登录
1. 填一填。(图中每个小方格的边长表示1厘米)
(1) 图中①号图形是()号图形放大后的图形，它是按( : )的比放大的。
(2) 如果把②号图形按3:1的比放大，放大后图形的边长是()厘米，是原来图形边长的()倍。
(1) 图中①号图形是()号图形放大后的图形，它是按( : )的比放大的。
(2) 如果把②号图形按3:1的比放大，放大后图形的边长是()厘米，是原来图形边长的()倍。
答案
(1) ④ 2:1
(2) 6 3
(2) 6 3
解析
【分析】
解题时先回忆图形放大与缩小的核心特征：图形放大或缩小后形状不变，对应边的长度成比例。
解决第(1)问时，先分别数出四个图形的长和宽，计算长宽比，找到和①号长宽比相同的图形（即形状相同的图形），再用①号对应边的长度比上原图形对应边的长度，就能得到放大的比。
解决第(2)问时，先数出②号正方形的边长，按3:1放大就是把边长扩大到原来的3倍，用原边长乘3即可得到放大后的边长，放大比的前项就是扩大的倍数。
【解析】
(1) 先数每个图形的长和宽（小方格边长为1厘米）：
①号长方形：长8厘米，宽2厘米，长宽比为$8:2=4:1$；
②号正方形：边长2厘米，长宽比为$1:1$；
③号长方形：长6厘米，宽3厘米，长宽比为$6:3=2:1$；
④号长方形：长4厘米，宽1厘米，长宽比为$4:1$。
只有④号和①号形状相同，因此①号是④号放大后的图形。对应边的比为$8:4=2:1$，即按$2:1$的比放大。
(2) ②号是正方形，原边长为2厘米，按$3:1$的比放大，放大后边长为 $2×3=6$ 厘米，放大后的边长是原来的3倍。
【答案】
(1) ④ 2:1
(2) 6 3
【知识点】
图形的放大与缩小、比的应用
【点评】
本题重点考查图形放大缩小的基本规律，解题的关键是抓住“缩放前后形状不变、对应边成比例”的特点，结合网格准确计数边长即可解题，有助于加深对图形缩放性质的理解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆图形放大与缩小的核心特征：图形放大或缩小后形状不变，对应边的长度成比例。
解决第(1)问时，先分别数出四个图形的长和宽，计算长宽比，找到和①号长宽比相同的图形（即形状相同的图形），再用①号对应边的长度比上原图形对应边的长度，就能得到放大的比。
解决第(2)问时，先数出②号正方形的边长，按3:1放大就是把边长扩大到原来的3倍，用原边长乘3即可得到放大后的边长，放大比的前项就是扩大的倍数。
【解析】
(1) 先数每个图形的长和宽（小方格边长为1厘米）：
①号长方形：长8厘米，宽2厘米，长宽比为$8:2=4:1$；
②号正方形：边长2厘米，长宽比为$1:1$；
③号长方形：长6厘米，宽3厘米，长宽比为$6:3=2:1$；
④号长方形：长4厘米，宽1厘米，长宽比为$4:1$。
只有④号和①号形状相同，因此①号是④号放大后的图形。对应边的比为$8:4=2:1$，即按$2:1$的比放大。
(2) ②号是正方形，原边长为2厘米，按$3:1$的比放大，放大后边长为 $2×3=6$ 厘米，放大后的边长是原来的3倍。
【答案】
(1) ④ 2:1
(2) 6 3
【知识点】
图形的放大与缩小、比的应用
【点评】
本题重点考查图形放大缩小的基本规律，解题的关键是抓住“缩放前后形状不变、对应边成比例”的特点，结合网格准确计数边长即可解题，有助于加深对图形缩放性质的理解。
【难度系数】
0.8
2. 乐乐乘818路公交车去少年宫，公交车先从联勤站向北偏西$50°$方向行驶3千米，再向西行驶4千米，最后向南偏西$30°$方向行驶2千米到达少年宫站。根据描述，把乐乐乘车行驶的路线图画完整，并表示出少年宫的位置。
答案
3÷2=1.5
4÷2=2
2÷2=1
答：从联勤站沿北偏西50°方向画出长1.5个比例尺单位的线段得到第一个途经点，再从该点向正西方向画出长2个比例尺单位的水平线段得到第二个途经点，最后从第二个途经点向南偏西30°方向画出长1个比例尺单位的线段，线段终点标注少年宫站，即可补全完整行驶路线图。
4÷2=2
2÷2=1
