2026年新课程问题解决导学方案八年级数学上册人教版第48页答案

8. 如图,将等腰直角三角尺ABC按如图方式放在平面直角坐标系中,直角顶点A落在$(1,0)$处,顶点B落在$(0,2)$处,顶点C落在第一象限,求点C的坐标.

答案

8. 如图,过点 $C$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$.

$\because \quad$ 点 $A(1,0)$,点 $B(0,2)$,
$\therefore \quad OA=1,OB=2.$
$\because \quad ∠ CDA=∠ BAC=∠ AOB=90°,$
$\therefore \quad ∠ CAD + ∠ ACD = 90°, ∠ CAD + ∠ BAO=90°.$
$\therefore \quad ∠ BAO=∠ ACD.$
在$△ ABO$ 和$△ CAD$ 中,
$\begin{cases}∠ AOB=∠ CDA, \\∠ BAO=∠ ACD, \\AB=CA,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABO ≌ △ CAD(\mathrm{AAS}).$
$\therefore \quad CD=OA=1,AD=OB=2.$
$\therefore \quad OD=OA+AD=3.$
$\therefore \quad$ 点 $C$ 的坐标为 $(3,1).$

解析

【分析】
要求点C的坐标，可通过作x轴的垂线，将坐标求解转化为线段长度计算问题。已知△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC、∠BAC=90°，结合坐标系中的直角，可利用“同角的余角相等”推导等角，证明△ABO与△CAD全等，再借助全等三角形对应边相等求出点C对应的横、纵坐标对应的线段长度，即可得到点C的坐标。
【解析】
过点 $C$ 作 $CD ⊥ x$ 轴于点 $D$，如图所示：

$\because$ 点 $A(1,0)$，点 $B(0,2)$，
$\therefore OA=1$，$OB=2$。
$\because ∠CDA=∠BAC=∠AOB=90°$，
$\therefore ∠CAD + ∠ACD = 90°$，$∠CAD + ∠BAO=90°$，
$\therefore ∠BAO=∠ACD$。
在$△ ABO$ 和$△ CAD$ 中：
$\begin{cases}∠AOB=∠CDA \\∠BAO=∠ACD \\AB=CA\end{cases}$
$\therefore △ ABO ≌ △ CAD(\mathrm{AAS})$。
$\therefore CD=OA=1$，$AD=OB=2$，
$\therefore OD=OA+AD=1+2=3$。
又$\because$ 点C在第一象限，
$\therefore$ 点C的横坐标为3，纵坐标为1。
【答案】
点C的坐标为$\boldsymbol{(3,1)}$
【知识点】
全等三角形的AAS判定；全等三角形的性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的典型基础题，解题核心是通过作垂线构造全等三角形，利用角度互余关系实现等角转换，再结合全等性质求解线段长度得到点坐标，能有效考查学生的几何作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

9. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, AD 平分 $∠ BAC$ 交 BC 于点 D, P 是线段 AD 上一点, $PE ⊥ AD$ 交直线 BC 于点 E, 且 $PE = AC$, $∠ B = 30°$.
(1) 求证 $△ ADC ≌ △ EDP$;
(2) 求 $∠ E$ 的度数.

答案

9. (1)$\because \quad PE ⊥ AD$,
$\therefore \quad ∠ EPD=90°.$
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ EPD=90°.$
在$△ ADC$ 和$△ EDP$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ EDP, \\∠ ACD=∠ EPD, \\AC=EP,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ADC ≌ △ EDP(\mathrm{AAS}).$
(2)$\because \quad ∠ ACB=90°,∠ B=30°,$
$\therefore \quad ∠ BAC=90°-∠ B=60°.$
$\because \quad AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore \quad ∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°.$
$\because \quad △ ADC ≌ △ EDP,$
$\therefore \quad ∠ E=∠ DAC=30°.$

解析

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△EDP，先回忆全等三角形的判定定理，梳理已知的等量关系：由PE⊥AD和∠ACB=90°可得两个三角形各有一个直角相等；∠ADC和∠EDP是对顶角，天然相等；已知PE=AC，刚好满足AAS的判定条件，即可完成全等证明。
(2) 要求∠E的度数，先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义求出∠DAC的度数，最后结合第一问的全等结论，利用全等三角形对应角相等，可知∠E=∠DAC，即可求出∠E的度数。
【解析】
(1) 证明：$\because \quad PE ⊥ AD$,
$\therefore \quad ∠ EPD=90°.$
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ EPD=90°.$
在$△ ADC$ 和$△ EDP$ 中,
$\begin{cases}∠ ADC=∠ EDP, \\∠ ACD=∠ EPD, \\AC=EP,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ADC ≌ △ EDP(\mathrm{AAS}).$
(2) 解：$\because \quad ∠ ACB=90°,∠ B=30°,$
$\therefore \quad ∠ BAC=90°-∠ B=60°.$
$\because \quad AD$ 平分$∠ BAC,$
$\therefore \quad ∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°.$
$\because \quad △ ADC ≌ △ EDP,$
$\therefore \quad ∠ E=∠ DAC=30°.$
【答案】
(1) △ADC≌△EDP得证；
(2) $\boldsymbol{∠E=30°}$
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 角平分线的定义
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形全等的基础应用类题目，解题核心是从已知条件中挖掘出全等判定所需的对应相等的边和角，再结合全等三角形的性质即可求出对应角的度数，是巩固全等判定与性质的典型习题。
【难度系数】
0.7

10. 如图，$∠ BAD = ∠ CAE = 90°$, $AB = AD$, $AE = AC$, $AF ⊥ CB$,垂足为$F$,点$D$在$CE$上.
(1)求证$△ BAC ≌ △ DAE$；
(2)求$∠ FAE$的度数；
(3)求证$CD=2BF+DE$.

