1. 在证明含$30°$角的直角三角形的性质时，有的同学采用了下面的做法(请你补全解题过程)：
如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ BAC=30°$，延长$BC$到点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$.
$\because \quad ∠ ACB=90°, ∠ BAC=30°,$
$\therefore \quad ∠ B=\_\_\_\_\_\_°.$
$\because \quad BD=AB,$
$\therefore \quad △ ABD是\_\_\_\_\_\_三角形.$
$\because \quad ∠ ACB=90°,$
$\therefore \quad AC\_\_\_\_\_\_BD.$
$\therefore \quad AC是BD边上的\_\_\_\_\_\_.$
$\therefore \quad BC=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\_\_\_\_\_\_.$

1. 依次填入：60、等边、⊥、中线、AB

【分析】
解题时我们可以按照推导逻辑逐步思考：第一步先利用直角三角形两个锐角互余的性质，计算∠B的度数；第二步已知BD=AB，结合刚求出的∠B=60°，依据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判断△ABD的形状；第三步根据∠ACB=90°判断AC和BD的位置关系，再结合等边三角形三线合一的性质，明确AC的身份，最后根据中线的性质和BD=AB的等量关系，推导出BC和AB的数量关系。
【解析】
1. 计算∠B的度数：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，直角三角形两锐角互余，因此$∠ B=90°-∠ BAC=90°-30°=60°$，第一空填60。
2. 判断△ABD的形状：已知$BD=AB$，即△ABD是等腰三角形，又因为$∠ B=60°$，所以△ABD是等边三角形，第二空填等边。
3. 判断AC与BD的位置关系：因为$∠ ACB=90°$，所以$AC⊥ BD$，第三空填⊥。
4. 明确AC的身份：等边三角形具有三线合一的性质，AC垂直于BD，因此AC是BD边上的中线，第四空填中线。
5. 推导边的关系：根据中线的性质，$BC=\frac{1}{2}BD$，又因为$BD=AB$，因此$BC=\frac{1}{2}AB$，第五空填AB。
【答案】
依次填入：60、等边、⊥、中线、AB
【知识点】
直角三角形性质；等边三角形判定；三线合一
【点评】
本题是含30°角的直角三角形性质的推导过程，考察了基础几何图形的性质与判定，通过构造辅助线得到等边三角形的思路，能帮助我们理解该性质的来源，夯实几何定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.8

2. 在证明含$30°$角的直角三角形的性质时,还有同学的做法是:如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=30°$,在$AB$上截取$BD=BC$,连接$CD$. 请你完成证明过程.

2.$\because \quad ∠ACB=90°,∠A=30°,$
$\therefore \quad ∠B=90°-30°=60°.$
$\because \quad BD=BC,$
$\therefore \quad △BCD$是等边三角形.
$\therefore \quad BC=CD=BD,∠CDB=60°.$
$\because \quad ∠CDB=∠A+∠ACD,$
$\therefore \quad ∠ACD=60°-30°=30°.$
$\therefore \quad ∠ACD=∠A.$
$\therefore \quad AD=CD.$
$\therefore \quad AD=BD=BC.$
$\therefore \quad BC=\frac{1}{2}AB.$

【分析】
要证明含30°角的直角三角形的性质，我们可按如下思路推导：首先利用直角三角形两锐角互余，计算出∠B的度数；再结合BD=BC的条件，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，判定△BCD是等边三角形，得到BC=CD=BD、∠CDB=60°的结论；接着利用三角形外角的性质求出∠ACD的度数，可发现∠ACD=∠A，根据等角对等边得到AD=CD；最后通过等量代换，将AB拆分为AD+BD，即可推导出BC与AB的数量关系。
【解析】
$\because \quad ∠ACB=90°,∠A=30°,$
$\therefore \quad ∠B=90°-30°=60°.$
$\because \quad BD=BC,$
$\therefore \quad △BCD$是等边三角形.
$\therefore \quad BC=CD=BD,∠CDB=60°.$
$\because \quad ∠CDB=∠A+∠ACD,$
$\therefore \quad ∠ACD=60°-30°=30°.$
$\therefore \quad ∠ACD=∠A.$
$\therefore \quad AD=CD.$
$\therefore \quad AD=BD=BC.$
$\therefore \quad BC=\frac{1}{2}AB.$
【答案】
在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半，即$\boldsymbol{BC=\frac{1}{2}AB}$
【知识点】
直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题通过构造等腰三角形推导含30°角的直角三角形的性质，将陌生的证明问题转化为熟悉的等边三角形、等腰三角形性质的应用，逻辑清晰，体现了几何证明中的转化思想，能加深对该性质推导过程的理解。
【难度系数】
0.7

1. 如图，在等边三角形ABC中，D是边AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F。已知AB=8，则BF的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

1. C

【分析】
首先可利用等边三角形的性质得到各边长度和各内角的度数，再结合D是AB中点求出AD的长度；接下来在两个含30°角的直角三角形中，分别运用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”依次求出AE、FC的长度，最后通过线段和差关系计算BF的长度即可。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=8，
∴AB=BC=AC=8，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=4$，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=2$，
∴$EC=AC-AE=8-2=6$，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
∴∠CEF=90°-∠C=30°，
∴$FC=\frac{1}{2}EC=3$，
∴$BF=BC-FC=8-3=5$。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的特征和含30°角直角三角形的边角关系，通过逐步推导相关线段的长度得到最终结果，是常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

2. 如图是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离$h=6.5\ \mathrm{m}$,自动扶梯的倾角为$30°$.若自动扶梯运行的速度为$0.5\ \mathrm{m/s}$,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为 s.

2. 26

【分析】
要计算顾客乘自动扶梯上一层楼的时间，首先回忆时间计算公式：$t=\frac{s}{v}$，已知扶梯运行速度$v$，因此需要先求出顾客运动的路程，也就是自动扶梯的长度。观察图形可知，自动扶梯、水平地面、两层高度线构成直角三角形，其中$30°$角所对的直角边为两层高度$h$，根据含$30°$角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出扶梯长度，最后代入速度公式就能得到时间。
【解析】
解：在直角三角形中，$30°$角所对的直角边等于斜边的一半。
本题中$30°$角所对的直角边为两层高度$h=6.5\ \mathrm{m}$，斜边为自动扶梯的长度$s$，因此：
$s=2h=2×6.5\ \mathrm{m}=13\ \mathrm{m}$
根据速度公式$v=\frac{s}{t}$，可得乘扶梯的时间：
$t=\frac{s}{v}=\frac{13\ \mathrm{m}}{0.5\ \mathrm{m/s}}=26\ \mathrm{s}$
【答案】
26
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；速度公式应用
【点评】
本题结合生活中的自动扶梯场景考查知识点的实际应用，解题核心是先利用直角三角形的性质求出扶梯长度，再结合速度公式计算时间，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8