答：从联勤站沿北偏西50°方向画出长1.5个比例尺单位的线段得到第一个途经点，再从该点向正西方向画出长2个比例尺单位的水平线段得到第二个途经点，最后从第二个途经点向南偏西30°方向画出长1个比例尺单位的线段，线段终点标注少年宫站，即可补全完整行驶路线图。
解析
【分析】
要画出完整的行驶路线，需要抓住路线绘制的三个核心要素：观测点、行驶方向、图上距离。首先先明确题中的线段比例尺：图上1个单位长度对应实际2千米，所以第一步需要把每段行驶的实际距离换算为图上距离；接下来每一段路线都要以当前的出发点为观测点，按照题目给出的方向和换算好的图上距离画线段，最后在终点标注少年宫站即可。
【解析】
1. 先根据线段比例尺计算各段路程的图上距离：
已知图上1个比例尺单位对应实际距离2km，则：
第一段3km的图上长度：$3÷2=1.5$（个比例尺单位）
第二段4km的图上长度：$4÷2=2$（个比例尺单位）
第三段2km的图上长度：$2÷2=1$（个比例尺单位）
2. 按步骤绘制路线：
① 以联勤站为观测点，沿北偏西$50°$方向画长1.5个比例尺单位的线段，得到第一个途经点；
② 以第一个途经点为观测点，向正西方向画长2个比例尺单位的水平线段，得到第二个途经点；
③ 以第二个途经点为观测点，向南偏西$30°$方向画长1个比例尺单位的线段，终点标注“少年宫站”，即完成路线图绘制。
【答案】
$3÷2=1.5$
$4÷2=2$
$2÷2=1$
答：从联勤站沿北偏西$50°$方向画出长1.5个比例尺单位的线段得到第一个途经点，再从该点向正西方向画出长2个比例尺单位的水平线段得到第二个途经点，最后从第二个途经点向南偏西$30°$方向画出长1个比例尺单位的线段，线段终点标注少年宫站，即可补全完整行驶路线图。
【知识点】
比例尺应用，位置与方向，路线图绘制
【点评】
本题考查路线图的绘制能力，解题关键是每段路线都要切换到当前出发点作为观测点，同时要准确结合比例尺换算图上距离，避免方向和距离的判断错误。
【难度系数】
0.7
要画出完整的行驶路线，需要抓住路线绘制的三个核心要素：观测点、行驶方向、图上距离。首先先明确题中的线段比例尺：图上1个单位长度对应实际2千米，所以第一步需要把每段行驶的实际距离换算为图上距离；接下来每一段路线都要以当前的出发点为观测点，按照题目给出的方向和换算好的图上距离画线段，最后在终点标注少年宫站即可。
【解析】
1. 先根据线段比例尺计算各段路程的图上距离：
已知图上1个比例尺单位对应实际距离2km，则：
第一段3km的图上长度：$3÷2=1.5$（个比例尺单位）
第二段4km的图上长度：$4÷2=2$（个比例尺单位）
第三段2km的图上长度：$2÷2=1$（个比例尺单位）
2. 按步骤绘制路线：
① 以联勤站为观测点，沿北偏西$50°$方向画长1.5个比例尺单位的线段，得到第一个途经点；
② 以第一个途经点为观测点，向正西方向画长2个比例尺单位的水平线段，得到第二个途经点；
③ 以第二个途经点为观测点，向南偏西$30°$方向画长1个比例尺单位的线段，终点标注“少年宫站”，即完成路线图绘制。
【答案】
$3÷2=1.5$
$4÷2=2$
$2÷2=1$
答：从联勤站沿北偏西$50°$方向画出长1.5个比例尺单位的线段得到第一个途经点，再从该点向正西方向画出长2个比例尺单位的水平线段得到第二个途经点，最后从第二个途经点向南偏西$30°$方向画出长1个比例尺单位的线段，线段终点标注少年宫站，即可补全完整行驶路线图。
【知识点】
比例尺应用，位置与方向，路线图绘制
【点评】
本题考查路线图的绘制能力，解题关键是每段路线都要切换到当前出发点作为观测点，同时要准确结合比例尺换算图上距离，避免方向和距离的判断错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图，小明家门前有一块空地（每个小方格的边长表示10米），按要求帮小明完成设计。
（1）在空地围一个正方形花园，其四个顶点的位置分别是$A(1,7),B(1,1),C(7,1),D(7,7)$，画出这个花园。
（2）在原设计位置的东侧画1个小花园，它是原花园按边长$1:2$的比缩小的，缩小后的花园与原来花园面积的比是（
