$，可得：
$△ = \frac{1}{a-1} × \frac{a^2 -1}{a}$
利用平方差公式因式分解$a^2-1$，得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，代入式子：
$△ = \frac{1}{a-1} × \frac{(a+1)(a-1)}{a}$
约去分子和分母的公因式$a-1$（此时$a≠1$且$a≠0$，分式有意义），化简得：
$△ = \frac{a+1}{a}$
【答案】A
【知识点】分式乘除运算；平方差公式；因式分解
【点评】本题属于基础运算类题目，解题关键是将求被除数的问题转化为分式乘法运算，掌握分式约分、因式分解的基本方法即可顺利解答，需注意因式分解时公式的正确应用。
【难度系数】0.8
4.王老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简.规则如下:每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简，过程如图所示。
接力中，自己负责的那一步出现错误的是
（
A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
接力中，自己负责的那一步出现错误的是
（
D
）A.只有乙
B.甲和丁
C.乙和丙
D.乙和丁
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要依据分式的运算法则，依次核对甲、乙、丙、丁每一步的变形是否正确：首先回忆分式除法规则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，其次注意互为相反数的式子变形时的符号变化，再核对因式分解、约分的步骤是否符合规则，逐人核对就能找到错误步骤。
【解析】
我们按顺序逐步核对每一步计算：
1. 核对甲的步骤：
原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等价于乘它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：
$1-x$和$x-1$互为相反数，即$1-x=-(x-1)$，因此$\frac{1-x}{x^2}$应变形为$\frac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接写成$\frac{x-1}{x^2}$，遗漏了负号，乙的步骤错误。
3. 核对丙的步骤：
对分子$x^2-2x$提取公因式$x$，可得$x^2-2x=x(x-2)$，因此$\frac{x^2-2x}{x-1}$变形为$\frac{x(x-2)}{x-1}$是正确的，丙的步骤正确。
4. 核对丁的步骤：
对$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$约分：先约掉分子分母的公因式$x-1$，再约掉1个公因式$x$，得到的结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁得到$\frac{x-2}{2}$，错把分母的$x$写为2，丁的步骤错误。
综上，出现错误的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
这道题考查分式化简中的常见易错点，包括除法转乘法的符号处理、因式分解的正确性、约分的规则，做题时要留意每一步变形的依据，避免符号错误和约分失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要依据分式的运算法则，依次核对甲、乙、丙、丁每一步的变形是否正确：首先回忆分式除法规则，除以一个分式等于乘该分式的倒数，其次注意互为相反数的式子变形时的符号变化，再核对因式分解、约分的步骤是否符合规则，逐人核对就能找到错误步骤。
【解析】
我们按顺序逐步核对每一步计算：
1. 核对甲的步骤：
原式为$\frac{x^2-2x}{x-1} ÷ \frac{x^2}{1-x}$，根据分式除法法则，除以$\frac{x^2}{1-x}$等价于乘它的倒数$\frac{1-x}{x^2}$，变形为$\frac{x^2-2x}{x-1} · \frac{1-x}{x^2}$，甲的步骤正确。
2. 核对乙的步骤：
$1-x$和$x-1$互为相反数，即$1-x=-(x-1)$，因此$\frac{1-x}{x^2}$应变形为$\frac{-(x-1)}{x^2}$，但乙直接写成$\frac{x-1}{x^2}$，遗漏了负号，乙的步骤错误。
3. 核对丙的步骤：
对分子$x^2-2x$提取公因式$x$，可得$x^2-2x=x(x-2)$，因此$\frac{x^2-2x}{x-1}$变形为$\frac{x(x-2)}{x-1}$是正确的，丙的步骤正确。
4. 核对丁的步骤：
对$\frac{x(x-2)}{x-1} · \frac{x-1}{x^2}$约分：先约掉分子分母的公因式$x-1$，再约掉1个公因式$x$，得到的结果应为$\frac{x-2}{x}$，但丁得到$\frac{x-2}{2}$，错把分母的$x$写为2，丁的步骤错误。
综上，出现错误的是乙和丁。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式约分
【点评】
这道题考查分式化简中的常见易错点，包括除法转乘法的符号处理、因式分解的正确性、约分的规则，做题时要留意每一步变形的依据，避免符号错误和约分失误。
【难度系数】
0.7
5.如果$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}≠0$，那么$\frac{5a - b}{a^2 - 4b^2} · (a - 2b)$的
答案
$\frac{7}{8}$
解析
【分析】
解题可分为两步：第一步先化简所求代数式，利用平方差公式对分母因式分解，再通过约分化简式子，降低计算复杂度；第二步根据已知的比例关系，可设比例系数为非零常数k，将a、b均用含k的式子表示，再代入化简后的代数式计算即可，已知条件中比值不为0保证了约分时分母不为0，可合法约分。
