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1. 抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交点个数 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$根的情况 $b^2-4ac$的情况
有两个交点 有两个不相等的实数根 $b^2-4ac$
只有一个交点
$b^2-4ac$
无交点 无实数根 $b^2-4ac$
有两个交点 有两个不相等的实数根 $b^2-4ac$
＞
0只有一个交点
$b^2-4ac$=
0无交点 无实数根 $b^2-4ac$
＜
0答案
1. ＞ = ＜
解析
【分析】
抛物线与x轴的交点横坐标就是当y=0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，因此交点个数和方程根的情况一一对应，而一元二次方程根的情况由判别式$b^2-4ac$的符号决定：当方程有两个不相等的实根时，判别式大于0，对应抛物线有两个x轴交点；当方程有两个相等的实根时，判别式等于0，对应抛物线只有一个x轴交点；当方程无实根时，判别式小于0，对应抛物线和x轴无交点，按照这个对应逻辑即可填写符号。
【解析】
1. 抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根，此时$b^2-4ac＞0$，第一空填“＞”；
2. 抛物线与x轴只有一个交点，对应方程有两个相等的实数根，此时$b^2-4ac=0$，第二空填“=”；
3. 抛物线与x轴无交点，对应方程无实数根，此时$b^2-4ac＜0$，第三空填“＜”。
【答案】
＞；=；＜
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式应用
【点评】
本题是基础概念考察题，核心考查二次函数图象与x轴交点个数、对应一元二次方程根的情况、判别式符号三者的对应关系，牢记该对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
抛物线与x轴的交点横坐标就是当y=0时，一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，因此交点个数和方程根的情况一一对应，而一元二次方程根的情况由判别式$b^2-4ac$的符号决定：当方程有两个不相等的实根时，判别式大于0，对应抛物线有两个x轴交点；当方程有两个相等的实根时，判别式等于0，对应抛物线只有一个x轴交点；当方程无实根时，判别式小于0，对应抛物线和x轴无交点，按照这个对应逻辑即可填写符号。
【解析】
1. 抛物线与x轴有两个交点，对应方程有两个不相等的实数根，此时$b^2-4ac＞0$，第一空填“＞”；
2. 抛物线与x轴只有一个交点，对应方程有两个相等的实数根，此时$b^2-4ac=0$，第二空填“=”；
3. 抛物线与x轴无交点，对应方程无实数根，此时$b^2-4ac＜0$，第三空填“＜”。
【答案】
＞；=；＜
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根的判别式应用
【点评】
本题是基础概念考察题，核心考查二次函数图象与x轴交点个数、对应一元二次方程根的情况、判别式符号三者的对应关系，牢记该对应规律即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
（1）用描点法画二次函数的图象；
（2）观察估计二次函数的图象与
（3）得到方程的根的近似值.
（1）用描点法画二次函数的图象；
（2）观察估计二次函数的图象与
x
轴的交点的横坐标；（3）得到方程的根的近似值.
答案
2. (2) x
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根和二次函数图象的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值。函数值为0的点恰好落在坐标系的x轴上，因此我们只需要观察二次函数图象与x轴交点的横坐标，就能得到对应方程的根，所以此处应填x。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$y=0$时，对应的$x$的取值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，而$y=0$的点都在$x$轴上，因此二次函数图象与$x$轴交点的横坐标就是方程的根，所以此处需要观察的是图象与$x$轴交点的横坐标。
【答案】
x
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础概念题，是利用图象法求一元二次方程近似根的核心基础，只要掌握二次函数和对应一元二次方程的关联就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元二次方程的根和二次函数图象的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时对应的自变量$x$的取值。函数值为0的点恰好落在坐标系的x轴上，因此我们只需要观察二次函数图象与x轴交点的横坐标，就能得到对应方程的根，所以此处应填x。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$y=0$时，对应的$x$的取值就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，而$y=0$的点都在$x$轴上，因此二次函数图象与$x$轴交点的横坐标就是方程的根，所以此处需要观察的是图象与$x$轴交点的横坐标。
【答案】
x
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的图象与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础概念题，是利用图象法求一元二次方程近似根的核心基础，只要掌握二次函数和对应一元二次方程的关联就能快速作答。
【难度系数】
0.9
1. 已知二次函数$y=-x^2+2mx+4-m^2$（$m$为常数），则该二次函数的图象与$x$轴（
A.有两个公共点
B.有一个公共点
C.没有公共点
D.无法确定公共点的个数
A
）.A.有两个公共点
B.有一个公共点
C.没有公共点
D.无法确定公共点的个数
答案
1. A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，只需判断当y=0时对应的一元二次方程的根的个数，而一元二次方程根的个数可通过判别式Δ的符号判断：Δ＞0时有两个不相等的实数根，对应两个公共点；Δ=0时有一个实数根，对应一个公共点；Δ＜0时没有实数根，对应没有公共点。因此我们只需先写出y=0时的方程，确定各项系数，计算判别式判断符号即可。