（3）小明准备在$(0,0)$的北偏东$45°$方向点$P(a,4)$处安装一个喷水装置，在图中用“·”表示出点P的位置。喷水装置喷水的半径是30米，画出喷水的范围。
（1）在空地围一个正方形花园，其四个顶点的位置分别是$A(1,7),B(1,1),C(7,1),D(7,7)$，画出这个花园。
（2）在原设计位置的东侧画1个小花园，它是原花园按边长$1:2$的比缩小的，缩小后的花园与原来花园面积的比是（
1:4
）。（3）小明准备在$(0,0)$的北偏东$45°$方向点$P(a,4)$处安装一个喷水装置，在图中用“·”表示出点P的位置。喷水装置喷水的半径是30米，画出喷水的范围。
答案
(1) 略
(2) 图略 1:4
(3) 略
(2) 图略 1:4
(3) 略
解析
【分析】
1. 第一问解题思路：数对的规则是第一个数对应列（横轴数值），第二个数对应行（纵轴数值），先定位四个顶点的位置，再顺次连接即可得到正方形花园。
2. 第二问解题思路：图形按比例缩小时，边长的比等于缩放比，正方形面积=边长×边长，因此面积比是边长比的平方；同时注意缩小后的花园在原花园东侧（即右侧），按缩放后的边长作图即可。
3. 第三问解题思路：北偏东45°方向说明该点相对于(0,0)，向东的距离和向北的距离相等，已知点P的纵坐标是4，即向北走了4格，因此向东也走4格，即可确定a的值得到P点位置；喷水范围是半径30米的圆，每格边长10米，对应3格长度，以P为圆心画半径3格的圆即可。
【解析】
(1) 根据数对的定义：第一个数表示列，第二个数表示行，依次找到点A(1,7)（第1列第7行）、B(1,1)（第1列第1行）、C(7,1)（第7列第1行）、D(7,7)（第7列第7行），顺次连接A、B、C、D四个点，就得到要求的正方形花园。
(2) 原正方形花园的边长：列从1到7，共$7-1=6$格，对应长度$6×10=60$米。按$1:2$的比缩小后，新边长为$60÷2=30$米，对应3格。
正方形面积=边长×边长，因此缩小后和原来的面积比为$(1×1):(2×2)=1:4$。
(3) 点P在(0,0)的北偏东45°方向，说明P点距离(0,0)的横向（东方向）距离和纵向（北方向）距离相等。已知P点坐标是$(a,4)$，即纵向距离是4格，因此横向距离也为4格，即$a=4$，P点位置为$(4,4)$。
喷水半径30米，每格10米，对应3格长度，以$(4,4)$为圆心，画半径为3格的圆，就是喷水的范围。
（作图类题目按上述规则作图即可）
【答案】
(1) 略
(2) $1:4$
(3) 略
【知识点】
数对与位置，图形的放大与缩小，方向与位置
【点评】
本题结合生活设计场景，综合考查了多个几何基础知识点，需要熟练掌握数对的含义、图形缩放前后边长和面积的变化规律，以及利用方向和距离确定位置的方法，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
1. 第一问解题思路：数对的规则是第一个数对应列（横轴数值），第二个数对应行（纵轴数值），先定位四个顶点的位置，再顺次连接即可得到正方形花园。
2. 第二问解题思路：图形按比例缩小时，边长的比等于缩放比，正方形面积=边长×边长，因此面积比是边长比的平方；同时注意缩小后的花园在原花园东侧（即右侧），按缩放后的边长作图即可。
3. 第三问解题思路：北偏东45°方向说明该点相对于(0,0)，向东的距离和向北的距离相等，已知点P的纵坐标是4，即向北走了4格，因此向东也走4格，即可确定a的值得到P点位置；喷水范围是半径30米的圆，每格边长10米，对应3格长度，以P为圆心画半径3格的圆即可。
【解析】
(1) 根据数对的定义：第一个数表示列，第二个数表示行，依次找到点A(1,7)（第1列第7行）、B(1,1)（第1列第1行）、C(7,1)（第7列第1行）、D(7,7)（第7列第7行），顺次连接A、B、C、D四个点，就得到要求的正方形花园。
(2) 原正方形花园的边长：列从1到7，共$7-1=6$格，对应长度$6×10=60$米。按$1:2$的比缩小后，新边长为$60÷2=30$米，对应3格。
