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2. 如图,为了测量点B与河对面的目标A之间的距离,在点B同侧选择了一点C,测得$∠ ABC=65°$, $∠ ACB=30°$,然后在点M处立了标杆,使$∠ CBM=65°$, $∠ MCB = 30°$,得到$△ MBC ≌ △ ABC$,所以测得MB的长就是A,B两点之间的距离,这里判定$△ MBC ≌ △ ABC$的理由是 (
A.SAS
B.AAA
C.ASA
D.SSS
C
)A.SAS
B.AAA
C.ASA
D.SSS
答案
2. C
解析
【分析】
要判断△MBC和△ABC全等的判定理由，首先梳理两个三角形中已知的相等条件：已知∠ABC=∠CBM=65°，∠ACB=∠MCB=30°，同时两个三角形有公共边BC，即BC是两组相等角的公共夹边。再对应全等三角形的判定定理分析：ASA是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，其余选项中AAA不能判定全等，SAS需要两边夹一角，SSS需要三边对应相等，均不符合已知条件，即可确定判定理由。
【解析】
在△ABC和△MBC中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC = ∠ MBC = 65° \\BC = BC \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ ACB = ∠ MCB = 30°\end{array} $
满足两角及其夹边对应相等，根据角边角（ASA）判定定理，可得$△ MBC ≌ △ ABC$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定全等；全等三角形的实际应用
【点评】
本题是全等三角形判定在实际测量中的应用，解题关键是准确找到两个三角形中对应相等的角和公共边，匹配对应的全等判定定理，注意AAA不属于三角形全等的判定定理，不要混淆各类判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
要判断△MBC和△ABC全等的判定理由，首先梳理两个三角形中已知的相等条件：已知∠ABC=∠CBM=65°，∠ACB=∠MCB=30°，同时两个三角形有公共边BC，即BC是两组相等角的公共夹边。再对应全等三角形的判定定理分析：ASA是两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，其余选项中AAA不能判定全等，SAS需要两边夹一角，SSS需要三边对应相等，均不符合已知条件，即可确定判定理由。
【解析】
在△ABC和△MBC中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC = ∠ MBC = 65° \\BC = BC \quad (\mathrm{公共边}) \\∠ ACB = ∠ MCB = 30°\end{array} $
满足两角及其夹边对应相等，根据角边角（ASA）判定定理，可得$△ MBC ≌ △ ABC$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
ASA判定全等；全等三角形的实际应用
【点评】
本题是全等三角形判定在实际测量中的应用，解题关键是准确找到两个三角形中对应相等的角和公共边，匹配对应的全等判定定理，注意AAA不属于三角形全等的判定定理，不要混淆各类判定定理的使用条件。
【难度系数】
0.8
3. 如图,点E,C在线段BF上,$∠ ACB=∠ DEF$,$BE=CF$,$∠ B=∠ F$.求证$△ ABC ≌ △ DFE$. 
答案
3. $\because \quad BE=CF$,
$\therefore \quad BE+EC=CF+EC,即 BC=FE.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DEF, \\BC=FE, \\∠ B=∠ F,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore \quad BE+EC=CF+EC,即 BC=FE.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DEF, \\BC=FE, \\∠ B=∠ F,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA}).$
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DFE，首先梳理已知条件：题目已经给出两组对应角相等，即∠ACB=∠DEF、∠B=∠F。根据全等三角形的角边角（ASA）判定定理，还需要证明这两组角所夹的对应边BC和FE相等。观察线段BF上的点的位置，已知BE=CF，给这两条相等的线段同时加上公共线段EC，即可推导出BC=FE，凑齐ASA判定的全部条件后就能证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because \quad BE=CF$,
$\therefore \quad BE+EC=CF+EC,即 BC=FE.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DEF, \\BC=FE, \\∠ B=∠ F,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA}).$
【答案】
已证得$△ ABC ≌ △ DFE$，证明过程如上。
【知识点】
线段和差计算、全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是利用公共线段将已知相等的线段转化为三角形的对应相等边，再结合已知的角相等条件，选用对应的判定定理完成证明，需要同学们熟练掌握全等三角形的判定定理，学会挖掘图形中公共边、公共角这类隐含条件。
【难度系数】
0.85
要证明△ABC≌△DFE，首先梳理已知条件：题目已经给出两组对应角相等，即∠ACB=∠DEF、∠B=∠F。根据全等三角形的角边角（ASA）判定定理，还需要证明这两组角所夹的对应边BC和FE相等。观察线段BF上的点的位置，已知BE=CF，给这两条相等的线段同时加上公共线段EC，即可推导出BC=FE，凑齐ASA判定的全部条件后就能证明两个三角形全等。
【解析】
证明：
$\because \quad BE=CF$,
$\therefore \quad BE+EC=CF+EC,即 BC=FE.$
