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1. 十进制数27改写成二进制数是（
11011
），二进制数10100改写成十进制数是（20
）。答案
1. 11011 20
解析
【分析】
本题考查十进制和二进制的互相转换，解题思路如下：
1. 十进制转二进制：使用“除2取余，逆序排列”法，将十进制数反复除以2，依次记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数从后往前倒序排列，就是对应的二进制数。
2. 二进制转十进制：使用“按权相加”法，从二进制数的最右侧开始数，第n位（n从0开始计数）的数字乘2的n次方（规定2的0次方=1），再把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
【解析】
第一问：将十进制27转换为二进制
27÷2=13，余数1
13÷2=6，余数1
6÷2=3，余数0
3÷2=1，余数1
1÷2=0，余数1
将余数从最后一个到第一个逆序排列，得到11011。
第二问：将二进制10100转换为十进制
从右往左各位计算：
第0位：0×2⁰=0×1=0
第1位：0×2¹=0×2=0
第2位：1×2²=1×4=4
第3位：0×2³=0×8=0
第4位：1×2⁴=1×16=16
总和为16+0+4+0+0=20。
【答案】
11011；20
【知识点】
1. 十进制转二进制
2. 二进制转十进制
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心考查两种常用进制互转的基本操作方法，掌握除2取余法和按权相加法就能快速准确作答。
【难度系数】
0.75
本题考查十进制和二进制的互相转换，解题思路如下：
1. 十进制转二进制：使用“除2取余，逆序排列”法，将十进制数反复除以2，依次记录每次的余数，直到商为0，最后将所有余数从后往前倒序排列，就是对应的二进制数。
2. 二进制转十进制：使用“按权相加”法，从二进制数的最右侧开始数，第n位（n从0开始计数）的数字乘2的n次方（规定2的0次方=1），再把所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。
【解析】
第一问：将十进制27转换为二进制
27÷2=13，余数1
13÷2=6，余数1
6÷2=3，余数0
3÷2=1，余数1
1÷2=0，余数1
将余数从最后一个到第一个逆序排列，得到11011。
第二问：将二进制10100转换为十进制
从右往左各位计算：
第0位：0×2⁰=0×1=0
第1位：0×2¹=0×2=0
第2位：1×2²=1×4=4
第3位：0×2³=0×8=0
第4位：1×2⁴=1×16=16
总和为16+0+4+0+0=20。
【答案】
11011；20
【知识点】
1. 十进制转二进制
2. 二进制转十进制
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心考查两种常用进制互转的基本操作方法，掌握除2取余法和按权相加法就能快速准确作答。
【难度系数】
0.75
2. 为进一步推进水资源节约利用，强化全民节水爱水意识，我国各大城市全面推行居民生活用水阶梯收费制度。某市的收费标准如下。
| 用水阶梯 | 年用水量范围 | 单价/（元/立方米） |
| --- | --- | --- |
| 第一阶梯 | 不超过228立方米 | 3.02 |
| 第二阶梯 | 超过228立
米且不超过348立方米的部分 | 3.62 |
| 第三阶梯 | 超过348立方米的部分 | 4.23 |
小明家去年用水300立方米，应缴纳水费多少元？
| 用水阶梯 | 年用水量范围 | 单价/（元/立方米） |
| --- | --- | --- |
| 第一阶梯 | 不超过228立方米 | 3.02 |
| 第二阶梯 | 超过228立
米且不超过348立方米的部分 | 3.62 || 第三阶梯 | 超过348立方米的部分 | 4.23 |