正方形面积=边长×边长，因此缩小后和原来的面积比为$(1×1):(2×2)=1:4$。
(3) 点P在(0,0)的北偏东45°方向，说明P点距离(0,0)的横向（东方向）距离和纵向（北方向）距离相等。已知P点坐标是$(a,4)$，即纵向距离是4格，因此横向距离也为4格，即$a=4$，P点位置为$(4,4)$。
喷水半径30米，每格10米，对应3格长度，以$(4,4)$为圆心，画半径为3格的圆，就是喷水的范围。
（作图类题目按上述规则作图即可）
【答案】
(1) 略
(2) $1:4$
(3) 略
【知识点】
数对与位置，图形的放大与缩小，方向与位置
【点评】
本题结合生活设计场景，综合考查了多个几何基础知识点，需要熟练掌握数对的含义、图形缩放前后边长和面积的变化规律，以及利用方向和距离确定位置的方法，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，张师傅将两块面积都是120平方分米的正方形地砖重叠在一起，其中一块地砖的顶点正好在另一块地砖的中心点O处。此时这两块地砖的占地面积是多少平方分米？
答案
$120×2-120÷4=210$(平方分米)
答:此时这两块地砖的占地面积是210平方分米。
答:此时这两块地砖的占地面积是210平方分米。
解析
【分析】
要求两块地砖重叠后的占地面积，首先要明确计算逻辑：重叠后的占地面积等于两块正方形地砖的总面积减去重叠部分的面积，因为重叠部分被两块地砖各计算了一次，多算了1次，需要减掉重复的部分。接下来推导重叠部分的面积：O是正方形的中心点，当一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心旋转时，重叠部分的面积始终等于单个正方形面积的$\frac{1}{4}$，算出重叠部分面积后代入计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算两块正方形地砖的总面积
$120×2=240$（平方分米）
步骤2：计算重叠部分的面积
O为正方形的中心，重叠部分面积是单个正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此：
$120÷4=30$（平方分米）
步骤3：计算重叠后的占地面积
用总面积减去重叠部分多算的1次面积：
$240-30=210$（平方分米）
【答案】
210平方分米
【知识点】
重叠问题计算、正方形的特征、分数除法应用
【点评】
本题解题的核心是掌握正方形中心的性质，推导出重叠部分面积与单个正方形面积的关系，再结合重叠问题的基本计算逻辑求解，能够很好地锻炼学生的空间想象能力和图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
要求两块地砖重叠后的占地面积，首先要明确计算逻辑：重叠后的占地面积等于两块正方形地砖的总面积减去重叠部分的面积，因为重叠部分被两块地砖各计算了一次，多算了1次，需要减掉重复的部分。接下来推导重叠部分的面积：O是正方形的中心点，当一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心旋转时，重叠部分的面积始终等于单个正方形面积的$\frac{1}{4}$，算出重叠部分面积后代入计算即可得到结果。
【解析】
步骤1：计算两块正方形地砖的总面积
$120×2=240$（平方分米）
步骤2：计算重叠部分的面积
O为正方形的中心，重叠部分面积是单个正方形面积的$\frac{1}{4}$，因此：
$120÷4=30$（平方分米）
步骤3：计算重叠后的占地面积
用总面积减去重叠部分多算的1次面积：
$240-30=210$（平方分米）
【答案】
210平方分米
【知识点】
重叠问题计算、正方形的特征、分数除法应用
【点评】
本题解题的核心是掌握正方形中心的性质，推导出重叠部分面积与单个正方形面积的关系，再结合重叠问题的基本计算逻辑求解，能够很好地锻炼学生的空间想象能力和图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.6