【解析】
首先化简原式：
1. 对分母利用平方差公式因式分解：$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$
2. 代入原式约分：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{5a - b}{(a - 2b)(a + 2b)} · (a - 2b) \\&= \frac{5a - b}{a + 2b} \quad (a-2b≠0)\end{aligned}$
接下来结合已知条件计算：
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{5×2k - 3k}{2k + 2×3k} \\&= \frac{10k - 3k}{2k + 6k} \\&= \frac{7k}{8k} \\&= \frac{7}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式、比例的性质
【点评】
本题是典型的分式求值类题目，核心技巧是先化简后代入计算，可大幅减少运算量，同时要注意分式约分的前提是对应分母不为0，本题已知条件已隐含该前提，可直接进行约分运算。
【难度系数】
0.7
解题可分为两步：第一步先化简所求代数式，利用平方差公式对分母因式分解，再通过约分化简式子，降低计算复杂度；第二步根据已知的比例关系，可设比例系数为非零常数k，将a、b均用含k的式子表示，再代入化简后的代数式计算即可，已知条件中比值不为0保证了约分时分母不为0，可合法约分。
【解析】
首先化简原式：
1. 对分母利用平方差公式因式分解：$a^2 - 4b^2 = (a - 2b)(a + 2b)$
2. 代入原式约分：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{5a - b}{(a - 2b)(a + 2b)} · (a - 2b) \\&= \frac{5a - b}{a + 2b} \quad (a-2b≠0)\end{aligned}$
接下来结合已知条件计算：
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k$（$k≠0$），则$a=2k$，$b=3k$，代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式 &= \frac{5×2k - 3k}{2k + 2×3k} \\&= \frac{10k - 3k}{2k + 6k} \\&= \frac{7k}{8k} \\&= \frac{7}{8}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{7}{8}$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式、比例的性质
【点评】
本题是典型的分式求值类题目，核心技巧是先化简后代入计算，可大幅减少运算量，同时要注意分式约分的前提是对应分母不为0，本题已知条件已隐含该前提，可直接进行约分运算。
【难度系数】
0.7
6. 如果等式 $ m^2 + 2m = 1 $ 成立，那么 $ \frac{m^2 + 4m + 4}{m} ÷ \frac{m + 2}{m^2} $ 的值为
1
。答案
1
解析
【分析】
遇到分式求值问题，优先选择先化简再求值的思路，避免直接求解m的值增加计算量。第一步先对原式中分子的多项式进行因式分解，再根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，接着约分得到最简代数式，最后观察最简式和已知等式$m^2 + 2m =1$的关联，整体代入即可求出结果。
【解析】
先化简原式：
1. 对分子因式分解：$m^2+4m+4=(m+2)^2$，原式可写为：
$\frac{(m+2)^2}{m} ÷ \frac{m + 2}{m^2}$
2. 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，转化为乘法：
$\frac{(m+2)^2}{m} × \frac{m^2}{m+2}$
3. 约分计算：约掉公因式$m+2$和$m$，得：
$(m+2)·m = m^2 + 2m$
4. 整体代入已知条件$m^2 + 2m =1$，可得原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题型，核心考查分式运算规则和整体代入的思想，熟练掌握因式分解和分式运算法则是解题的关键，通过整体代入可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
遇到分式求值问题，优先选择先化简再求值的思路，避免直接求解m的值增加计算量。第一步先对原式中分子的多项式进行因式分解，再根据分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，接着约分得到最简代数式，最后观察最简式和已知等式$m^2 + 2m =1$的关联，整体代入即可求出结果。
【解析】
先化简原式：
1. 对分子因式分解：$m^2+4m+4=(m+2)^2$，原式可写为：
$\frac{(m+2)^2}{m} ÷ \frac{m + 2}{m^2}$
2. 根据分式除法法则，除以一个分式等于乘它的倒数，转化为乘法：
$\frac{(m+2)^2}{m} × \frac{m^2}{m+2}$
3. 约分计算：约掉公因式$m+2$和$m$，得：
$(m+2)·m = m^2 + 2m$
4. 整体代入已知条件$m^2 + 2m =1$，可得原式的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、整体代入求值
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题型，核心考查分式运算规则和整体代入的思想，熟练掌握因式分解和分式运算法则是解题的关键，通过整体代入可大幅降低计算量。
