3. 如图，$∠ BAC=30°$，$AM$是$∠ BAC$的平分线，过点$M$作$ME// BA$交$AC$于点$E$，作$MD⊥ BA$，垂足为$D$，$ME=10\ \mathrm{cm}$，则$MD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

3. 5

【分析】
解题思路：首先结合角平分线性质和平行线性质推导边角关系，再利用含30°角的直角三角形的性质求解。步骤：1. 过M作AC的垂线，根据角平分线性质可知M到AB的距离MD等于M到AC的距离；2. 由ME平行AB可得同位角相等，得到30°角；3. 在含30°角的直角三角形中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出M到AC的距离，即可得到MD的长度。
【解析】
过点M作$MF⊥ AC$，垂足为F。
1. 因为AM是$∠ BAC$的平分线，$MD⊥ AB$，$MF⊥ AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$MD=MF$。
2. 因为$ME// BA$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ FEM=∠ BAC=30°$。
3. 在$Rt△ MEF$中，$∠ MFE=90°$，$∠ FEM=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$MF=\frac{1}{2}ME=\frac{1}{2}×10\mathrm{cm}=5\mathrm{cm}$。
4. 结合$MD=MF$，可得$MD=5\mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是合理作辅助线，通过角平分线的性质将所求线段转化为特殊直角三角形的直角边，结合已知条件即可快速求解。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在$△ ABC$中,已知$BA=BC$,$∠ B=120°$,AB的垂直平分线DE交AC于点D.若DC=6 cm,则AD= cm.

4. 3

【分析】
解题时先利用等腰三角形的性质计算出△ABC的底角度数，再通过作辅助线连接BD，结合线段垂直平分线的性质得到AD与BD的等量关系，进而推导出△DBC是直角三角形，最后利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，即可得到AD的长度。
【解析】
连接BD，
∵ $BA=BC$，$∠ ABC=120°$，
∴ $∠ A=∠ C=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-120°}{2}=30°$，
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ $AD=BD$，
∴ $∠ ABD=∠ A=30°$，
∴ $∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=120°-30°=90°$，即$△ DBC$为直角三角形，
在$Rt△ DBC$中，$∠ C=30°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ $BD=\frac{1}{2}DC$，
∵ $DC=6\mathrm{cm}$，
∴ $BD=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，
又
∵ $AD=BD$，
∴ $AD=3\mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是正确连接辅助线BD，构造特殊直角三角形，结合相关性质找到线段之间的等量关系即可求解。
【难度系数】
0.7

5. 如图,一风力发电装置竖立在小山坡顶上,小山坡的高$BD = 30$ m. 测得$∠DCA = 60°$, $∠DCB=30°$,求风力发电装置的高$AB$.

5. 由题意,知 A,B,D 三点在同一条直线上.
$\because \quad ∠CDB=90°,BD=30\ \mathrm{m},∠DCB=30°,$
$\therefore \quad BC=2BD=2×30=60(\mathrm{m}).$
$\because \quad ∠DCA=60°,$
$\therefore \quad ∠ACB = ∠DCA - ∠DCB = 60° - 30° = 30°,∠CAD=90°-∠DCA=90°-60°=30°.$
$\therefore \quad ∠ACB=∠CAD.$
$\therefore \quad AB=BC=60\ \mathrm{m}.$
答:风力发电装置的高 AB 为 60 m.

【分析】
解题时首先观察图形可知AD⊥CD，A、B、D三点共线，解题思路分为两步：第一步，先在Rt△BCD中，利用“含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出斜边BC的长度；第二步，通过已知的两个角度计算出∠ACB和∠CAB的度数，发现二者相等，再利用“等角对等边”即可推出AB与BC相等，从而得到AB的长度。
【解析】
由题意可知A、B、D三点在同一条直线上，且AD⊥CD，即∠CDB=∠CDA=90°。
在Rt△BCD中，∠DCB=30°，BD=30m，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=2BD=2×30=60(\mathrm{m})$
已知∠DCA=60°，因此：
$∠ACB = ∠DCA - ∠DCB = 60°-30°=30°$
在Rt△ACD中，直角三角形两锐角互余，因此：
$∠CAD=90°-∠DCA=90°-60°=30°$
由此可得$∠ACB=∠CAD$，根据等角对等边，可得$AB=BC=60\ \mathrm{m}$。
【答案】
风力发电装置的高AB为$\boxed{60\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余；等腰三角形的判定
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的性质，同时能通过角度运算得到相等的角，进而推导出对应边相等，整体解题逻辑清晰，侧重对基础性质的应用。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$△ ABC$是直角三角形，其中$∠ ACB = 90°$，$∠ BAC = 30°$，$AB = 10\ \mathrm{cm}$，$CB_1 ⊥ AB$，$B_1C_1 ⊥ AC$，垂足分别为$B_1$，$C_1$，那么$B_1C_1$的长是多少？

6. 在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中, $∠ACB = 90°,∠BAC = 30°,AB=10\ \mathrm{cm},$
$\therefore \quad ∠B=60°,BC=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}.$
$\because \quad CB_1 ⊥ AB,$
$\therefore \quad ∠CB_1B=90°.$
$\therefore \quad ∠B+∠BCB_1=90°.$
$\therefore \quad ∠BCB_1=90°-∠B=90°-60°=30°.$
$\therefore \quad BB_1=\frac{1}{2}BC=2.5\ \mathrm{cm}.$
$\therefore \quad AB_1=AB-BB_1=10-2.5=7.5(\mathrm{cm}).$
$\because \quad B_1C_1 ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠AC_1B_1=90°.$
$\because \quad ∠BAC=30°,$
即$∠B_1AC_1=30°,$
$\therefore \quad B_1C_1=\frac{1}{2}AB_1=\frac{1}{2}×7.5=3.75(\mathrm{cm}).$
答:$B_1C_1$ 的长是 3.75 cm.

