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变式训练1 | 如图，AD是$△ ABC$的中线，点E，F分别是AD和AD延长线上的点，且$CE // BF$，则$△ ECD$与$△ FBD$全等吗？请说明你的理由。
答案
解:△ECD与△FBD全等,理由如下：
因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
因为CE//BF，
所以∠DCE=∠DBF。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF,\\CD=BD,\\∠CDE=∠BDF,\end{cases}$
所以△ECD≌△FBD(ASA)。
因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
因为CE//BF，
所以∠DCE=∠DBF。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF,\\CD=BD,\\∠CDE=∠BDF,\end{cases}$
所以△ECD≌△FBD(ASA)。
解析
【分析】
要判断△ECD和△FBD是否全等，我们可以结合已知条件推导两个三角形对应的边和角是否符合全等三角形的判定规则。首先由AD是△ABC的中线，根据中线的定义可得到BD=CD；再根据CE//BF，利用平行线的性质可得一组内错角相等；另外两个三角形还有一组对顶角相等，三组条件刚好符合“角边角”的全等判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
△ECD与△FBD全等，理由如下：
因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
因为CE//BF，
所以∠DCE=∠DBF（两直线平行，内错角相等）。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF,\\CD=BD,\\∠CDE=∠BDF（对顶角相等）,\end{cases}$
所以△ECD≌△FBD（ASA）。
【答案】
△ECD与△FBD全等。
【知识点】
三角形中线的定义；平行线的性质；全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是结合中线、平行线的性质挖掘出全等需要的边和角的相等关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要判断△ECD和△FBD是否全等，我们可以结合已知条件推导两个三角形对应的边和角是否符合全等三角形的判定规则。首先由AD是△ABC的中线，根据中线的定义可得到BD=CD；再根据CE//BF，利用平行线的性质可得一组内错角相等；另外两个三角形还有一组对顶角相等，三组条件刚好符合“角边角”的全等判定条件，即可证明两个三角形全等。
【解析】
△ECD与△FBD全等，理由如下：
因为AD是△ABC的中线，
所以BD=CD。
因为CE//BF，
所以∠DCE=∠DBF（两直线平行，内错角相等）。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF,\\CD=BD,\\∠CDE=∠BDF（对顶角相等）,\end{cases}$
所以△ECD≌△FBD（ASA）。
【答案】
△ECD与△FBD全等。
【知识点】
三角形中线的定义；平行线的性质；全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是结合中线、平行线的性质挖掘出全等需要的边和角的相等关系，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
例2 如图，已知点D是$△ ABC$的边AB上一点，DF交AC于点E，且$DE=EF$，$FC// AB$。若$BD=2$，$CF=5$，求AB的长。
[点拨] 本题考查三角形全等的判定定理AAS的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是关键。
[解] 因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{array} $
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
[点拨] 本题考查三角形全等的判定定理AAS的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是关键。
[解] 因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{array} $
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
答案
解：
因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，所以$AD=5$，
又因为$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
答：AB的长为7。
因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，所以$AD=5$，
又因为$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
答：AB的长为7。
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先由$FC// AB$，根据平行线的性质可得到两组内错角相等，再结合题目给出的$DE=EF$的条件，刚好满足AAS全等判定的三个条件，可证$△ ADE$和$△ CFE$全等；之后根据全等三角形对应边相等的性质得到$AD=CF$，最后$AB$是$AD$与$BD$的和，代入已知数值计算即可得到$AB$的长度。
【解析】
因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，所以$AD=5$，
又因为$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，侧重考察基础性质的综合应用，解题核心是通过平行线得到相等的角，结合已知等边长条件证明三角形全等，进而转化边的关系求解线段长度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件入手，首先由$FC// AB$，根据平行线的性质可得到两组内错角相等，再结合题目给出的$DE=EF$的条件，刚好满足AAS全等判定的三个条件，可证$△ ADE$和$△ CFE$全等；之后根据全等三角形对应边相等的性质得到$AD=CF$，最后$AB$是$AD$与$BD$的和，代入已知数值计算即可得到$AB$的长度。