【难度系数】
0.7
7.若$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay} = 5$，则$a=$
$\frac{1}{5}$
。答案
$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题是分式化简求参数的问题，解题思路为：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；接着对每个分式的分子、分母进行因式分解，找出公因式进行约分，将原式左边化简为只含参数a的最简形式；最后根据等式建立关于a的方程，求解即可得到a的值，注意要保证分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay} = \frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} × \frac{ax + ay}{(x + y)^2}$
对分子分母分别因式分解：
$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，$a^2x - a^2y=a^2(x-y)$，$ax+ay=a(x+y)$
代入上式得：
$=\frac{(x-y)(x+y)}{a^2(x-y)} × \frac{a(x+y)}{(x+y)^2}$
由分式有意义的条件可知：$a≠0$，$x≠y$，$x≠-y$，因此可以约去公因式$(x-y)$、$(x+y)$：
$=\frac{1}{a^2} × \frac{a}{1} = \frac{1}{a}$
结合题意$\frac{1}{a}=5$，解得$a=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题核心是通过分式的化简将复杂的分式等式转化为简单的一元一次方程，解题时要注意先因式分解再约分，同时不要忽略分式有意义的隐含约束，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求参数的问题，解题思路为：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；接着对每个分式的分子、分母进行因式分解，找出公因式进行约分，将原式左边化简为只含参数a的最简形式；最后根据等式建立关于a的方程，求解即可得到a的值，注意要保证分式有意义的隐含条件（分母不为0）。
【解析】
先化简等式左边的式子：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$\frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} ÷ \frac{(x + y)^2}{ax + ay} = \frac{x^2 - y^2}{a^2x - a^2y} × \frac{ax + ay}{(x + y)^2}$
对分子分母分别因式分解：
$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$，$a^2x - a^2y=a^2(x-y)$，$ax+ay=a(x+y)$
代入上式得：
$=\frac{(x-y)(x+y)}{a^2(x-y)} × \frac{a(x+y)}{(x+y)^2}$
由分式有意义的条件可知：$a≠0$，$x≠y$，$x≠-y$，因此可以约去公因式$(x-y)$、$(x+y)$：
$=\frac{1}{a^2} × \frac{a}{1} = \frac{1}{a}$
结合题意$\frac{1}{a}=5$，解得$a=\frac{1}{5}$
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题核心是通过分式的化简将复杂的分式等式转化为简单的一元一次方程，解题时要注意先因式分解再约分，同时不要忽略分式有意义的隐含约束，避免出现无意义的解。
【难度系数】
0.7
8.已知a m布料能做b件上衣，2a m布料能做3b条裤子，那么一件上衣的用料是一条裤子用料的
1.5
倍。答案
1.5
解析
【分析】
要计算一件上衣用料是一条裤子用料的几倍，首先需要分别求出1件上衣和1条裤子各自的用料，再用一件上衣的用料除以一条裤子的用料即可得到倍数关系。第一步先根据“总布料÷制作数量=单件用料”分别表示出上衣和裤子的单件用料，第二步利用分式除法计算两者的倍数，计算过程中注意约分简化运算。
【解析】
首先计算1件上衣的用料：
已知$a\ \mathrm{m}$布料能做$b$件上衣，因此1件上衣的用料为$\frac{a}{b}\ \mathrm{m}$。
再计算1条裤子的用料：
已知$2a\ \mathrm{m}$布料能做$3b$条裤子，因此1条裤子的用料为$\frac{2a}{3b}\ \mathrm{m}$。
求一件上衣用料是一条裤子用料的倍数，即用上衣单件用料除以裤子单件用料：
$\frac{a}{b} ÷ \frac{2a}{3b} = \frac{a}{b} × \frac{3b}{2a} = \frac{3ab}{2ab} = \frac{3}{2} = 1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
列代数式；分式的除法运算
【点评】
本题结合实际生活中的用料问题考察代数式的应用，解题核心是准确找到数量关系列出对应代数式，计算分式除法时遵循除以一个数等于乘这个数的倒数的规则，约分后即可快速得到结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
要计算一件上衣用料是一条裤子用料的几倍，首先需要分别求出1件上衣和1条裤子各自的用料，再用一件上衣的用料除以一条裤子的用料即可得到倍数关系。第一步先根据“总布料÷制作数量=单件用料”分别表示出上衣和裤子的单件用料，第二步利用分式除法计算两者的倍数，计算过程中注意约分简化运算。
【解析】
首先计算1件上衣的用料：
