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10.许老师在课堂上给同学们出了这样一道题:若$x=-2025$,求代数式$\dfrac{x^2 -4}{x^2 +x +1} ÷ \dfrac{x^2 -2x}{x^3 +x^2 +x} · \dfrac{1}{x+2}$的值。过了一会儿,小明说:“许老师,这道题目中的$x=-2025$是多余的。”请判断小明的说法是否正确,并说明理由。
答案
10.解:小明同学的说法正确。
理由:原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}=1$,
∵化简后的结果不含$x$,
∴小明同学的说法正确。
理由:原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}=1$,
∵化简后的结果不含$x$,
∴小明同学的说法正确。
解析
【分析】
要判断小明的说法是否正确，只需先化简给定的代数式，若化简结果不含x，说明代数式的值与x的取值无关，则题目给出的x=-2025是多余的。解题时先将分式的除法运算转化为乘法运算，再对各分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果即可判断。
【解析】
小明的说法正确，理由如下：
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘它的倒数，先将原式统一为乘法运算，再对各部分因式分解：
原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}$
约去分子分母的公因式$x+2$、$x-2$、$x$、$x^2+x+1$（公因式均不为0，即x取使原式有意义的值时），最终计算得结果为1。
由于化简后的结果为常数1，不含字母x，说明只要原式有意义，代数式的值恒为1，与x的取值无关，因此题目中给出的x=-2025是多余的。
【答案】
小明同学的说法正确。理由:原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}=1$,
∵化简后的结果不含$x$,
∴小明同学的说法正确。
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值类问题，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则，通过先化简再判断的方式，能避免直接代入数值计算的繁琐，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
要判断小明的说法是否正确，只需先化简给定的代数式，若化简结果不含x，说明代数式的值与x的取值无关，则题目给出的x=-2025是多余的。解题时先将分式的除法运算转化为乘法运算，再对各分子、分母因式分解，最后约分得到最简结果即可判断。
【解析】
小明的说法正确，理由如下：
根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘它的倒数，先将原式统一为乘法运算，再对各部分因式分解：
原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}$
约去分子分母的公因式$x+2$、$x-2$、$x$、$x^2+x+1$（公因式均不为0，即x取使原式有意义的值时），最终计算得结果为1。
由于化简后的结果为常数1，不含字母x，说明只要原式有意义，代数式的值恒为1，与x的取值无关，因此题目中给出的x=-2025是多余的。
【答案】
小明同学的说法正确。理由:原式=$\frac{(x+2)(x-2)}{x^2 +x +1} · \frac{x(x^2 +x +1)}{x(x-2)} · \frac{1}{x+2}=1$,
∵化简后的结果不含$x$,
∴小明同学的说法正确。
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题考查分式的化简求值类问题，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则，通过先化简再判断的方式，能避免直接代入数值计算的繁琐，简化运算过程。
【难度系数】
0.8
11.已知$a^2 - a = 0$，求$\frac{a - 1}{a + 2} · \frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1} ÷ \frac{1}{a^2 - 1}$的值。
答案
11.解:原式=$\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
$=(a+2)(a-1)$
$=a^2 -a -2$,
当$a^2 -a=0$时,原式$=-2$。
$=(a+2)(a-1)$
$=a^2 -a -2$,
当$a^2 -a=0$时,原式$=-2$。
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：首先不要直接代入a的值计算，先化简分式：先将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式得到最简整式；再观察已知条件$a^2 - a=0$，采用整体代入的方法代入最简式计算，既简化运算，也无需额外考虑分式有意义的取值限制。
【解析】
先将原式中的除法转化为乘法，再对各多项式因式分解：