小明家去年用水300立方米，应缴纳水费多少元？
答案
2. $3.02×228=688.56$(元)
$3.62×(300-228)=260.64$(元)
$688.56+260.64=949.2$(元)
答:应缴纳水费949.2元。
$3.62×(300-228)=260.64$(元)
$688.56+260.64=949.2$(元)
答:应缴纳水费949.2元。
解析
【分析】
解题时首先要判断小明家的年用水量所属的收费阶梯：300立方米大于228立方米、小于348立方米，因此水费需要分两部分计算，第一部分是第一阶梯的228立方米，按3.02元/立方米算费用；第二部分是超出228立方米的部分，属于第二阶梯，按3.62元/立方米算费用，最后把两部分费用相加就能得到总水费。
【解析】
先计算第一阶梯的水费：
$3.02×228=688.56$（元）
再计算第二阶梯的用水量：$300-228=72$（立方米）
第二阶梯的水费：
$3.62×72=260.64$（元）
总水费为两部分费用之和：
$688.56+260.64=949.2$（元）
【答案】
应缴纳水费949.2元。
【知识点】
分段计费、小数乘法计算
【点评】
本题属于生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先明确用水量对应的收费区间，分区间计算费用后再求和，注意不要直接用总水量乘高阶梯的单价，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先要判断小明家的年用水量所属的收费阶梯：300立方米大于228立方米、小于348立方米，因此水费需要分两部分计算，第一部分是第一阶梯的228立方米，按3.02元/立方米算费用；第二部分是超出228立方米的部分，属于第二阶梯，按3.62元/立方米算费用，最后把两部分费用相加就能得到总水费。
【解析】
先计算第一阶梯的水费：
$3.02×228=688.56$（元）
再计算第二阶梯的用水量：$300-228=72$（立方米）
第二阶梯的水费：
$3.62×72=260.64$（元）
总水费为两部分费用之和：
$688.56+260.64=949.2$（元）
【答案】
应缴纳水费949.2元。
【知识点】
分段计费、小数乘法计算
【点评】
本题属于生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先明确用水量对应的收费区间，分区间计算费用后再求和，注意不要直接用总水量乘高阶梯的单价，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 学校举行足球比赛，共有16个班参加，规则采用淘汰制。产生季军需要进行几场比赛？（淘汰制是指通过抽签确定两支球队比赛一场，胜者进入下一轮。）
答案
3. 16进8:8场
8进4:4场
4进2(半决赛):2场(决出冠亚军和三四名)
季军赛:1场
合计:$8+4+2+1=15$(场)
答:产生季军需要进行15场比赛。
8进4:4场
4进2(半决赛):2场(决出冠亚军和三四名)
季军赛:1场
合计:$8+4+2+1=15$(场)
答:产生季军需要进行15场比赛。
解析
【分析】
我们可以按照淘汰制的比赛轮次逐步计算每一轮的场数，再求和得到总场数。首先明确：淘汰制每一轮的比赛场数等于当前参赛队伍数除以2，因为每2支队伍赛1场，输的淘汰，赢的晋级。题目只要求产生季军，不需要区分冠亚军的名次，因此打完半决赛后，只需要加赛1场三四名比赛确定季军即可，无需计算冠亚军决赛的场次。我们从首轮16个班开始逐轮计算即可。
【解析】
我们按比赛轮次依次计算场数：
1. 16进8轮次：16个班两两比赛，场数为 $16÷2=8$（场），8个胜者晋级；
2. 8进4轮次：8个晋级班级两两比赛，场数为 $8÷2=4$（场），4个胜者晋级；
3. 4进2（半决赛）轮次：4个晋级班级两两比赛，场数为 $4÷2=2$（场），2场的负者进入季军争夺；