【分析】
本题可利用含30°角的直角三角形的性质逐步推导求解：首先在Rt△ABC中，根据30°角所对直角边是斜边的一半求出BC的长度；再在Rt△BCB₁中，结合直角三角形两锐角互余求出∠BCB₁=30°，进而求出BB₁的长度，得到AB₁的长度；最后在Rt△AB₁C₁中，再次利用含30°角的直角三角形的性质即可求出B₁C₁的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ BAC = 30°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，
$\therefore ∠ B=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$。
$\because CB_1 ⊥ AB$，$\therefore ∠ CB_1B=90°$，
$\therefore ∠ B+∠ BCB_1=90°$，
$\therefore ∠ BCB_1=90°-∠ B=90°-60°=30°$，
$\therefore BB_1=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×5=2.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AB_1=AB-BB_1=10-2.5=7.5\ \mathrm{cm}$。
$\because B_1C_1 ⊥ AC$，$\therefore ∠ AC_1B_1=90°$，
又$\because ∠ B_1AC_1=∠ BAC=30°$，
$\therefore B_1C_1=\frac{1}{2}AB_1=\frac{1}{2}×7.5=3.75\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boxed{3.75\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是含30°角的直角三角形性质的典型应用，解题时需理清图中各个直角三角形的边角关系，逐步推导所求线段的长度，注意不要混淆30°角对应的直角边和斜边即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF//AB交BC于点F.
(1)求证△EFC是等边三角形;
(2)若AE=2 cm,求△EFC的周长.

7. (1)$\because \quad △ABC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad ∠A=∠B=∠C=60°.$
$\because \quad EF// AB,$
$\therefore \quad ∠EFC=∠B=60°,∠FEC=∠A=60°.$
$\therefore \quad ∠EFC=∠FEC.$
$\therefore \quad EC=FC.$
$\therefore \quad △EFC$ 是等边三角形.
(2)$\because \quad △ABC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad AC=AB=BC,∠A=60°.$
$\because \quad DE ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠AED=90°.$
$\therefore \quad ∠ADE=90°-∠A=30°.$
$\therefore \quad AD=2AE=4\ \mathrm{cm}.$
$\because \quad D$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore \quad AB=2AD=8\ \mathrm{cm}.$
$\therefore \quad AC=AB=8\ \mathrm{cm}.$
$\therefore \quad CE=AC-AE=6\ \mathrm{cm}.$
$\because \quad △EFC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad △EFC$ 的周长 $=3×6=18(\mathrm{cm}).$
答:$△EFC$ 的周长为 18 cm.

【分析】
(1) 要证明△EFC是等边三角形，可先利用等边三角形的性质得到△ABC的三个内角均为60°，再结合EF//AB的条件，通过平行线的同位角相等推导△EFC的内角度数，即可根据等边三角形的判定完成证明。
(2) 求△EFC的周长需先求出其边长。首先在Rt△ADE中，利用含30°角的直角三角形的边长关系求出AD的长度，再结合D是AB中点求出等边△ABC的边长，进而得到CE的长度，最后根据等边三角形周长公式计算即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because \quad △ABC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad ∠A=∠B=∠C=60°.$
$\because \quad EF// AB,$
$\therefore \quad ∠EFC=∠B=60°,∠FEC=∠A=60°,$
$\therefore \quad ∠EFC=∠FEC=∠C=60°,$
$\therefore \quad △EFC$ 是等边三角形。
(2) 解：
$\because \quad △ABC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad AC=AB=BC,∠A=60°.$
$\because \quad DE ⊥ AC,$
$\therefore \quad ∠AED=90°,$
$\therefore \quad ∠ADE=90°-∠A=30°,$
$\therefore \quad AD=2AE=2×2=4\ \mathrm{cm}.$
$\because \quad D$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore \quad AB=2AD=8\ \mathrm{cm},$
$\therefore \quad AC=AB=8\ \mathrm{cm},$
$\therefore \quad CE=AC-AE=8-2=6\ \mathrm{cm}.$
$\because \quad △EFC$ 是等边三角形,
$\therefore \quad △EFC$ 的周长 $=3×CE=3×6=18(\mathrm{cm}).$
【答案】
(1) △EFC是等边三角形，得证；
(2) △EFC的周长为18 cm。
【知识点】
等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是熟练利用平行线转化角的关系，结合含30°角的直角三角形、等边三角形的边长性质推导未知边长，整体思路清晰，对基础性质的掌握要求较高。
【难度系数】
0.7