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知识梳理
知识点 含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的
易错提示
这个性质是用角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角边与斜边的数量关系.利用此性质必须满足两个条件:一是在直角三角形中;二是有一个锐角为$30°$,二者缺一不可.该性质是含有$30°$角的特殊直角三角形的性质,一般的直角三角形没有这个性质,更不能应用.
知识点 含$30°$角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的
一半
.易错提示
这个性质是用角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角边与斜边的数量关系.利用此性质必须满足两个条件:一是在直角三角形中;二是有一个锐角为$30°$,二者缺一不可.该性质是含有$30°$角的特殊直角三角形的性质,一般的直角三角形没有这个性质,更不能应用.
答案
一半
解析
【分析】
本题考查含30°角的直角三角形的核心性质，解题时首先明确题目考查的是该性质的基础表述，回忆性质的具体内容即可直接对应填空，无需复杂推导。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质规定：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此空缺处应填“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，要注意牢记该性质的两个适用前提：一是必须在直角三角形中，二是存在30°的锐角，二者缺一不可，不能随意套用在普通三角形中。
【难度系数】
0.9
本题考查含30°角的直角三角形的核心性质，解题时首先明确题目考查的是该性质的基础表述，回忆性质的具体内容即可直接对应填空，无需复杂推导。
【解析】
根据含30°角的直角三角形的性质规定：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，因此空缺处应填“一半”。
【答案】
一半
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，要注意牢记该性质的两个适用前提：一是必须在直角三角形中，二是存在30°的锐角，二者缺一不可，不能随意套用在普通三角形中。
【难度系数】
0.9
例 如图，E是$∠ AOB$的平分线上的一点，$EC ⊥ OB$，$ED ⊥ OA$，垂足分别为$C$，$D$，连接$CD$交$OE$于点$F$，且$∠ AOB=60°$.
(1)求证$△ OCD$是等边三角形；
(2)若$DF=m$，$EF=n$时，直接写出$△ CED$的周长(用含$m,n$的式子表示).
分析:(1)由角的平分线的性质定理可得$DE=CE$，再证明$\mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE$得出$OC=OD$，结合$∠ AOB=60°$即可得证.
(2)由等边三角形的性质可得$OE ⊥ DC$，$DF=CF$，从而得出$DC=2DF=2m$，$∠ EFC=90°$.由$∠ OCE = 90°$，$∠ OCD = 60°$，求出$∠ ECF=30°$，结合直角三角形的性质可得$DE=CE=2EF=2n$，即可得解.
(1)证明:$\because$ OE平分$∠ AOB$，$EC ⊥ OB$，$ED ⊥ OA$，
$\therefore CE=DE$，$∠ ECO=∠ EDO=90°$.
$\because OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OC=OD$.
$\because ∠ AOB=60°$，
$\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2)$△ CED$的周长为$2m+4n$.
方法点拨 根据等边三角形的判定方法，并灵活运用题中已知条件是解此题的关键.此外，本题涉及角的平分线的性质定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解决问题的前提条件.
(1)求证$△ OCD$是等边三角形；
(2)若$DF=m$，$EF=n$时，直接写出$△ CED$的周长(用含$m,n$的式子表示).
分析:(1)由角的平分线的性质定理可得$DE=CE$，再证明$\mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE$得出$OC=OD$，结合$∠ AOB=60°$即可得证.
(2)由等边三角形的性质可得$OE ⊥ DC$，$DF=CF$，从而得出$DC=2DF=2m$，$∠ EFC=90°$.由$∠ OCE = 90°$，$∠ OCD = 60°$，求出$∠ ECF=30°$，结合直角三角形的性质可得$DE=CE=2EF=2n$，即可得解.
(1)证明:$\because$ OE平分$∠ AOB$，$EC ⊥ OB$，$ED ⊥ OA$，
$\therefore CE=DE$，$∠ ECO=∠ EDO=90°$.
$\because OE=OE$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ OCE ≌ \mathrm{Rt}△ ODE(\mathrm{HL})$.
$\therefore OC=OD$.
$\because ∠ AOB=60°$，
$\therefore △ OCD$是等边三角形.
(2)$△ CED$的周长为$2m+4n$.
方法点拨 根据等边三角形的判定方法，并灵活运用题中已知条件是解此题的关键.此外，本题涉及角的平分线的性质定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握这些知识是解决问题的前提条件.
