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知识点一 用“角边角”判定两个三角形全等
两角及其
两角及其
夹边
分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。答案
夹边
解析
【分析】
本题考查“角边角”判定三角形全等的基础概念，解题时先回忆“角边角”（ASA）判定定理的完整内容：两个三角形的两组角分别相等，且这两组角共同夹着的边也相等时，两个三角形全等，因此空缺处对应的是两角之间所夹的边。
【解析】
根据“角边角”判定三角形全等的定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”，因此此处应填“夹边”。
【答案】
夹边
【知识点】
角边角判定三角形全等
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对全等三角形判定定理内容的掌握，牢记各判定定理的核心要素即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查“角边角”判定三角形全等的基础概念，解题时先回忆“角边角”（ASA）判定定理的完整内容：两个三角形的两组角分别相等，且这两组角共同夹着的边也相等时，两个三角形全等，因此空缺处对应的是两角之间所夹的边。
【解析】
根据“角边角”判定三角形全等的定理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”，因此此处应填“夹边”。
【答案】
夹边
【知识点】
角边角判定三角形全等
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对全等三角形判定定理内容的掌握，牢记各判定定理的核心要素即可快速解题。
【难度系数】
0.9
知识点二 用“角角边”判定两个三角形全等
两角分别相等且其中一组
相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或
“AAS”。
两角分别相等且其中一组
等角的对边
相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或
“AAS”。
答案
等角的对边
解析
【分析】
解决本题需要先回忆三角形全等“AAS”判定定理的内容，我们已经学过“角边角（ASA）”是两角及其夹边对应相等可判定全等，而“角角边（AAS）”是在两个三角形已有两角分别相等的前提下，添加的相等边不是两角的夹边，而是其中一组相等的角所对的边，即可判定两个三角形全等，据此就能推出空缺处的内容。
【解析】
根据“角角边”（AAS）判定三角形全等的定义：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”，因此空缺处应填入“等角的对边”。
【答案】
等角的对边
【知识点】
1. 三角形全等的AAS判定
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对AAS判定定理内容的掌握，难度较低，只要能准确区分各个全等判定定理的条件，尤其是AAS和ASA中边的位置差异，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解决本题需要先回忆三角形全等“AAS”判定定理的内容，我们已经学过“角边角（ASA）”是两角及其夹边对应相等可判定全等，而“角角边（AAS）”是在两个三角形已有两角分别相等的前提下，添加的相等边不是两角的夹边，而是其中一组相等的角所对的边，即可判定两个三角形全等，据此就能推出空缺处的内容。
【解析】
根据“角角边”（AAS）判定三角形全等的定义：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”，因此空缺处应填入“等角的对边”。
【答案】
等角的对边
【知识点】
1. 三角形全等的AAS判定
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考查对AAS判定定理内容的掌握，难度较低，只要能准确区分各个全等判定定理的条件，尤其是AAS和ASA中边的位置差异，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
知识点三 已知两角及其夹边作三角形
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
请按照给出的作法作出相应的图形：
| 作法 | 图形 |
| --- | --- |
| (1)作∠DAF=∠α。 | |
| (2)在射线AF上截取线段AB=c。
| |
| (3)以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所要作的三角形。 | |
如图，已知∠α，∠β，线段c，用尺规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。
请按照给出的作法作出相应的图形：
| 作法 | 图形 |
| --- | --- |
| (1)作∠DAF=∠α。 | |
| (2)在射线AF上截取线段AB=c。
| || (3)以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABE=∠β，BE交AD于点C。