4. 季军赛：半决赛的2支负者比赛1场，胜者为季军。
总比赛场数为各轮次场数之和：
$8+4+2+1=15$（场）
【答案】
产生季军需要进行15场比赛。
【知识点】
淘汰制问题、整数除法、整数加法
【点评】
本题核心是对淘汰赛规则的理解，解题时要注意审题，明确题目要求的是产生季军，不要多算冠亚军决赛的场次，也不要漏算季军赛的场次，按轮次逐步计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
我们可以按照淘汰制的比赛轮次逐步计算每一轮的场数，再求和得到总场数。首先明确：淘汰制每一轮的比赛场数等于当前参赛队伍数除以2，因为每2支队伍赛1场，输的淘汰，赢的晋级。题目只要求产生季军，不需要区分冠亚军的名次，因此打完半决赛后，只需要加赛1场三四名比赛确定季军即可，无需计算冠亚军决赛的场次。我们从首轮16个班开始逐轮计算即可。
【解析】
我们按比赛轮次依次计算场数：
1. 16进8轮次：16个班两两比赛，场数为 $16÷2=8$（场），8个胜者晋级；
2. 8进4轮次：8个晋级班级两两比赛，场数为 $8÷2=4$（场），4个胜者晋级；
3. 4进2（半决赛）轮次：4个晋级班级两两比赛，场数为 $4÷2=2$（场），2场的负者进入季军争夺；
4. 季军赛：半决赛的2支负者比赛1场，胜者为季军。
总比赛场数为各轮次场数之和：
$8+4+2+1=15$（场）
【答案】
产生季军需要进行15场比赛。
【知识点】
淘汰制问题、整数除法、整数加法
【点评】
本题核心是对淘汰赛规则的理解，解题时要注意审题，明确题目要求的是产生季军，不要多算冠亚军决赛的场次，也不要漏算季军赛的场次，按轮次逐步计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.7
4. 用蜂蜜和水按$1:8$的体积比配制蜂蜜水。
（1）配制450毫升蜂蜜水，需要蜂蜜（
（2）现有蜂蜜10毫升，全部用来配制蜂蜜水，需要加水多少毫升？
（3）在第（2）题配制好的蜂蜜水中，再加入10毫升蜂蜜，此时蜂蜜与蜂蜜水体积的比是（
（1）配制450毫升蜂蜜水，需要蜂蜜（
50
）毫升，水（400
）毫升。（2）现有蜂蜜10毫升，全部用来配制蜂蜜水，需要加水多少毫升？
（3）在第（2）题配制好的蜂蜜水中，再加入10毫升蜂蜜，此时蜂蜜与蜂蜜水体积的比是（
1:5
）。答案
4. (1) 50 400
(2) $10×8=80$(毫升)
答:需要加水80毫升。
(3) $1:5$
(2) $10×8=80$(毫升)
答:需要加水80毫升。
(3) $1:5$
解析
【分析】
这是比的应用类题目，解题核心是理清蜂蜜、水、蜂蜜水三者的比例关系：
1. 解决第（1）问时，先根据蜂蜜和水的体积比1:8算出总份数，用蜂蜜水总体积除以总份数得到1份的体积，再分别乘蜂蜜、水对应的份数即可得到各自的体积。
2. 解决第（2）问时，根据比例1:8可知水的体积是蜂蜜的8倍，直接用蜂蜜体积乘8就能得到需要加的水的体积。
3. 解决第（3）问时，先算出第（2）问配制的蜂蜜水总体积，再算出加入10毫升蜂蜜后蜂蜜的总体积和新的蜂蜜水总体积，最后写出两者的比并化简即可，注意此处是蜂蜜和蜂蜜水的比，不要混淆比的前后项对应的量。
【解析】
（1）蜂蜜和水的体积比为1:8，总份数：$1+8=9$
每份体积：$450÷9=50$（毫升）
蜂蜜体积：$50×1=50$（毫升）
水的体积：$50×8=400$（毫升）
（2）由蜂蜜和水的体积比1:8可知，水的体积是蜂蜜体积的8倍
需要加水：$10×8=80$（毫升）
答：需要加水80毫升。
（3）第（2）问配制的蜂蜜水体积：$10+80=90$（毫升）
加入10毫升蜂蜜后，蜂蜜总体积：$10+10=20$（毫升）
新的蜂蜜水总体积：$90+10=100$（毫升）
蜂蜜与蜂蜜水的体积比：$20:100=1:5$
【答案】
(1) 50 400
(2) 80毫升
(3) $1:5$
【知识点】
1. 按比例分配
2. 比的意义
3. 比的化简