答案
证明：(1)
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴ CE=DE，∠ECO=∠EDO=90°。
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
$\begin{cases} OE=OE \\ CE=DE \end{cases}$
∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE(HL)。
∴ OC=OD。
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OCD是等边三角形。
(2)
∵ △OCD是等边三角形，OE平分∠COD，
∴ OE⊥CD，DF=CF=m，
∴ CD=2m。
∵ ∠ECF=∠ECO - ∠OCD = 90° - 60° = 30°，∠EFC=90°，
∴ 在Rt△ECF中，CE=2EF=2n。
又∵ CE=DE，
∴ DE=2n。
∴ △CED的周长为$DE+CE+CD=2n+2n+2m=2m+4n$。
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴ CE=DE，∠ECO=∠EDO=90°。
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
$\begin{cases} OE=OE \\ CE=DE \end{cases}$
∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE(HL)。
∴ OC=OD。
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OCD是等边三角形。
(2)
∵ △OCD是等边三角形，OE平分∠COD，
∴ OE⊥CD，DF=CF=m，
∴ CD=2m。
∵ ∠ECF=∠ECO - ∠OCD = 90° - 60° = 30°，∠EFC=90°，
∴ 在Rt△ECF中，CE=2EF=2n。
又∵ CE=DE，
∴ DE=2n。
∴ △CED的周长为$DE+CE+CD=2n+2n+2m=2m+4n$。
解析
【分析】
(1) 要证明△OCD是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定推导：首先已知∠AOB=60°，只需证OC=OD即可。根据角平分线的性质，E在∠AOB平分线上且ED⊥OA、EC⊥OB，可得DE=CE；再通过HL证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，即可得到OC=OD，结合∠AOB=60°就能证得结论。
(2) 求△CED的周长即求DE+CE+CD的和：首先由(1)得△OCD是等边三角形，结合OE是角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可得OE垂直平分CD，因此CD=2DF=2m；再推导∠ECF=90°-60°=30°，在Rt△EFC中，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE=2EF=2n，又由角平分线性质得DE=CE=2n，将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴ CE=DE，∠ECO=∠EDO=90°。
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
$\begin{cases} OE=OE \\ CE=DE \end{cases}$
∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE(HL)。
∴ OC=OD。
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) 解：
∵ △OCD是等边三角形，OE平分∠COD，
∴ OE⊥CD，DF=CF=m，
∴ CD=DF+CF=2m。
∵ ∠ECF=∠ECO - ∠OCD = 90° - 60° = 30°，且∠EFC=90°，
∴ 在Rt△ECF中，CE=2EF=2n。
又由角平分线的性质可知CE=DE，
∴ DE=2n。
∴ △CED的周长为DE+CE+CD=2n+2n+2m=2m+4n。
【答案】
(1) △OCD为等边三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{2m+4n}$
【知识点】
角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，围绕角平分线、三角形全等、特殊三角形的性质展开考察，解题时需按照逻辑逐步转化已知条件，尤其要注意等边三角形三线合一、30°直角三角形边角关系的灵活应用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△OCD是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定推导：首先已知∠AOB=60°，只需证OC=OD即可。根据角平分线的性质，E在∠AOB平分线上且ED⊥OA、EC⊥OB，可得DE=CE；再通过HL证明Rt△OCE和Rt△ODE全等，即可得到OC=OD，结合∠AOB=60°就能证得结论。
(2) 求△CED的周长即求DE+CE+CD的和：首先由(1)得△OCD是等边三角形，结合OE是角平分线，根据等边三角形三线合一的性质，可得OE垂直平分CD，因此CD=2DF=2m；再推导∠ECF=90°-60°=30°，在Rt△EFC中，根据含30°角的直角三角形的性质可得CE=2EF=2n，又由角平分线性质得DE=CE=2n，将三边相加即可得到周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ OE平分∠AOB，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴ CE=DE，∠ECO=∠EDO=90°。
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
$\begin{cases} OE=OE \\ CE=DE \end{cases}$
∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE(HL)。
∴ OC=OD。
又
∵ ∠AOB=60°，
∴ △OCD是等边三角形。
(2) 解：
∵ △OCD是等边三角形，OE平分∠COD，
∴ OE⊥CD，DF=CF=m，
∴ CD=DF+CF=2m。
∵ ∠ECF=∠ECO - ∠OCD = 90° - 60° = 30°，且∠EFC=90°，
∴ 在Rt△ECF中，CE=2EF=2n。
又由角平分线的性质可知CE=DE，
∴ DE=2n。
∴ △CED的周长为DE+CE+CD=2n+2n+2m=2m+4n。
【答案】
(1) △OCD为等边三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{2m+4n}$
【知识点】
角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，围绕角平分线、三角形全等、特殊三角形的性质展开考察，解题时需按照逻辑逐步转化已知条件，尤其要注意等边三角形三线合一、30°直角三角形边角关系的灵活应用，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