原式=$\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$后，可得：
原式=$(a-2)(a+1)$
展开得：$a^2 -a -2$
将$a^2 -a=0$代入上式，得：
原式=$0 - 2 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式乘除的运算规则和常见的因式分解方法，运用整体代入的思想可大大简化计算过程，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题思路如下：首先不要直接代入a的值计算，先化简分式：先将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式进行因式分解，接着约去分子分母的公因式得到最简整式；再观察已知条件$a^2 - a=0$，采用整体代入的方法代入最简式计算，既简化运算，也无需额外考虑分式有意义的取值限制。
【解析】
先将原式中的除法转化为乘法，再对各多项式因式分解：
原式=$\frac{a-1}{a+2} · \frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a+2$、$(a-1)^2$后，可得：
原式=$(a-2)(a+1)$
展开得：$a^2 -a -2$
将$a^2 -a=0$代入上式，得：
原式=$0 - 2 = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，整体代入求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式乘除的运算规则和常见的因式分解方法，运用整体代入的思想可大大简化计算过程，避免不必要的错误。
【难度系数】
0.7
12.已知$\frac{3a+1}{a}=0$，求$\frac{a^2 -2a +1}{a^2 -2a} ÷ (a-1) · \frac{2 -a}{a -1}$的值。
答案
12.解:由$\frac{3a+1}{a}=0$,可得$3a+1=0$,且$a≠0$,
解得$a=-\frac{1}{3}$,
原式=$-\frac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \frac{1}{a-1} · \frac{a-2}{a-1} = -\frac{1}{a}$,
将$a=-\frac{1}{3}$代入原式$=3$。
解得$a=-\frac{1}{3}$,
原式=$-\frac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \frac{1}{a-1} · \frac{a-2}{a-1} = -\frac{1}{a}$,
将$a=-\frac{1}{3}$代入原式$=3$。
解析
【分析】
解决本题可分两步思考：第一步先根据分式值为0的条件求解a的取值，要注意分式的分母不能为0，需排除不符合条件的解；第二步先对所求分式进行化简，先将分子分母中能因式分解的部分因式分解，再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序约分计算，化简到最简形式后再代入a的值计算，可降低计算量，避免出错。
【解析】
首先求解a的值：
已知$\frac{3a+1}{a}=0$，根据分式值为0的条件，可得分子$3a+1=0$且分母$a≠0$，
解$3a+1=0$得$a=-\frac{1}{3}$，满足$a≠0$，故$a=-\frac{1}{3}$。
接下来化简所求分式：
$\frac{a^2 -2a +1}{a^2 -2a} ÷ (a-1) · \frac{2 -a}{a -1}$
先因式分解各部分：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-2a=a(a-2)$，$2-a=-(a-2)$，同时将除法转化为乘法：
$=\frac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \frac{1}{a-1} · \frac{-(a-2)}{a-1}$
约分：分子分母的$(a-1)^2$与两个$(a-1)$约去，$(a-2)$约去，可得：
$=-\frac{1}{a}$
最后代入$a=-\frac{1}{3}$计算：
$-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}=3$
【答案】
3
【知识点】
1.分式值为0的条件
2.分式乘除运算
3.因式分解
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，解题时需注意先判断分式有意义的条件，化简过程中要注意符号的变化以及同级运算的顺序，先化简后代入求值的方法可有效提升计算效率、降低错误率。
【难度系数】
0.7
解决本题可分两步思考：第一步先根据分式值为0的条件求解a的取值，要注意分式的分母不能为0，需排除不符合条件的解；第二步先对所求分式进行化简，先将分子分母中能因式分解的部分因式分解，再将除法转化为乘法，按照从左到右的顺序约分计算，化简到最简形式后再代入a的值计算，可降低计算量，避免出错。
【解析】
首先求解a的值：
已知$\frac{3a+1}{a}=0$，根据分式值为0的条件，可得分子$3a+1=0$且分母$a≠0$，
解$3a+1=0$得$a=-\frac{1}{3}$，满足$a≠0$，故$a=-\frac{1}{3}$。
接下来化简所求分式：
