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6. (1)若$10^{2y}=25$，则$10^{-y}=$。
(2)若$x+x^{-1}=2$，则$x^2+x^{-2}=$。
(2)若$x+x^{-1}=2$，则$x^2+x^{-2}=$。
答案
6. (1) $\dfrac{1}{5}$
(2) 2
(2) 2
解析
【分析】
(1) 首先观察已知条件$10^{2y}=25$，可逆用幂的乘方公式把$10^{2y}$变形为$(10^y)^2$，先求出$10^y$的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算$10^{-y}$，注意10的任意次幂都是正数，因此只需取正根即可。
(2) 已知$x+x^{-1}=2$，所求式子$x^2+x^{-2}$是$x$和$x^{-1}$的平方和，可联想到完全平方公式，将已知等式左右两边同时平方，展开后整理即可求出目标式的值，计算时注意$x· x^{-1}=1$的化简。
【解析】
(1) 解：$\because 10^{2y}=(10^y)^2=25$，
又$\because 10^y＞0$，
$\therefore 10^y=\sqrt{25}=5$，
根据负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
$\therefore 10^{-y}=\frac{1}{10^y}=\frac{1}{5}$。
(2) 解：将$x+x^{-1}=2$两边同时平方，得：
$(x+x^{-1})^2=2^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x· x^{-1} + (x^{-1})^2 =4$，
化简得：$x^2 + 2 + x^{-2}=4$，
移项得：$x^2 + x^{-2}=4-2=2$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$；(2) $2$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方运算、完全平方公式
【点评】
本题是负指数幂相关的基础运算题，解题核心是熟练掌握幂的运算公式和完全平方公式，能根据已知式子和目标式子的结构特征灵活变形，计算时注意幂的符号取值即可。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察已知条件$10^{2y}=25$，可逆用幂的乘方公式把$10^{2y}$变形为$(10^y)^2$，先求出$10^y$的值，再根据负整数指数幂的运算法则计算$10^{-y}$，注意10的任意次幂都是正数，因此只需取正根即可。
(2) 已知$x+x^{-1}=2$，所求式子$x^2+x^{-2}$是$x$和$x^{-1}$的平方和，可联想到完全平方公式，将已知等式左右两边同时平方，展开后整理即可求出目标式的值，计算时注意$x· x^{-1}=1$的化简。
【解析】
(1) 解：$\because 10^{2y}=(10^y)^2=25$，
又$\because 10^y＞0$，
$\therefore 10^y=\sqrt{25}=5$，
根据负整数指数幂法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$是正整数），
$\therefore 10^{-y}=\frac{1}{10^y}=\frac{1}{5}$。
(2) 解：将$x+x^{-1}=2$两边同时平方，得：
$(x+x^{-1})^2=2^2$，
根据完全平方公式展开左边：$x^2 + 2· x· x^{-1} + (x^{-1})^2 =4$，
化简得：$x^2 + 2 + x^{-2}=4$，
移项得：$x^2 + x^{-2}=4-2=2$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{5}$；(2) $2$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方运算、完全平方公式
【点评】
本题是负指数幂相关的基础运算题，解题核心是熟练掌握幂的运算公式和完全平方公式，能根据已知式子和目标式子的结构特征灵活变形，计算时注意幂的符号取值即可。
【难度系数】
0.8
7.若$(x-3)^0 - 2(2x-4)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是（
A.$x≠3$
B.$x≠2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
D
）A.$x≠3$
B.$x≠2$
C.$x≠3$或$x≠2$
D.$x≠3$且$x≠2$
答案
7. D
解析
【分析】
要确定式子有意义时x的取值范围，需分别分析式子中两个特殊幂运算的成立条件：①零指数幂运算中，底数不能为0，否则无意义；②负整数指数幂本质是正整数指数幂的倒数，因此底数也不能为0，否则分母为0无意义。分别根据两个运算的限制条件列不等式求解，两个条件需同时满足，最终合并取值范围即可。
【解析】
根据零指数幂、负整数指数幂的有意义条件分析：
1. 对于$(x-3)^0$有意义，需满足底数不为0，即：
$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于$2(2x-4)^{-1}$有意义，需满足底数不为0，即：
$2x-4≠0$，解得$x≠2$。
因为式子中的两个部分都要有意义，因此两个条件需同时满足，即$x$的取值范围是$x≠3$且$x≠2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂的意义
2. 负整数指数幂的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两处：一是遗漏其中某一个幂运算的底数限制条件，二是误将两个条件的“且”关系判断为“或”关系，解题时需注意只要式子中某一部分无意义，整个式子就无意义，因此所有限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.8