△ABC就是所要作的三角形。 | |
答案
解：
1. 利用尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出∠DAF，使∠DAF=∠α，标注点D、A、F。
2. 在射线AF上，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法，截取线段AB，使AB=c，标注点B。
3. 以点B为顶点，BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE与射线AD交于点C，所得△ABC即为符合要求的所求三角形。
1. 利用尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出∠DAF，使∠DAF=∠α，标注点D、A、F。
2. 在射线AF上，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法，截取线段AB，使AB=c，标注点B。
3. 以点B为顶点，BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE与射线AD交于点C，所得△ABC即为符合要求的所求三角形。
解析
【分析】
要作出满足∠A=∠α、∠B=∠β、AB=c的△ABC，可按“定顶点→连边成图”的思路操作：第一步先确定顶点A，借助“作一个角等于已知角”的基本作图作出∠DAF=∠α，固定∠A的大小；第二步确定顶点B，借助“作一条线段等于已知线段”的基本作图，在射线AF上截取AB=c，得到顶点B；第三步确定顶点C，以B为顶点作∠ABE=∠β，注意要和∠α在AB的同侧，射线BE与AD的交点就是点C，三个顶点全部确定后即可得到所求三角形。
【解析】
1. 按照“作一个角等于已知角”的尺规作图步骤，画出∠DAF，使得∠DAF的大小和已知∠α相等，标注好点D、A、F；
2. 按照“作一条线段等于已知线段”的尺规作图步骤，在射线AF上截取线段AB，使得AB的长度等于已知线段c，标注好点B；
3. 再次使用“作一个角等于已知角”的方法，以点B为顶点、BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE和射线AD的交点记为点C，此时得到的△ABC就是符合要求的三角形。
【答案】
1. 利用尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出∠DAF，使∠DAF=∠α，标注点D、A、F。
2. 在射线AF上，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法，截取线段AB，使AB=c，标注点B。
3. 以点B为顶点，BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE与射线AD交于点C，所得△ABC即为符合要求的所求三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角；作线段等于已知线段；ASA作三角形
【点评】
本题考查利用基础尺规作图完成两角夹边型三角形的绘制，核心是熟练掌握两个基本尺规作图的操作规范，作图时需注意两个已知角要作在公共边AB的同侧，避免得到不符合要求的图形。
【难度系数】
0.8
要作出满足∠A=∠α、∠B=∠β、AB=c的△ABC，可按“定顶点→连边成图”的思路操作：第一步先确定顶点A，借助“作一个角等于已知角”的基本作图作出∠DAF=∠α，固定∠A的大小；第二步确定顶点B，借助“作一条线段等于已知线段”的基本作图，在射线AF上截取AB=c，得到顶点B；第三步确定顶点C，以B为顶点作∠ABE=∠β，注意要和∠α在AB的同侧，射线BE与AD的交点就是点C，三个顶点全部确定后即可得到所求三角形。
【解析】
1. 按照“作一个角等于已知角”的尺规作图步骤，画出∠DAF，使得∠DAF的大小和已知∠α相等，标注好点D、A、F；
2. 按照“作一条线段等于已知线段”的尺规作图步骤，在射线AF上截取线段AB，使得AB的长度等于已知线段c，标注好点B；
3. 再次使用“作一个角等于已知角”的方法，以点B为顶点、BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE和射线AD的交点记为点C，此时得到的△ABC就是符合要求的三角形。
【答案】
1. 利用尺规作一个角等于已知角的基本作图方法，作出∠DAF，使∠DAF=∠α，标注点D、A、F。
2. 在射线AF上，利用尺规作一条线段等于已知线段的方法，截取线段AB，使AB=c，标注点B。
3. 以点B为顶点，BA为一边，在∠DAF所在的同侧作∠ABE=∠β，射线BE与射线AD交于点C，所得△ABC即为符合要求的所求三角形。
【知识点】
作一个角等于已知角；作线段等于已知线段；ASA作三角形
【点评】
本题考查利用基础尺规作图完成两角夹边型三角形的绘制，核心是熟练掌握两个基本尺规作图的操作规范，作图时需注意两个已知角要作在公共边AB的同侧，避免得到不符合要求的图形。
【难度系数】
0.8
例1 如图，已知$DE=CA$，$AB// DE$，$∠ ECB=70°$，$∠ D=110°$。$△ ABC$与$△ EAD$全等吗？请说明理由。