答案

10. (1)$\because \quad ∠ BAD=∠ CAE=90°,$
$\therefore \quad ∠ BAC+∠ CAD=90°, ∠ CAD+∠ DAE=90°.$
$\therefore \quad ∠ BAC=∠ DAE.$
在$△ BAC$ 和$△ DAE$ 中,
$\begin{cases}AB=AD, \\∠ BAC=∠ DAE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ BAC ≌ △ DAE(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because \quad ∠ CAE=90°,AC=AE,$
$\therefore \quad ∠ ACE=∠ E=45°.$
由(1)知$△ BAC ≌ △ DAE,$
$\therefore \quad ∠ BCA=∠ E=45°.$
$\because \quad AF ⊥ BC,$
$\therefore \quad ∠ CFA=90°.$
$\therefore \quad ∠ CAF=45°.$
$\therefore \quad ∠ FAE=∠ CAF+∠ CAE=45°+90°=135°.$
(3)如图,延长 $BF$ 到点 $G$,使得 $FG=FB$,连接 $AG$.

$\because \quad AF ⊥ BG,$
$\therefore \quad ∠ AFG=∠ AFB=90°.$
在$△ AFB$ 和$△ AFG$ 中,
$\begin{cases}BF=GF, \\∠ AFB=∠ AFG, \\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore \quad △ AFB ≌ △ AFG(\mathrm{SAS}).$
$\therefore \quad AB=AG,∠ ABF=∠ G.$
$\because \quad AB=AD,$
$\therefore \quad AG=AD.$
$\because \quad △ BAC ≌ △ DAE,$
$\therefore \quad ∠ CBA=∠ EDA,CB=ED.$
$\because \quad ∠ ABF+∠ CBA=180°, ∠ CDA+∠ EDA=180°,$
$\therefore \quad ∠ ABF=∠ CDA.$
$\therefore \quad ∠ G=∠ CDA.$
$\because \quad ∠ GCA=45°,∠ DCA=45°,$
$\therefore \quad ∠ GCA=∠ DCA.$
在$△ CGA$ 和$△ CDA$ 中,
$\begin{cases}∠ GCA=∠ DCA, \\∠ G=∠ CDA, \\AG=AD,\end{cases}$
$\therefore \quad △ CGA ≌ △ CDA(\mathrm{AAS}).$
$\therefore \quad CG=CD.$
$\because \quad CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,$
$\therefore \quad CD=2BF+DE.$

解析

【分析】
(1) 要证明$△ BAC ≌ △ DAE$，已知$AB=AD$、$AC=AE$，只需证明两组对应边的夹角相等即可。由$∠ BAD$和$∠ CAE$均为$90°$，同时减去公共角$∠ CAD$，即可得到$∠ BAC=∠ DAE$，用SAS判定定理即可证全等。
(2) 求$∠ FAE$的度数，先由$△ CAE$是等腰直角三角形得出$∠ ACE=∠ E=45°$，结合(1)的全等结论可得$∠ BCA=∠ E=45°$，再由$AF⊥ BC$得出$△ AFC$是等腰直角三角形，得到$∠ CAF=45°$，最后将$∠ CAF$与$∠ CAE$相加即可求出$∠ FAE$。
(3) 要证明$CD=2BF+DE$，属于线段和差类证明，采用截长补短的思路：延长$BF$到$G$使$FG=BF$，先证$△ AFB≌△ AFG$得到$AG=AD$，再结合角度关系证明$△ CGA≌△ CDA$得到$CG=CD$，最后将$CG$转化为$DE+2BF$即可得证。
【解析】
(1)$\because \quad ∠ BAD=∠ CAE=90°,$
$\therefore \quad ∠ BAC+∠ CAD=90°, ∠ CAD+∠ DAE=90°.$
$\therefore \quad ∠ BAC=∠ DAE.$
在$△ BAC$ 和$△ DAE$ 中,
$\begin{cases}AB=AD, \\∠ BAC=∠ DAE, \\AC=AE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ BAC ≌ △ DAE(\mathrm{SAS}).$
(2)$\because \quad ∠ CAE=90°,AC=AE,$
$\therefore \quad ∠ ACE=∠ E=45°.$
由(1)知$△ BAC ≌ △ DAE,$
$\therefore \quad ∠ BCA=∠ E=45°.$
$\because \quad AF ⊥ BC,$
$\therefore \quad ∠ CFA=90°.$
$\therefore \quad ∠ CAF=45°.$
$\therefore \quad ∠ FAE=∠ CAF+∠ CAE=45°+90°=135°.$
(3)如图,延长 $BF$ 到点 $G$,使得 $FG=FB$,连接 $AG$.

【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；截长补短法证线段关系
【点评】
本题前两问难度较低，主要考查全等三角形、等腰直角三角形的基础性质，第三问通过构造全等三角形转化线段，是解决线段和差类问题的常用思路，需要熟练掌握全等三角形的判定条件，能结合已知条件合理构造辅助线。
【难度系数】
0.5

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