要确定式子有意义时x的取值范围，需分别分析式子中两个特殊幂运算的成立条件：①零指数幂运算中，底数不能为0，否则无意义；②负整数指数幂本质是正整数指数幂的倒数，因此底数也不能为0，否则分母为0无意义。分别根据两个运算的限制条件列不等式求解，两个条件需同时满足，最终合并取值范围即可。
【解析】
根据零指数幂、负整数指数幂的有意义条件分析：
1. 对于$(x-3)^0$有意义，需满足底数不为0，即：
$x-3≠0$，解得$x≠3$；
2. 对于$2(2x-4)^{-1}$有意义，需满足底数不为0，即：
$2x-4≠0$，解得$x≠2$。
因为式子中的两个部分都要有意义，因此两个条件需同时满足，即$x$的取值范围是$x≠3$且$x≠2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 零指数幂的意义
2. 负整数指数幂的意义
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点有两处：一是遗漏其中某一个幂运算的底数限制条件，二是误将两个条件的“且”关系判断为“或”关系，解题时需注意只要式子中某一部分无意义，整个式子就无意义，因此所有限制条件要同时满足。
【难度系数】
0.8
8. 王老师给小青出了一道数学题:比较$2^{-333}$，$3^{-222}$，$5^{-111}$的大小. 小青想了半天都想不出答案. 你能帮助小青解答吗? 尝试给出答案,并说明理由.
答案
8. $5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$.
理由:$\because 2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\dfrac{1}{8})^{111}$,
$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\dfrac{1}{9})^{111}$,
$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\dfrac{1}{5})^{111}$,
$\dfrac{1}{5}＞\dfrac{1}{8}＞\dfrac{1}{9}$,
$\therefore 5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$.
理由:$\because 2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\dfrac{1}{8})^{111}$,
$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\dfrac{1}{9})^{111}$,
$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\dfrac{1}{5})^{111}$,
$\dfrac{1}{5}＞\dfrac{1}{8}＞\dfrac{1}{9}$,
$\therefore 5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$.
解析
【分析】
观察要比较的三个幂的指数：-333、-222、-111，均为-111的整数倍，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个幂的指数统一为相同的111，再结合负整数指数幂的运算法则，将三个数转化为底数为正分数、指数为111的幂。由于指数为正整数时，正数的幂随底数增大而增大，因此只需要比较转化后三个底数的大小，即可得到原数的大小关系。
【解析】
先对三个数分别变形：
$\because 2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\dfrac{1}{8})^{111}$，
$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\dfrac{1}{9})^{111}$，
$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\dfrac{1}{5})^{111}$，
又$\because$ 正数的正整数次幂，底数越大幂的值越大，且$\dfrac{1}{5}＞\dfrac{1}{8}＞\dfrac{1}{9}$，
$\therefore (\dfrac{1}{5})^{111}＞(\dfrac{1}{8})^{111}＞(\dfrac{1}{9})^{111}$，
即$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$。
【答案】
$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$
【知识点】
负整数指数幂运算；幂的乘方逆运算；同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算类典型题型，核心解题思路是将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小判断幂的大小，解题过程中需要熟练掌握幂的相关运算法则，体会转化思想在幂的大小比较中的应用。
【难度系数】
0.7
观察要比较的三个幂的指数：-333、-222、-111，均为-111的整数倍，因此可以利用幂的乘方的逆运算，将三个幂的指数统一为相同的111，再结合负整数指数幂的运算法则，将三个数转化为底数为正分数、指数为111的幂。由于指数为正整数时，正数的幂随底数增大而增大，因此只需要比较转化后三个底数的大小，即可得到原数的大小关系。
【解析】
先对三个数分别变形：
$\because 2^{-333}=(2^{-3})^{111}=(\dfrac{1}{8})^{111}$，
$3^{-222}=(3^{-2})^{111}=(\dfrac{1}{9})^{111}$，
$5^{-111}=(5^{-1})^{111}=(\dfrac{1}{5})^{111}$，
又$\because$ 正数的正整数次幂，底数越大幂的值越大，且$\dfrac{1}{5}＞\dfrac{1}{8}＞\dfrac{1}{9}$，
$\therefore (\dfrac{1}{5})^{111}＞(\dfrac{1}{8})^{111}＞(\dfrac{1}{9})^{111}$，