在$△ ABC$ 和$△ DFE$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DEF, \\BC=FE, \\∠ B=∠ F,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DFE(\mathrm{ASA}).$
【答案】
已证得$△ ABC ≌ △ DFE$，证明过程如上。
【知识点】
线段和差计算、全等三角形ASA判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题型，解题的关键是利用公共线段将已知相等的线段转化为三角形的对应相等边，再结合已知的角相等条件，选用对应的判定定理完成证明，需要同学们熟练掌握全等三角形的判定定理，学会挖掘图形中公共边、公共角这类隐含条件。
【难度系数】
0.85
4. 如图，点D，E分别在线段AB，AC上，且AB=AC，要依据“AAS”判定$△ ABE ≌ △ ACD$，则还需要添加的条件是
$∠ AEB=∠ ADC$
。答案
4. $∠ AEB=∠ ADC$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确“AAS”判定三角形全等的规则：两个三角形的两组角分别对应相等，且其中一组等角的对边也对应相等，则两个三角形全等。首先梳理△ABE和△ACD中已有的相等条件：两个三角形有公共角∠A，因此∠A=∠A；题目已知AB=AC。已有1组角相等、1组边相等，要满足AAS判定，还需补充1组角相等，且已知的边AB、AC需是这组新等角的对边：AB是△ABE中∠AEB的对边，AC是△ACD中∠ADC的对边，因此添加∠AEB=∠ADC即可满足AAS的判定要求。
【解析】
在△ABE和△ACD中：
已知公共角$∠ A=∠ A$，且$AB=AC$，
若添加条件$∠ AEB=∠ ADC$，则有：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC \\∠ A=∠ A \\AB=AC\end{cases}$
因此可依据“AAS”判定$△ ABE ≌ △ ACD$，符合题意。
【答案】
$∠ AEB=∠ ADC$
【知识点】
全等三角形AAS判定，公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是先确定已知的相等条件，再结合对应判定定理补充缺少的条件，要注意区分ASA和AAS的差异，避免混淆两种判定规则。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确“AAS”判定三角形全等的规则：两个三角形的两组角分别对应相等，且其中一组等角的对边也对应相等，则两个三角形全等。首先梳理△ABE和△ACD中已有的相等条件：两个三角形有公共角∠A，因此∠A=∠A；题目已知AB=AC。已有1组角相等、1组边相等，要满足AAS判定，还需补充1组角相等，且已知的边AB、AC需是这组新等角的对边：AB是△ABE中∠AEB的对边，AC是△ACD中∠ADC的对边，因此添加∠AEB=∠ADC即可满足AAS的判定要求。
【解析】
在△ABE和△ACD中：
已知公共角$∠ A=∠ A$，且$AB=AC$，
若添加条件$∠ AEB=∠ ADC$，则有：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC \\∠ A=∠ A \\AB=AC\end{cases}$
因此可依据“AAS”判定$△ ABE ≌ △ ACD$，符合题意。
【答案】
$∠ AEB=∠ ADC$
【知识点】
全等三角形AAS判定，公共角的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题的关键是先确定已知的相等条件，再结合对应判定定理补充缺少的条件，要注意区分ASA和AAS的差异，避免混淆两种判定规则。
【难度系数】
0.8
5. 如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC//AB.若AB=6，CF=4，则BD的长是（
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
B
）A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形和已知条件：已知FC//AB，可得到两组内错角相等；又已知DE=FE，结合对顶角相等的隐含条件，可证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
∵FC//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECF\\∠ADE=∠F\\DE=FE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=4，
∵AB=6，
∴BD=AB-AD=6-4=2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题关键是通过平行线的性质找到相等的角，结合已知边相等的条件证明三角形全等，再利用全等性质计算线段长度，解题思路清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形和已知条件：已知FC//AB，可得到两组内错角相等；又已知DE=FE，结合对顶角相等的隐含条件，可证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等得到AD的长度，最后用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
∵FC//AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠ECF\\∠ADE=∠F\\DE=FE\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF=4，
∵AB=6，
∴BD=AB-AD=6-4=2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题关键是通过平行线的性质找到相等的角，结合已知边相等的条件证明三角形全等，再利用全等性质计算线段长度，解题思路清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点E,C,F,B在一条直线上,AB=DE,AC//DF,∠A=∠D.求证BF=EC.