已知$a\ \mathrm{m}$布料能做$b$件上衣，因此1件上衣的用料为$\frac{a}{b}\ \mathrm{m}$。
再计算1条裤子的用料：
已知$2a\ \mathrm{m}$布料能做$3b$条裤子，因此1条裤子的用料为$\frac{2a}{3b}\ \mathrm{m}$。
求一件上衣用料是一条裤子用料的倍数，即用上衣单件用料除以裤子单件用料：
$\frac{a}{b} ÷ \frac{2a}{3b} = \frac{a}{b} × \frac{3b}{2a} = \frac{3ab}{2ab} = \frac{3}{2} = 1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
列代数式；分式的除法运算
【点评】
本题结合实际生活中的用料问题考察代数式的应用，解题核心是准确找到数量关系列出对应代数式，计算分式除法时遵循除以一个数等于乘这个数的倒数的规则，约分后即可快速得到结果，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.8
9.计算:
(1)$\frac{a-b}{(a+b)^2} ÷ (a^2 - b^2)$;
(2)$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy + y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$;
(3)$\frac{x^2 +1}{6 -x} · \frac{x^2 -36}{x^3 +x}$;
(4)$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$。
(1)$\frac{a-b}{(a+b)^2} ÷ (a^2 - b^2)$;
(2)$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy + y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$;
(3)$\frac{x^2 +1}{6 -x} · \frac{x^2 -36}{x^3 +x}$;
(4)$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$。
答案
9.解:(1)$\frac{1}{(a+b)^3}$。
(2)$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy +y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$
$=\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{2(x-3y)}$
$=\frac{x+3y}{2x+2y}$。
(3)原式=$\frac{x^2 +1}{6-x} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)} = -\frac{x+6}{x}$。
(4)$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$
$=\frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)} = -\frac{x}{2}$。
(2)$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy +y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$
$=\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{2(x-3y)}$
$=\frac{x+3y}{2x+2y}$。
(3)原式=$\frac{x^2 +1}{6-x} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)} = -\frac{x+6}{x}$。
(4)$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$
$=\frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)} = -\frac{x}{2}$。
解析
【分析】
解决分式乘除运算问题可按固定步骤思考：1. 遇除法先根据除法法则转化为分式乘法运算，即除以一个整式等于乘它的倒数；2. 将每个分式的分子、分母中能因式分解的多项式，用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；3. 约去分子分母的公因式，注意互为相反数的因式约分时要保留负号；4. 把约分后剩余的分子相乘作分子、分母相乘作分母，得到最简结果。
具体到各小问：(1)先转化为乘法，分解$a^2-b^2$为$(a-b)(a+b)$后约去$a-b$即可化简；(2)分别分解$x^2-9y^2$、$x^2+2xy+y^2$、$2x-6y$，再约去公因式化简；(3)分解$x^2-36$、$x^3+x$，注意$6-x$和$x-6$互为相反数，约分后带负号；(4)先转除法为乘法，再分解各多项式后约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\frac{a-b}{(a+b)^2} ÷ (a^2 - b^2) = \frac{a-b}{(a+b)^2} · \frac{1}{a^2 - b^2}$
$= \frac{a-b}{(a+b)^2} · \frac{1}{(a-b)(a+b)}$
约去公因式$a-b$，得$\frac{1}{(a+b)^2 · (a+b)} = \frac{1}{(a+b)^3}$
(2) 先对各分子分母因式分解，再约分：
$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy + y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$