【解析】
当y=0时，可得一元二次方程：$-x^2+2mx+4-m^2=0$，
其中二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=4-m^2$，
根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，代入得：
$\Delta=(2m)^2 - 4×(-1)×(4-m^2)$
$=4m^2 + 4×(4 - m^2)$
$=4m^2 + 16 - 4m^2$
$=16＞0$
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个公共点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定 2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数图象与x轴公共点个数和对应一元二次方程根的情况的关联，解题核心是准确计算判别式并判断其符号，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，只需判断当y=0时对应的一元二次方程的根的个数，而一元二次方程根的个数可通过判别式Δ的符号判断：Δ＞0时有两个不相等的实数根，对应两个公共点；Δ=0时有一个实数根，对应一个公共点；Δ＜0时没有实数根，对应没有公共点。因此我们只需先写出y=0时的方程，确定各项系数，计算判别式判断符号即可。
【解析】
当y=0时，可得一元二次方程：$-x^2+2mx+4-m^2=0$，
其中二次项系数$a=-1$，一次项系数$b=2m$，常数项$c=4-m^2$，
根据根的判别式公式$\Delta = b^2-4ac$，代入得：
$\Delta=(2m)^2 - 4×(-1)×(4-m^2)$
$=4m^2 + 4×(4 - m^2)$
$=4m^2 + 16 - 4m^2$
$=16＞0$
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个公共点，故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定 2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数图象与x轴公共点个数和对应一元二次方程根的情况的关联，解题核心是准确计算判别式并判断其符号，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.8
2. 二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象如图26.3-1所示，$A(2.18, -0.51)$，$B(2.68, 0.54)$为图象上的两点，则方程$ax^2+bx+c=0$的一个根可能是（
图26.3-1
A.2.18
B.2.68
C.$-0.51$
D.2.45
D
）。图26.3-1
A.2.18
B.2.68
C.$-0.51$
D.2.45
答案
2. D
解析
【分析】
解题核心依据是：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，此时函数值$y=0$。已知图象上两点A、B的坐标，可得x=2.18时y＜0（点在x轴下方），x=2.68时y＞0（点在x轴上方），由于二次函数图象是连续的曲线，因此函数图象在2.18到2.68之间必然和x轴有一个交点，即方程的一个根的取值范围是$2.18＜x＜2.68$，再结合选项判断即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标（即$y=0$时对应的x值）。
由点$A(2.18,-0.51)$可知：当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$；
由点$B(2.68,0.54)$可知：当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以在$2.18＜x＜2.68$的范围内，一定存在某个x使得$y=0$，即方程的一个根在2.18和2.68之间。
分析选项：
A.2.18时y=-0.51≠0，不是方程的根；
B.2.68时y=0.54≠0，不是方程的根；
C.-0.51是x=2.18时的y值，不是x的值，不可能是方程的根；
D.2.45满足$2.18＜2.45＜2.68$，有可能是方程的根。
因此选D。
【答案】D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.函数图象的应用
【点评】
本题通过二次函数上两点的函数值符号判断对应一元二次方程根的范围，是二次函数与方程结合的基础题型，解题关键是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题核心依据是：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与x轴交点的横坐标，此时函数值$y=0$。已知图象上两点A、B的坐标，可得x=2.18时y＜0（点在x轴下方），x=2.68时y＞0（点在x轴上方），由于二次函数图象是连续的曲线，因此函数图象在2.18到2.68之间必然和x轴有一个交点，即方程的一个根的取值范围是$2.18＜x＜2.68$，再结合选项判断即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系：方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标（即$y=0$时对应的x值）。
由点$A(2.18,-0.51)$可知：当$x=2.18$时，$y=-0.51＜0$；
由点$B(2.68,0.54)$可知：当$x=2.68$时，$y=0.54＞0$。
因为二次函数图象是连续的曲线，所以在$2.18＜x＜2.68$的范围内，一定存在某个x使得$y=0$，即方程的一个根在2.18和2.68之间。
分析选项：
A.2.18时y=-0.51≠0，不是方程的根；
B.2.68时y=0.54≠0，不是方程的根；
C.-0.51是x=2.18时的y值，不是x的值，不可能是方程的根；
D.2.45满足$2.18＜2.45＜2.68$，有可能是方程的根。
因此选D。
【答案】D
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.函数图象的应用
【点评】
本题通过二次函数上两点的函数值符号判断对应一元二次方程根的范围，是二次函数与方程结合的基础题型，解题关键是理解二次函数图象与对应一元二次方程根的对应关系。
【难度系数】
0.7