【点评】
本题结合生活实际场景考查比的相关知识的应用，解题关键是找准各部分量对应的份数关系，作答时需注意明确比的前后项对应的具体量，避免看错条件出错。
【难度系数】
0.7
这是比的应用类题目，解题核心是理清蜂蜜、水、蜂蜜水三者的比例关系：
1. 解决第（1）问时，先根据蜂蜜和水的体积比1:8算出总份数，用蜂蜜水总体积除以总份数得到1份的体积，再分别乘蜂蜜、水对应的份数即可得到各自的体积。
2. 解决第（2）问时，根据比例1:8可知水的体积是蜂蜜的8倍，直接用蜂蜜体积乘8就能得到需要加的水的体积。
3. 解决第（3）问时，先算出第（2）问配制的蜂蜜水总体积，再算出加入10毫升蜂蜜后蜂蜜的总体积和新的蜂蜜水总体积，最后写出两者的比并化简即可，注意此处是蜂蜜和蜂蜜水的比，不要混淆比的前后项对应的量。
【解析】
（1）蜂蜜和水的体积比为1:8，总份数：$1+8=9$
每份体积：$450÷9=50$（毫升）
蜂蜜体积：$50×1=50$（毫升）
水的体积：$50×8=400$（毫升）
（2）由蜂蜜和水的体积比1:8可知，水的体积是蜂蜜体积的8倍
需要加水：$10×8=80$（毫升）
答：需要加水80毫升。
（3）第（2）问配制的蜂蜜水体积：$10+80=90$（毫升）
加入10毫升蜂蜜后，蜂蜜总体积：$10+10=20$（毫升）
新的蜂蜜水总体积：$90+10=100$（毫升）
蜂蜜与蜂蜜水的体积比：$20:100=1:5$
【答案】
(1) 50 400
(2) 80毫升
(3) $1:5$
【知识点】
1. 按比例分配
2. 比的意义
3. 比的化简
【点评】
本题结合生活实际场景考查比的相关知识的应用，解题关键是找准各部分量对应的份数关系，作答时需注意明确比的前后项对应的具体量，避免看错条件出错。
【难度系数】
0.7
5. 有三堆围棋棋子，每堆都是50枚。第一堆的黑子与第二堆的白子同样多，第三堆白子占$\frac{2}{5}$。这三堆围棋棋子中一共有多少枚白子？
答案
5. $50+50×\frac{2}{5}=70$(枚)
答:这三堆围棋棋子中一共有70枚白子。
答:这三堆围棋棋子中一共有70枚白子。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：三堆棋子每堆均为50枚，第一堆黑子数量与第二堆白子数量相等，第三堆白子占本堆总数的$\frac{2}{5}$。不少同学会尝试单独计算第一堆、第二堆的白子数，但题目没有给出更多相关条件，因此要换思路将两堆白子合起来分析：因为第一堆总数为50枚，即第一堆白子数+第一堆黑子数=50枚，结合“第一堆黑子数=第二堆白子数”的条件，可直接推出前两堆白子的总和就是50枚。接下来用分数乘法算出第三堆的白子数量，两部分相加即可得到总白子数。
【解析】
1. 计算前两堆白子的总数量：
因为第一堆黑子数 = 第二堆白子数，所以
第一堆白子数 + 第二堆白子数
= 第一堆白子数 + 第一堆黑子数
= 50（枚）
2. 计算第三堆的白子数量：
第三堆共50枚，白子占$\frac{2}{5}$，因此第三堆白子数为：
$50×\frac{2}{5}=20$（枚）
3. 计算三堆白子总数量：
$50+20=70$（枚）
【答案】
70枚
【知识点】
等量代换，分数乘法应用
【点评】
本题的解题关键是对等量关系的灵活转化，通过等量代换可以省略不必要的计算，快速得到前两堆白子的总和，再结合分数乘法的应用求解第三堆白子数，既考察了逻辑推理能力，也巩固了分数乘法的计算方法。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：三堆棋子每堆均为50枚，第一堆黑子数量与第二堆白子数量相等，第三堆白子占本堆总数的$\frac{2}{5}$。不少同学会尝试单独计算第一堆、第二堆的白子数，但题目没有给出更多相关条件，因此要换思路将两堆白子合起来分析：因为第一堆总数为50枚，即第一堆白子数+第一堆黑子数=50枚，结合“第一堆黑子数=第二堆白子数”的条件，可直接推出前两堆白子的总和就是50枚。接下来用分数乘法算出第三堆的白子数量，两部分相加即可得到总白子数。