答案
6. $\because \quad AC// DF$,
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ DFE.$
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DFE, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{AAS}).$
$\therefore \quad BC=EF.$
$\therefore \quad BC-CF=EF-CF,$
$\therefore \quad BF=EC.$
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ DFE.$
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DFE, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{AAS}).$
$\therefore \quad BC=EF.$
$\therefore \quad BC-CF=EF-CF,$
$\therefore \quad BF=EC.$
解析
【分析】
要证明BF=EC，观察线段的组成可知BF=BC-CF，EC=EF-CF，因此只需先证明BC=EF即可。BC和EF分别是△ABC和△DEF的边，所以可通过证明两个三角形全等得到对应边相等：首先利用AC//DF的平行线性质推出一组内错角相等，再结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，用AAS判定定理证明△ABC≌△DEF，得到BC=EF后，两边同时减去公共线段CF即可推导出最终结论。
【解析】
$\because \quad AC// DF$,
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）.
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DFE, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore \quad BC=EF$（全等三角形的对应边相等）.
$\therefore \quad BC-CF=EF-CF$（等式的性质）,
$\therefore \quad BF=EC$.
【答案】
BF=EC，得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题关键是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，证明三角形全等后结合线段的和差关系推导待证结论，解题时注意观察线段的公共部分，可快速明确证明方向。
【难度系数】
0.8
要证明BF=EC，观察线段的组成可知BF=BC-CF，EC=EF-CF，因此只需先证明BC=EF即可。BC和EF分别是△ABC和△DEF的边，所以可通过证明两个三角形全等得到对应边相等：首先利用AC//DF的平行线性质推出一组内错角相等，再结合题目给出的∠A=∠D、AB=DE的条件，用AAS判定定理证明△ABC≌△DEF，得到BC=EF后，两边同时减去公共线段CF即可推导出最终结论。
【解析】
$\because \quad AC// DF$,
$\therefore \quad ∠ ACB=∠ DFE$（两直线平行，内错角相等）.
在$△ ABC$ 和$△ DEF$ 中,
$\begin{cases}∠ ACB=∠ DFE, \\∠ A=∠ D, \\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ABC ≌ △ DEF(\mathrm{AAS})$.
$\therefore \quad BC=EF$（全等三角形的对应边相等）.
$\therefore \quad BC-CF=EF-CF$（等式的性质）,
$\therefore \quad BF=EC$.
【答案】
BF=EC，得证。
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形应用的基础题，解题关键是先通过平行线性质得到全等所需的等角条件，证明三角形全等后结合线段的和差关系推导待证结论，解题时注意观察线段的公共部分，可快速明确证明方向。
【难度系数】
0.8
7. 如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且CE//BF.
(1) △ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由.
(2)若AD=6，DF=2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积.
(1) △ECD与△FBD全等吗？请说明你的理由.
(2)若AD=6，DF=2，△BDF的面积为3，请直接写出△AEC的面积.
答案
7. (1)$△ ECD$ 与$△ FBD$ 全等. 理由如下：
$\because \quad AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore \quad BD=CD.$
$\because \quad CE// BF,$
$\therefore \quad ∠ DCE=∠ DBF.$
在$△ ECD$ 和$△ FBD$ 中,
$\begin{cases}∠ DCE=∠ DBF, \\CD=BD, \\∠ CDE=∠ BDF,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ECD ≌ △ FBD(\mathrm{ASA}).$
(2)$△ AEC$ 的面积为6.