即$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$。
【答案】
$5^{-111}＞2^{-333}＞3^{-222}$
【知识点】
负整数指数幂运算；幂的乘方逆运算；同指数幂大小比较
【点评】
本题是幂的运算类典型题型，核心解题思路是将不同指数的幂转化为同指数幂，通过比较底数大小判断幂的大小，解题过程中需要熟练掌握幂的相关运算法则，体会转化思想在幂的大小比较中的应用。
【难度系数】
0.7
9. 定义：$a △ b = \dfrac{a}{b} + 2a$，$a \& b = (a^{-1} + b)^{-1}$，计算：
$(2 △ x) \& (2 \& x)$
$(2 △ x) \& (2 \& x)$
答案
9. $\because a △ b = \dfrac{a}{b} + 2a$,$a\&b=(a^{-1}+b)^{-1}$,
$\therefore (2△x)\&(2\&x)$
$=(\dfrac{2}{x}+2×2)\&(2^{-1}+x)^{-1}$
$=(\dfrac{2}{x}+4)\&(\dfrac{1}{2}+x)^{-1}$
$=[(\dfrac{2}{x}+4)^{-1}+(\dfrac{1}{2}+x)^{-1}]^{-1}$
$=[(\dfrac{2+4x}{x})^{-1}+(\dfrac{1+2x}{2})^{-1}]^{-1}$
$=(\dfrac{x}{2+4x}+\dfrac{2}{1+2x})^{-1}$
$=(\dfrac{x}{2+4x}+\dfrac{4}{2+4x})^{-1}$
$=(\dfrac{x+4}{2+4x})^{-1}$
$=\dfrac{2+4x}{x+4}$.
$\therefore (2△x)\&(2\&x)$
$=(\dfrac{2}{x}+2×2)\&(2^{-1}+x)^{-1}$
$=(\dfrac{2}{x}+4)\&(\dfrac{1}{2}+x)^{-1}$
$=[(\dfrac{2}{x}+4)^{-1}+(\dfrac{1}{2}+x)^{-1}]^{-1}$
$=[(\dfrac{2+4x}{x})^{-1}+(\dfrac{1+2x}{2})^{-1}]^{-1}$
$=(\dfrac{x}{2+4x}+\dfrac{2}{1+2x})^{-1}$
$=(\dfrac{x}{2+4x}+\dfrac{4}{2+4x})^{-1}$
$=(\dfrac{x+4}{2+4x})^{-1}$
$=\dfrac{2+4x}{x+4}$.
解析
【分析】
这是新定义运算结合分式、负整数指数幂的计算题，解题思路如下：首先要准确理解两个新运算△和&的计算规则，遵循先算括号内的运算顺序：第一步先根据△的定义算出2△x的结果，第二步根据&的定义算出2&x的结果，第三步把前两步的结果按照&的定义代入计算，计算时要运用负整数指数幂的性质（a⁻¹=1/a，a≠0）将负指数转化为分式，再通过通分化简分式，最后求倒数得到结果。
【解析】
解：$\because a △ b = \dfrac{a}{b} + 2a$，$a\&b=(a^{-1}+b)^{-1}$，
$\therefore (2△x)\&(2\&x)$
$=(\dfrac{2}{x}+2× 2)\& (2^{-1}+x)^{-1}$
$=(\dfrac{2}{x}+4)\& (\dfrac{1}{2}+x)^{-1}$
$=[ (\dfrac{2}{x}+4)^{-1} + (\dfrac{1}{2}+x)^{-1} ]^{-1}$
$=[ (\dfrac{2+4x}{x})^{-1} + (\dfrac{1+2x}{2})^{-1} ]^{-1}$
$=( \dfrac{x}{2+4x} + \dfrac{2}{1+2x} )^{-1}$
$=( \dfrac{x}{2+4x} + \dfrac{4}{2+4x} )^{-1}$
$=( \dfrac{x+4}{2+4x} )^{-1}$
$=\dfrac{2+4x}{x+4}$
【答案】
$\dfrac{2+4x}{x+4}$
【知识点】
新定义运算，负整数指数幂，分式化简
【点评】
本题考查新定义规则的应用和基本代数运算能力，解题关键是严格按照给定的运算规则代入，注意运算顺序，做好负指数和分式的转化，细心通分化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算结合分式、负整数指数幂的计算题，解题思路如下：首先要准确理解两个新运算△和&的计算规则，遵循先算括号内的运算顺序：第一步先根据△的定义算出2△x的结果，第二步根据&的定义算出2&x的结果，第三步把前两步的结果按照&的定义代入计算，计算时要运用负整数指数幂的性质（a⁻¹=1/a，a≠0）将负指数转化为分式，再通过通分化简分式，最后求倒数得到结果。
【解析】
解：$\because a △ b = \dfrac{a}{b} + 2a$，$a\&b=(a^{-1}+b)^{-1}$，
$\therefore (2△x)\&(2\&x)$
$=(\dfrac{2}{x}+2× 2)\& (2^{-1}+x)^{-1}$
$=(\dfrac{2}{x}+4)\& (\dfrac{1}{2}+x)^{-1}$
$=[ (\dfrac{2}{x}+4)^{-1} + (\dfrac{1}{2}+x)^{-1} ]^{-1}$
$=[ (\dfrac{2+4x}{x})^{-1} + (\dfrac{1+2x}{2})^{-1} ]^{-1}$
$=( \dfrac{x}{2+4x} + \dfrac{2}{1+2x} )^{-1}$
$=( \dfrac{x}{2+4x} + \dfrac{4}{2+4x} )^{-1}$
$=( \dfrac{x+4}{2+4x} )^{-1}$
$=\dfrac{2+4x}{x+4}$
【答案】
$\dfrac{2+4x}{x+4}$
【知识点】
新定义运算，负整数指数幂，分式化简
【点评】
本题考查新定义规则的应用和基本代数运算能力，解题关键是严格按照给定的运算规则代入，注意运算顺序，做好负指数和分式的转化，细心通分化简即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
10. 已知$x=3^{-q}, y^{-1}=2^{1-p}, z=4^p 27^{-q}$，试写出用含$x,y$表示$z$的代数式.