[点拨] 本题是有关三角形全等的基础题型。由$∠ ECB=70°$，得$∠ ACB=110°$。再由$AB// DE$，可得$∠ CAB=∠ E$。最后结合已知条件$DE=CA$，利用“ASA”说明$△ ABC≌△ EAD$。
[解] 因为$∠ ECB=70°$，
所以$∠ ACB=110°$。
又因为$∠ D=110°$，
所以$∠ ACB=∠ D$。
因为$AB// DE$，
所以$∠ CAB=∠ E$。
在$△ ABC$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
[点拨] 本题是有关三角形全等的基础题型。由$∠ ECB=70°$，得$∠ ACB=110°$。再由$AB// DE$，可得$∠ CAB=∠ E$。最后结合已知条件$DE=CA$，利用“ASA”说明$△ ABC≌△ EAD$。
[解] 因为$∠ ECB=70°$，
所以$∠ ACB=110°$。
又因为$∠ D=110°$，
所以$∠ ACB=∠ D$。
因为$AB// DE$，
所以$∠ CAB=∠ E$。
在$△ ABC$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
答案
解：$△ ABC$与$△ EAD$全等，理由如下：
因为$∠ ECB=70°$，
所以$∠ ACB=110°$。
又因为$∠ D=110°$，
所以$∠ ACB=∠ D$。
因为$AB// DE$，
所以$∠ CAB=∠ E$。
在$△ ABC$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
因为$∠ ECB=70°$，
所以$∠ ACB=110°$。
又因为$∠ D=110°$，
所以$∠ ACB=∠ D$。
因为$AB// DE$，
所以$∠ CAB=∠ E$。
在$△ ABC$和$△ EAD$中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
解析
【分析】
要判断两个三角形是否全等，需先梳理已知条件，匹配全等三角形的判定定理。首先，已知∠ECB=70°，根据邻补角和为180°可求出∠ACB的度数，对比∠D的度数可得第一组相等的角；再利用AB//DE的平行线性质，可得内错角相等，得到第二组相等的角；最后结合已知DE=CA的等边条件，验证是否满足全等判定条件即可得出结论。
【解析】
判断△ABC与△EAD全等，推导过程如下：
因为∠ECB=70°，∠ACB与∠ECB互为邻补角，
所以∠ACB=180°-70°=110°。
又因为∠D=110°，
所以∠ACB=∠D。
因为AB//DE，根据两直线平行，内错角相等，
所以∠CAB=∠E。
在△ABC和△EAD中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以△ABC≌△EAD（ASA）。
【答案】
△ABC与△EAD全等，理由如下：
因为∠ECB=70°，
所以∠ACB=110°。
又因为∠D=110°，
所以∠ACB=∠D。
因为AB//DE，
所以∠CAB=∠E。
在△ABC和△EAD中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
【知识点】
邻补角的性质，平行线的性质，全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础典型题，核心考察几何证明中角的等量关系推导和全等判定定理的运用，能帮助学生巩固基础的几何逻辑思维，掌握“找等角、寻等边、匹配判定定理”的全等证明思路。
【难度系数】
0.8
要判断两个三角形是否全等，需先梳理已知条件，匹配全等三角形的判定定理。首先，已知∠ECB=70°，根据邻补角和为180°可求出∠ACB的度数，对比∠D的度数可得第一组相等的角；再利用AB//DE的平行线性质，可得内错角相等，得到第二组相等的角；最后结合已知DE=CA的等边条件，验证是否满足全等判定条件即可得出结论。
【解析】
判断△ABC与△EAD全等，推导过程如下：
因为∠ECB=70°，∠ACB与∠ECB互为邻补角，
所以∠ACB=180°-70°=110°。
又因为∠D=110°，
所以∠ACB=∠D。
因为AB//DE，根据两直线平行，内错角相等，
所以∠CAB=∠E。
在△ABC和△EAD中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以△ABC≌△EAD（ASA）。
【答案】
△ABC与△EAD全等，理由如下：
因为∠ECB=70°，
所以∠ACB=110°。
又因为∠D=110°，
所以∠ACB=∠D。
因为AB//DE，
所以∠CAB=∠E。
在△ABC和△EAD中，
$\begin{cases}∠ ACB=∠ D, \\CA=DE, \\∠ CAB=∠ E,\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ EAD(\mathrm{ASA})$。
【知识点】
邻补角的性质，平行线的性质，全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础典型题，核心考察几何证明中角的等量关系推导和全等判定定理的运用，能帮助学生巩固基础的几何逻辑思维，掌握“找等角、寻等边、匹配判定定理”的全等证明思路。
【难度系数】
0.8
