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1. (★)某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书. 工程领导们根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
方案A:甲队单独完成这项工程,刚好如期完成;
方案B:乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天;
方案C:若甲、乙两队合作4天后,余下的工程由乙队单独做,也正好如期完成.
设甲队单独完成这项工程需$x$天,则乙队单独完成这项工程需天,方案C中,甲队的工作总量是,乙队的工作总量是.
甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天?根据题意可列方程.
方案A:甲队单独完成这项工程,刚好如期完成;
方案B:乙队单独完成这项工程比规定日期多用5天;
方案C:若甲、乙两队合作4天后,余下的工程由乙队单独做,也正好如期完成.
设甲队单独完成这项工程需$x$天,则乙队单独完成这项工程需天,方案C中,甲队的工作总量是,乙队的工作总量是.
甲、乙单独完成这项工程分别需要多少天?根据题意可列方程.
答案
解：
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天，
方案C中，甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$，
乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$，
根据题意可列方程：$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$
解方程：
方程两边同乘$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时$x+5=20+5=25$。
答：甲队单独完成这项工程需要20天，乙队单独完成这项工程需要25天。
乙队单独完成这项工程需$\boldsymbol{(x+5)}$天，
方案C中，甲队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{4}{x}}$，
乙队的工作总量是$\boldsymbol{\frac{x}{x+5}}$，
根据题意可列方程：$\boldsymbol{\frac{4}{x} + \frac{x}{x+5} = 1}$
解方程：
方程两边同乘$x(x+5)$，得：
$4(x+5) + x^2 = x(x+5)$
去括号，得：
$4x + 20 + x^2 = x^2 + 5x$
移项、合并同类项，得：
$x=20$
检验：当$x=20$时，$x(x+5)≠0$，所以$x=20$是原分式方程的解，且符合实际意义。
此时$x+5=20+5=25$。
答：甲队单独完成这项工程需要20天，乙队单独完成这项工程需要25天。
2. (★)某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两名同学分别从距离活动地点1 400 m和900 m的两地同时出发，参加活动。甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前7 min到达活动地点。若设乙同学的速度是x m/min，则下列方程正确的是【 】
A.$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
B.$\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1x} = 7$
C.$\frac{900}{1.1x} - \frac{1400}{x} = 7$
D.$\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1x} = 7$
A.$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} = 7$
B.$\frac{900}{x} - \frac{1400}{1.1x} = 7$
C.$\frac{900}{1.1x} - \frac{1400}{x} = 7$
D.$\frac{1400}{x} - \frac{900}{1.1x} = 7$
答案
A
解析
设乙同学的速度是x m/min，则甲同学的速度为1.1x m/min。根据“时间=路程÷速度”，可得甲到达活动地点的用时为$\frac{1400}{1.1x}$ min，乙到达活动地点的用时为$\frac{900}{x}$ min。由乙比甲提前7min到达，可知甲的用时减去乙的用时等于7min，据此列方程得$\frac{1400}{1.1x} - \frac{900}{x} =7$。
3. (★)赛龙舟是端午节的主要习俗之一.今年端午节,某单位组织了赛龙舟活动,甲、乙两队参加比赛,全程为2 400 m,甲队的平均速度为x m/min,当x满足方程$\frac{2400}{x} = \frac{2400}{x+5} + 16$时,下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是
【 】
A.甲队的平均速度比乙队的平均速度快5 m/min,用的时间比乙队多16 min
B.甲队的平均速度比乙队的平均速度慢5 m/min,用的时间比乙队少16 min
C.乙队的平均速度比甲队的平均速度快5 m/min,用的时间比甲队少16 min
D.乙队的平均速度比甲队的平均速度慢5 m/min,用的时间比甲队多16 min
【 】
A.甲队的平均速度比乙队的平均速度快5 m/min,用的时间比乙队多16 min
B.甲队的平均速度比乙队的平均速度慢5 m/min,用的时间比乙队少16 min
C.乙队的平均速度比甲队的平均速度快5 m/min,用的时间比甲队少16 min
D.乙队的平均速度比甲队的平均速度慢5 m/min,用的时间比甲队多16 min
答案
C
解析
根据“时间=路程÷速度”，$\frac{2400}{x}$是甲队走完全程的时间，$\frac{2400}{x+5}$对应速度为$(x+5)\ \mathrm{m/min}$的队伍走完全程的时间，由此可知乙队平均速度为$(x+5)\ \mathrm{m/min}$，即乙队的平均速度比甲队快5 m/min。将方程变形可得$\frac{2400}{x+5}=\frac{2400}{x}-16$，说明乙队走完全程的时间比甲队少16 min，符合该描述的是选项C。
4. (★★)今年春节期间,某地的紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火.该地豆干店的王老板用2 500元购进一批紫水豆干,很快售完;王老板又用4 400元购进第二批紫水豆干,所购数量是第一批的2倍,由于进货量增加,进价比第一批每千克少了3元.
(1)第一批紫水豆干每千克的进价为多少元?
(2)王老板在销售第二批紫水豆干时,售价在第二批进价的基础上增加了50%,售出160 kg后,为了尽快售完,决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价$\frac{3a}{25}$元进行促销,结果第二批紫水豆干的销售利润为1 520元,求a的值.
(1)第一批紫水豆干每千克的进价为多少元?
(2)王老板在销售第二批紫水豆干时,售价在第二批进价的基础上增加了50%,售出160 kg后,为了尽快售完,决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价$\frac{3a}{25}$元进行促销,结果第二批紫水豆干的销售利润为1 520元,求a的值.
答案
解：(1) 设第一批紫水豆干每千克的进价为$x$元，则第二批紫水豆干每千克的进价为$(x-3)$元。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
答：(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50。
根据题意，得：
$2×\frac{2500}{x}=\frac{4400}{x-3}$
方程两边同乘$x(x-3)$，得：
$5000(x-3)=4400x$
解得：
$x=25$
检验：当$x=25$时，$x(x-3)≠0$，所以$x=25$是原分式方程的解，且符合题意。
(2) 由(1)得，第二批紫水豆干每千克的进价为$25-3=22$元，
第二批购进紫水豆干的总质量为$\frac{4400}{22}=200\ \mathrm{kg}$。
根据题意，得：
$160×22×50\% + (200-160)×[(22-\frac{3a}{25})-22]=1520$
整理得：
$1760-\frac{24a}{5}=1520$
解得：
$a=50$
答：(1) 第一批紫水豆干每千克的进价为25元；(2) $a$的值为50。