$\because \quad AD$ 是$△ ABC$ 的中线,
$\therefore \quad BD=CD.$
$\because \quad CE// BF,$
$\therefore \quad ∠ DCE=∠ DBF.$
在$△ ECD$ 和$△ FBD$ 中,
$\begin{cases}∠ DCE=∠ DBF, \\CD=BD, \\∠ CDE=∠ BDF,\end{cases}$
$\therefore \quad △ ECD ≌ △ FBD(\mathrm{ASA}).$
(2)$△ AEC$ 的面积为6.
解析
【分析】
(1) 要判断△ECD与△FBD是否全等，先梳理已知条件：首先AD是△ABC的中线，可得BD=CD；CE//BF，根据平行线的性质可得内错角∠DCE=∠DBF；再结合对顶角∠CDE=∠BDF，恰好满足角边角（ASA）的全等判定条件，因此可证明两个三角形全等。
(2) 求△AEC的面积时，先由全等三角形的性质可得DE=DF=2，且△ECD与△FBD面积相等为3；△AEC和△ECD以AE、ED为底时共享同一条高，同高三角形的面积比等于对应底的比，先计算AE的长度，再根据面积比即可求出△AEC的面积。
【解析】
(1) △ECD与△FBD全等，理由如下：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
∵ CE//BF，
∴ ∠DCE=∠DBF（两直线平行，内错角相等）。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF, \\CD=BD, \\∠CDE=∠BDF（对顶角相等）,\end{cases}$
∴ △ECD ≌ △FBD（ASA）。
(2) 由(1)的全等结论可得：DE=DF=2，$S_{△ ECD}=S_{△ BDF}=3$。
∵ AD=6，
∴ AE=AD-DE=6-2=4。
△AEC和△ECD以AE、DE为底时，过点C作AD边上的高为公共高，因此两个三角形的面积比等于底的比，即：
$S_{△ AEC}:S_{△ ECD}=AE:DE=4:2=2:1$
∴ $S_{△ AEC}=2× S_{△ ECD}=2×3=6$。
【答案】
(1) △ECD与△FBD全等，理由见解析；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
全等三角形的ASA判定、全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是三角形的基础综合题，将平行线性质、三角形中线定义、全等三角形的判定与性质、同高三角形面积的规律结合考查，解题的核心是先证明三角形全等，再利用全等的性质推导边与面积的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断△ECD与△FBD是否全等，先梳理已知条件：首先AD是△ABC的中线，可得BD=CD；CE//BF，根据平行线的性质可得内错角∠DCE=∠DBF；再结合对顶角∠CDE=∠BDF，恰好满足角边角（ASA）的全等判定条件，因此可证明两个三角形全等。
(2) 求△AEC的面积时，先由全等三角形的性质可得DE=DF=2，且△ECD与△FBD面积相等为3；△AEC和△ECD以AE、ED为底时共享同一条高，同高三角形的面积比等于对应底的比，先计算AE的长度，再根据面积比即可求出△AEC的面积。
【解析】
(1) △ECD与△FBD全等，理由如下：
∵ AD是△ABC的中线，
∴ BD=CD。
∵ CE//BF，
∴ ∠DCE=∠DBF（两直线平行，内错角相等）。
在△ECD和△FBD中，
$\begin{cases}∠DCE=∠DBF, \\CD=BD, \\∠CDE=∠BDF（对顶角相等）,\end{cases}$
∴ △ECD ≌ △FBD（ASA）。
(2) 由(1)的全等结论可得：DE=DF=2，$S_{△ ECD}=S_{△ BDF}=3$。
∵ AD=6，
∴ AE=AD-DE=6-2=4。
△AEC和△ECD以AE、DE为底时，过点C作AD边上的高为公共高，因此两个三角形的面积比等于底的比，即：
$S_{△ AEC}:S_{△ ECD}=AE:DE=4:2=2:1$
∴ $S_{△ AEC}=2× S_{△ ECD}=2×3=6$。
【答案】
(1) △ECD与△FBD全等，理由见解析；(2) $\boxed{6}$
【知识点】
全等三角形的ASA判定、全等三角形的性质、三角形面积计算
【点评】
本题是三角形的基础综合题，将平行线性质、三角形中线定义、全等三角形的判定与性质、同高三角形面积的规律结合考查，解题的核心是先证明三角形全等，再利用全等的性质推导边与面积的关系。
【难度系数】
0.7