$=\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{2(x-3y)}$
约去公因式$(x-3y)$和$(x+y)$，得$\frac{x+3y}{2(x+y)} = \frac{x+3y}{2x+2y}$
(3) 先因式分解，注意符号处理：
$\frac{x^2 +1}{6 -x} · \frac{x^2 -36}{x^3 +x}$
$= \frac{x^2 +1}{-(x-6)} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)}$
约去公因式$(x^2+1)$和$(x-6)$，得$\frac{x+6}{-x} = -\frac{x+6}{x}$
(4) 先转除法为乘法，再因式分解约分：
$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$
$= \frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} · \frac{x^2 +3x}{2x -6}$
$=\frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
将$(3-x)$变形为$-(x-3)$，约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，得$\frac{x}{-2} = -\frac{x}{2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{(a+b)^3}$；(2)$\frac{x+3y}{2x+2y}$；(3)$-\frac{x+6}{x}$；(4)$-\frac{x}{2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的常规基础题，解题核心是先将除法转化为乘法，再对分子分母的多项式正确因式分解后约分，需重点注意互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握提公因式法、公式法因式分解是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
解决分式乘除运算问题可按固定步骤思考：1. 遇除法先根据除法法则转化为分式乘法运算，即除以一个整式等于乘它的倒数；2. 将每个分式的分子、分母中能因式分解的多项式，用提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；3. 约去分子分母的公因式，注意互为相反数的因式约分时要保留负号；4. 把约分后剩余的分子相乘作分子、分母相乘作分母，得到最简结果。
具体到各小问：(1)先转化为乘法，分解$a^2-b^2$为$(a-b)(a+b)$后约去$a-b$即可化简；(2)分别分解$x^2-9y^2$、$x^2+2xy+y^2$、$2x-6y$，再约去公因式化简；(3)分解$x^2-36$、$x^3+x$，注意$6-x$和$x-6$互为相反数，约分后带负号；(4)先转除法为乘法，再分解各多项式后约分即可。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\frac{a-b}{(a+b)^2} ÷ (a^2 - b^2) = \frac{a-b}{(a+b)^2} · \frac{1}{a^2 - b^2}$
$= \frac{a-b}{(a+b)^2} · \frac{1}{(a-b)(a+b)}$
约去公因式$a-b$，得$\frac{1}{(a+b)^2 · (a+b)} = \frac{1}{(a+b)^3}$
(2) 先对各分子分母因式分解，再约分：
$\frac{x^2 -9y^2}{x^2 +2xy + y^2} · \frac{x+y}{2x -6y}$
$=\frac{(x+3y)(x-3y)}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{2(x-3y)}$
约去公因式$(x-3y)$和$(x+y)$，得$\frac{x+3y}{2(x+y)} = \frac{x+3y}{2x+2y}$
(3) 先因式分解，注意符号处理：
$\frac{x^2 +1}{6 -x} · \frac{x^2 -36}{x^3 +x}$
$= \frac{x^2 +1}{-(x-6)} · \frac{(x+6)(x-6)}{x(x^2 +1)}$
约去公因式$(x^2+1)$和$(x-6)$，得$\frac{x+6}{-x} = -\frac{x+6}{x}$
(4) 先转除法为乘法，再因式分解约分：
$\frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} ÷ \frac{2x -6}{x^2 +3x}$
$= \frac{x^2 -6x +9}{9 -x^2} · \frac{x^2 +3x}{2x -6}$
$=\frac{(x-3)^2}{(3-x)(3+x)} · \frac{x(x+3)}{2(x-3)}$
将$(3-x)$变形为$-(x-3)$，约去公因式$(x-3)$、$(x+3)$，得$\frac{x}{-2} = -\frac{x}{2}$
【答案】
(1)$\frac{1}{(a+b)^3}$；(2)$\frac{x+3y}{2x+2y}$；(3)$-\frac{x+6}{x}$；(4)$-\frac{x}{2}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式乘除的常规基础题，解题核心是先将除法转化为乘法，再对分子分母的多项式正确因式分解后约分，需重点注意互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握提公因式法、公式法因式分解是快速解题的基础。
【难度系数】
0.7