答案
10. $z=4y^2x^3$
解析
【分析】
要将z用含x、y的代数式表示，核心是消去z中的字母p、q。解题思路如下：①先处理含p的式子：从y的已知条件出发，利用负整数指数幂和同底数幂的运算性质，推导出2^p用y表示的形式，再将z中的4^p转化为(2^p)²，即可用y表示；②再处理含q的式子：将z中的27^{-q}转化为(3^{-q})³，结合x=3^{-q}，即可用x表示；③最后将两部分代入z的表达式化简即可得到结果。
【解析】
第一步：推导2^p关于y的表达式
已知$y^{-1}=2^{1-p}$，根据负整数指数幂的意义，$y^{-1}=\frac{1}{y}$；根据同底数幂的除法法则，$2^{1-p}=2^1÷2^p=\frac{2}{2^p}$，因此可得：
$\frac{1}{y}=\frac{2}{2^p}$
交叉变形得：$2^p=2y$
第二步：推导$27^{-q}$关于x的表达式
已知$x=3^{-q}$，根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$27^{-q}=(3^3)^{-q}=3^{-3q}=(3^{-q})^3=x^3$
第三步：化简z的表达式
将$4^p$变形为$(2^2)^p=(2^p)^2$，代入z的表达式：
$z=4^p·27^{-q}=(2^p)^2· x^3$
再将$2^p=2y$代入上式：
$z=(2y)^2· x^3=4y^2x^3$
【答案】
$z=4y^2x^3$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是通过对已知式和待求式进行合理变形，实现用x、y代换待求式中的指数式，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要将z用含x、y的代数式表示，核心是消去z中的字母p、q。解题思路如下：①先处理含p的式子：从y的已知条件出发，利用负整数指数幂和同底数幂的运算性质，推导出2^p用y表示的形式，再将z中的4^p转化为(2^p)²，即可用y表示；②再处理含q的式子：将z中的27^{-q}转化为(3^{-q})³，结合x=3^{-q}，即可用x表示；③最后将两部分代入z的表达式化简即可得到结果。
【解析】
第一步：推导2^p关于y的表达式
已知$y^{-1}=2^{1-p}$，根据负整数指数幂的意义，$y^{-1}=\frac{1}{y}$；根据同底数幂的除法法则，$2^{1-p}=2^1÷2^p=\frac{2}{2^p}$，因此可得：
$\frac{1}{y}=\frac{2}{2^p}$
交叉变形得：$2^p=2y$
第二步：推导$27^{-q}$关于x的表达式
已知$x=3^{-q}$，根据幂的乘方法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，可得：
$27^{-q}=(3^3)^{-q}=3^{-3q}=(3^{-q})^3=x^3$
第三步：化简z的表达式
将$4^p$变形为$(2^2)^p=(2^p)^2$，代入z的表达式：
$z=4^p·27^{-q}=(2^p)^2· x^3$
再将$2^p=2y$代入上式：
$z=(2y)^2· x^3=4y^2x^3$
【答案】
$z=4y^2x^3$
【知识点】
负整数指数幂、幂的乘方运算、同底数幂的除法
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的灵活应用，解题的关键是通过对已知式和待求式进行合理变形，实现用x、y代换待求式中的指数式，熟练掌握幂的各类运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