$\frac{a^2 -2a +1}{a^2 -2a} ÷ (a-1) · \frac{2 -a}{a -1}$
先因式分解各部分：$a^2-2a+1=(a-1)^2$，$a^2-2a=a(a-2)$，$2-a=-(a-2)$，同时将除法转化为乘法：
$=\frac{(a-1)^2}{a(a-2)} · \frac{1}{a-1} · \frac{-(a-2)}{a-1}$
约分：分子分母的$(a-1)^2$与两个$(a-1)$约去，$(a-2)$约去，可得：
$=-\frac{1}{a}$
最后代入$a=-\frac{1}{3}$计算：
$-\frac{1}{a}=-\frac{1}{-\frac{1}{3}}=3$
【答案】
3
【知识点】
1.分式值为0的条件
2.分式乘除运算
3.因式分解
【点评】
本题是典型的分式化简求值类题目，解题时需注意先判断分式有意义的条件，化简过程中要注意符号的变化以及同级运算的顺序，先化简后代入求值的方法可有效提升计算效率、降低错误率。
【难度系数】
0.7
13.已知 ÷$\frac{x}{x+2}$=$\frac{x+2}{x-2}$。
(1)求被黑板擦遮住部分的代数式，并将其化简；
(2)原代数式的值能等于－1吗？请说明理由。
(1)求被黑板擦遮住部分的代数式，并将其化简；
(2)原代数式的值能等于－1吗？请说明理由。
答案
13.解:(1)由题意得,被黑板擦遮住部分的代数式为
$\frac{x+2}{x-2} · \frac{x}{x+2} =\frac{x}{x-2}$。
(2)能,理由:
∵$\frac{x}{x-2}=-1$,
∴$x=-x+2$,
∴$2x=2$,
∴$x=1$,
当$x=1$时,$x-2≠0$,
∴原代数式的值能等于$-1$。
$\frac{x+2}{x-2} · \frac{x}{x+2} =\frac{x}{x-2}$。
(2)能,理由:
∵$\frac{x}{x-2}=-1$,
∴$x=-x+2$,
∴$2x=2$,
∴$x=1$,
当$x=1$时,$x-2≠0$,
∴原代数式的值能等于$-1$。
解析
【分析】
(1) 本题要求除法运算中的被除式，可根据“被除式=商×除式”的运算关系列出对应代数式，再依据分式乘法的约分规则，约去分子分母的公因式即可完成化简。
(2) 判断代数式的值能否等于-1，可先假设结论成立，将代数式的值等于-1列成方程求解，再检验求出的x是否使原代数式所有分母不为0（即分式有意义），若x的取值满足分式有意义的要求则结论成立，反之不成立。
【解析】
(1) 设被黑板擦遮住的代数式为$A$，由题意得：
$A ÷ \frac{x}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$
根据除法各部分关系可得：
$A = \frac{x+2}{x-2} · \frac{x}{x+2}$
约去分子分母的公因式$x+2$（$x+2≠0$），化简得：
$A = \frac{x}{x-2}$
(2) 原代数式的值能等于$-1$，理由如下：
假设$\frac{x}{x-2}=-1$，
去分母得：$x = -(x-2)$，
去括号整理得：$x = -x + 2$，
移项合并同类项得：$2x = 2$，
解得：$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，且原式中分母$x=1≠0$、$x+2=3≠0$，所有分母均不为0，分式有意义。
【答案】
(1) 被遮住部分的代数式化简后为$\frac{x}{x-2}$；
(2) 能，当$x=1$时原代数式的值为$-1$。
【知识点】
分式乘除运算、分式有意义的条件、解分式方程
【点评】
本题属于分式模块的基础常考题，核心考查分式运算规则和分式有意义的前提，需要注意求解分式相关问题后必须验根，排除分母为0的无意义情况。
【难度系数】
0.8
(1) 本题要求除法运算中的被除式，可根据“被除式=商×除式”的运算关系列出对应代数式，再依据分式乘法的约分规则，约去分子分母的公因式即可完成化简。
(2) 判断代数式的值能否等于-1，可先假设结论成立，将代数式的值等于-1列成方程求解，再检验求出的x是否使原代数式所有分母不为0（即分式有意义），若x的取值满足分式有意义的要求则结论成立，反之不成立。
【解析】
(1) 设被黑板擦遮住的代数式为$A$，由题意得：
$A ÷ \frac{x}{x+2} = \frac{x+2}{x-2}$
根据除法各部分关系可得：
$A = \frac{x+2}{x-2} · \frac{x}{x+2}$
约去分子分母的公因式$x+2$（$x+2≠0$），化简得：
$A = \frac{x}{x-2}$
(2) 原代数式的值能等于$-1$，理由如下：
假设$\frac{x}{x-2}=-1$，
去分母得：$x = -(x-2)$，
去括号整理得：$x = -x + 2$，
移项合并同类项得：$2x = 2$，
解得：$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x-2=1-2=-1≠0$，且原式中分母$x=1≠0$、$x+2=3≠0$，所有分母均不为0，分式有意义。
【答案】
(1) 被遮住部分的代数式化简后为$\frac{x}{x-2}$；
(2) 能，当$x=1$时原代数式的值为$-1$。
【知识点】
分式乘除运算、分式有意义的条件、解分式方程
【点评】
本题属于分式模块的基础常考题，核心考查分式运算规则和分式有意义的前提，需要注意求解分式相关问题后必须验根，排除分母为0的无意义情况。
【难度系数】
0.8