【解析】
1. 计算前两堆白子的总数量：
因为第一堆黑子数 = 第二堆白子数，所以
第一堆白子数 + 第二堆白子数
= 第一堆白子数 + 第一堆黑子数
= 50（枚）
2. 计算第三堆的白子数量：
第三堆共50枚，白子占$\frac{2}{5}$，因此第三堆白子数为：
$50×\frac{2}{5}=20$（枚）
3. 计算三堆白子总数量：
$50+20=70$（枚）
【答案】
70枚
【知识点】
等量代换，分数乘法应用
【点评】
本题的解题关键是对等量关系的灵活转化，通过等量代换可以省略不必要的计算，快速得到前两堆白子的总和，再结合分数乘法的应用求解第三堆白子数，既考察了逻辑推理能力，也巩固了分数乘法的计算方法。
【难度系数】
0.7
6. 黄金矩形是指宽与长的比的比值接近0.618的长方形。
（1）在下面画一个黄金矩形，它的长是5厘米，宽大约是(
（2）在这个矩形中设计一个简单的图案，使构图符合黄金比。（需包含圆、正方形、长方形、三角形等平面图形，至少用三种。）
（1）在下面画一个黄金矩形，它的长是5厘米，宽大约是(
3
)厘米。（得数保留整数）（2）在这个矩形中设计一个简单的图案，使构图符合黄金比。（需包含圆、正方形、长方形、三角形等平面图形，至少用三种。）
答案
6. (1) 图略 3 (2) 略
解析
【分析】
（1）解题思路：首先明确黄金矩形的宽与长的比值约为0.618，已知长的长度，要求宽直接用长乘这个比值即可，最后按照“四舍五入”规则保留整数。（2）设计图案时，可先利用黄金比的特征，从大黄金矩形中分出一个最大的正方形，剩余部分仍是黄金矩形，再在对应区域加入要求的平面图形，保证至少用到三种即可。
【解析】
（1）根据黄金矩形的定义，宽≈长×0.618，已知长是5厘米，代入计算：
$5×0.618=3.09$（厘米）
按照四舍五入规则保留整数，$3.09\approx3$，所以宽大约是3厘米，画出长5厘米、宽3厘米的长方形即可。
（2）设计示例：先在长5cm宽3cm的矩形左侧画边长为3cm的正方形，正方形内画一个直径为3cm的最大圆，剩余的右侧小矩形内画一个底等于小矩形宽、高等于小矩形宽的等腰三角形，该设计用到了正方形、圆、三角形三种图形，且分割正方形的过程符合黄金比的构图要求，设计合理即可。
【答案】
(1) 图略；3 (2) 略
【知识点】
1. 比的应用 2. 小数取近似值 3. 平面图形认识
【点评】
本题结合“黄金比”这一经典数学概念，既考查了基础的计算和取近似值的能力，又鼓励学生发挥创意动手设计，能让学生感受到数学在美学领域的应用，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
（1）解题思路：首先明确黄金矩形的宽与长的比值约为0.618，已知长的长度，要求宽直接用长乘这个比值即可，最后按照“四舍五入”规则保留整数。（2）设计图案时，可先利用黄金比的特征，从大黄金矩形中分出一个最大的正方形，剩余部分仍是黄金矩形，再在对应区域加入要求的平面图形，保证至少用到三种即可。
【解析】
（1）根据黄金矩形的定义，宽≈长×0.618，已知长是5厘米，代入计算：
$5×0.618=3.09$（厘米）
按照四舍五入规则保留整数，$3.09\approx3$，所以宽大约是3厘米，画出长5厘米、宽3厘米的长方形即可。
（2）设计示例：先在长5cm宽3cm的矩形左侧画边长为3cm的正方形，正方形内画一个直径为3cm的最大圆，剩余的右侧小矩形内画一个底等于小矩形宽、高等于小矩形宽的等腰三角形，该设计用到了正方形、圆、三角形三种图形，且分割正方形的过程符合黄金比的构图要求，设计合理即可。
【答案】
(1) 图略；3 (2) 略
【知识点】
1. 比的应用 2. 小数取近似值 3. 平面图形认识
【点评】
本题结合“黄金比”这一经典数学概念，既考查了基础的计算和取近似值的能力，又鼓励学生发挥创意动手设计，能让学生感受到数学在美学领域的应用，趣味性较强。
【难度系数】
0.8