【解析】
因为$FC// AB$，
所以$∠ A=∠ FCE$，$∠ ADE=∠ F$。
在$△ ADE$与$△ CFE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ FCE,\\∠ ADE=∠ F,\\DE=EF,\end{cases}$
所以$△ ADE≌△ CFE(\mathrm{AAS})$，
所以$AD=CF$。
因为$CF=5$，所以$AD=5$，
又因为$BD=2$，
所以$AB=AD+BD=5+2=7$。
【答案】
7
【知识点】
平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，侧重考察基础性质的综合应用，解题核心是通过平行线得到相等的角，结合已知等边长条件证明三角形全等，进而转化边的关系求解线段长度，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.85
|变式训练2| 如图，点A，F，C，E在同一条直线上，且AB//DE，AF=CE。已知下列四个条件：
①∠A=∠E；②∠B=∠D；③DF//BC；④BC=DF。
请选择其中一个条件，并说明△ABC与△EDF全等。
①∠A=∠E；②∠B=∠D；③DF//BC；④BC=DF。
请选择其中一个条件，并说明△ABC与△EDF全等。
答案
解:(1)选择②。理由如下：
因为AB//DE，
所以∠A=∠E。
因为AF=CE，
所以AF+FC=FC+CE，
即AC=EF。
在△ABC和△EDF中，
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(AAS)。
(2)选择③。理由如下：
因为AB//DE，
所以∠A=∠E。
因为AF=CE，
所以AF+FC=FC+CE，
即AC=EF。
因为DF//BC，
所以∠DFE=∠BCA。
在△ABC和△EDF中，
$\begin{cases}∠BCA=∠DFE,\\AC=EF,\\∠A=∠E,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(ASA)。
因为AB//DE，
所以∠A=∠E。
因为AF=CE，
所以AF+FC=FC+CE，
即AC=EF。
在△ABC和△EDF中，
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(AAS)。
(2)选择③。理由如下：
因为AB//DE，
所以∠A=∠E。
因为AF=CE，
所以AF+FC=FC+CE，
即AC=EF。
因为DF//BC，
所以∠DFE=∠BCA。
在△ABC和△EDF中，
$\begin{cases}∠BCA=∠DFE,\\AC=EF,\\∠A=∠E,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF(ASA)。
解析
【分析】
首先先推导题目已知条件可得的结论：第一，由AB//DE，根据平行线的内错角相等性质可得∠A=∠E；第二，由AF=CE，在等式两边同时加上公共线段FC，可得到AC=EF。此时我们已经得到一组对应角相等、一组对应边相等，要证明△ABC≌△EDF，只需再补充一组对应角相等，即可用AAS或ASA判定全等，据此选择合适的条件证明即可。
【解析】
示例1：选择条件②∠B=∠D，理由如下：
因为AB//DE，所以∠A=∠E（两直线平行，内错角相等）。
因为AF=CE，所以AF+FC=FC+CE，即AC=EF。
在△ABC和△EDF中：
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（AAS）。
示例2：选择条件③DF//BC，理由如下：
因为AB//DE，所以∠A=∠E（两直线平行，内错角相等）。
因为AF=CE，所以AF+FC=FC+CE，即AC=EF。
因为DF//BC，所以∠DFE=∠BCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△EDF中：
$\begin{cases}∠A=∠E,\\AC=EF,\\∠BCA=∠DFE,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（ASA）。
（注：条件①和④无法证明两个三角形全等）
【答案】
可选择②或③，对应证明过程如上，△ABC与△EDF全等。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题是开放性全等证明题，解题核心是先从已知条件推导出已有的相等边角，再结合所选条件匹配全等判定定理即可，要注意SSA、AAA不能判定三角形全等，避免选择无效条件。
【难度系数】
0.7
首先先推导题目已知条件可得的结论：第一，由AB//DE，根据平行线的内错角相等性质可得∠A=∠E；第二，由AF=CE，在等式两边同时加上公共线段FC，可得到AC=EF。此时我们已经得到一组对应角相等、一组对应边相等，要证明△ABC≌△EDF，只需再补充一组对应角相等，即可用AAS或ASA判定全等，据此选择合适的条件证明即可。
【解析】
示例1：选择条件②∠B=∠D，理由如下：
因为AB//DE，所以∠A=∠E（两直线平行，内错角相等）。
因为AF=CE，所以AF+FC=FC+CE，即AC=EF。
在△ABC和△EDF中：
$\begin{cases}∠B=∠D,\\∠A=∠E,\\AC=EF,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（AAS）。
示例2：选择条件③DF//BC，理由如下：
因为AB//DE，所以∠A=∠E（两直线平行，内错角相等）。
因为AF=CE，所以AF+FC=FC+CE，即AC=EF。
因为DF//BC，所以∠DFE=∠BCA（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC和△EDF中：
$\begin{cases}∠A=∠E,\\AC=EF,\\∠BCA=∠DFE,\end{cases}$
所以△ABC≌△EDF（ASA）。
（注：条件①和④无法证明两个三角形全等）
【答案】
可选择②或③，对应证明过程如上，△ABC与△EDF全等。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，线段和差计算
【点评】
本题是开放性全等证明题，解题核心是先从已知条件推导出已有的相等边角，再结合所选条件匹配全等判定定理即可，要注意SSA、AAA不能判定三角形全等，避免选择无效条件。
【难度系数】
0.7
