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1. 余角
如果两个角的和等于 $90°$（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角 互余.
如果两个角的和等于 $90°$（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角 互余.
答案
1. 如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余。
解析
【分析】
这是一道考查余角基础定义的识记类题目，解题时只需要准确回忆课本中余角的概念内容，对应空缺位置补全语句即可，没有计算或逻辑推导的要求，只要记住定义就能答对。
【解析】
根据教材中余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角的关系为互为余角，可简称为这两个角互余，据此直接补全题干中的空缺内容即可。
【答案】
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余。
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是基础概念类习题，侧重对核心定义的记忆考查，是学习余角相关知识时必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.95
这是一道考查余角基础定义的识记类题目，解题时只需要准确回忆课本中余角的概念内容，对应空缺位置补全语句即可，没有计算或逻辑推导的要求，只要记住定义就能答对。
【解析】
根据教材中余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），那么这两个角的关系为互为余角，可简称为这两个角互余，据此直接补全题干中的空缺内容即可。
【答案】
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称这两个角互余。
【知识点】
余角的定义
【点评】
本题是基础概念类习题，侧重对核心定义的记忆考查，是学习余角相关知识时必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.95
2. 补角
如果两个角的和等于
注意:(1)互为余(补)角是指两个角，而非一个角，也不是三个角；
(2)互余(补)只与两角的大小有关，与位置无关。
如果两个角的和等于
180°
$180°$（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补
互补。注意:(1)互为余(补)角是指两个角，而非一个角，也不是三个角；
(2)互余(补)只与两角的大小有关，与位置无关。
答案
2. 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角互补。
解析
【分析】
本题考查补角的基础定义，解题时只需回忆教材中补角的概念内容，对应空缺位置填写即可。首先明确补角的定义规则：两个角的和等于平角度数（即180°）时，两角互为补角，简称为两角互补，直接对应填空即可。
【解析】
根据补角的定义可知：
如果两个角的和等于$\boldsymbol{180°}$（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角$\boldsymbol{互补}$。
【答案】
$180°$；互补
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对补角核心定义的记忆掌握情况，熟练记忆教材基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.95
本题考查补角的基础定义，解题时只需回忆教材中补角的概念内容，对应空缺位置填写即可。首先明确补角的定义规则：两个角的和等于平角度数（即180°）时，两角互为补角，简称为两角互补，直接对应填空即可。
【解析】
根据补角的定义可知：
如果两个角的和等于$\boldsymbol{180°}$（平角），就说这两个角互为补角，简称这两个角$\boldsymbol{互补}$。
【答案】
$180°$；互补
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对补角核心定义的记忆掌握情况，熟练记忆教材基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.95
3. 余角、补角的性质
同角(等角)的余角 相等,同角(等角)的补角 相等.
同角(等角)的余角 相等,同角(等角)的补角 相等.
答案
3. 同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等。
解析
【分析】
首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。思考同角或等角的余角关系时，我们可以将余角表示为90°减去对应角，若对应角是同一个角或者大小相等的角，计算得到的余角大小必然相等；同理，补角可表示为180°减去对应角，同角或等角的补角大小也相等，因此两个空都应填“相等”。
【解析】
1. 明确基础定义
若两个角的和为90°，称这两个角互为余角；若两个角的和为180°，称这两个角互为补角。
2. 推导余角性质
① 同角的余角：设∠A的余角为∠1、∠2，则∠1=90°-∠A，∠2=90°-∠A，因此∠1=∠2；
② 等角的余角：设∠A=∠B，∠A的余角∠1=90°-∠A，∠B的余角∠2=90°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠1=∠2。
综上可得：同角（等角）的余角相等。
3. 推导补角性质
① 同角的补角：设∠A的补角为∠3、∠4，则∠3=180°-∠A，∠4=180°-∠A，因此∠3=∠4；
② 等角的补角：设∠A=∠B，∠A的补角∠3=180°-∠A，∠B的补角∠4=180°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠3=∠4。
综上可得：同角（等角）的补角相等。
因此两个空均填写“相等”。
【答案】
相等；相等
【知识点】
余角的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，直接考查余角、补角的核心性质，该内容是后续角度计算、几何证明的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，两个角的和为180°则互为补角。思考同角或等角的余角关系时，我们可以将余角表示为90°减去对应角，若对应角是同一个角或者大小相等的角，计算得到的余角大小必然相等；同理，补角可表示为180°减去对应角，同角或等角的补角大小也相等，因此两个空都应填“相等”。
【解析】
1. 明确基础定义
若两个角的和为90°，称这两个角互为余角；若两个角的和为180°，称这两个角互为补角。
2. 推导余角性质
① 同角的余角：设∠A的余角为∠1、∠2，则∠1=90°-∠A，∠2=90°-∠A，因此∠1=∠2；
② 等角的余角：设∠A=∠B，∠A的余角∠1=90°-∠A，∠B的余角∠2=90°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠1=∠2。
综上可得：同角（等角）的余角相等。
3. 推导补角性质
① 同角的补角：设∠A的补角为∠3、∠4，则∠3=180°-∠A，∠4=180°-∠A，因此∠3=∠4；
② 等角的补角：设∠A=∠B，∠A的补角∠3=180°-∠A，∠B的补角∠4=180°-∠B，因为∠A=∠B，所以∠3=∠4。
综上可得：同角（等角）的补角相等。
因此两个空均填写“相等”。
【答案】
相等；相等
【知识点】
余角的性质；补角的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题型，直接考查余角、补角的核心性质，该内容是后续角度计算、几何证明的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
【例1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分$∠ AOC$和$∠ BOC$.
(1)$∠ COB+∠ AOC=$
(2)图中互余的角有
(1)$∠ COB+∠ AOC=$
180°
，$∠ EOD=$90°
；(2)图中互余的角有
4
对，互补的角有5
对.答案
(1)$180°$，$90°$；(2)4，5
解析
【分析】
(1) 首先根据点A、O、B共线可得∠AOB为平角，直接得出∠COB与∠AOC的和；再利用角平分线的性质，把∠EOD拆成两个角的和，分别对应∠AOC和∠BOC的一半，代入平角的度数即可求出∠EOD的大小。
(2) 互余即两个角和为90°，先找出角平分线分得的相等的角，结合∠EOD=90°依次列举所有和为90°的角对；互补即两个角和为180°，结合平角的特征，依次列举所有和为180°的角对，计数时注意不重复不遗漏。
【解析】
(1)
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOB=180°，即$∠ COB + ∠ AOC = ∠ AOB = 180°$。
∵射线OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵射线OE平分$∠ BOC$，
∴$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ EOD = ∠ DOC + ∠ EOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
(2) 互余的角：由$∠ EOD=90°$可得$∠ DOC + ∠ EOC = 90°$，
又
∵$∠ AOD=∠ DOC$，$∠ BOE=∠ EOC$，
∴$∠ AOD + ∠ EOC=90°$，$∠ DOC + ∠ BOE=90°$，$∠ AOD + ∠ BOE=90°$，共4对。
互补的角：和为$180°$的角对有：
①$∠ AOD$与$∠ BOD$；②$∠ COD$与$∠ BOD$；③$∠ BOE$与$∠ AOE$；④$∠ COE$与$∠ AOE$；⑤$∠ AOC$与$∠ BOC$，共5对。
【答案】
(1)$180°$，$90°$；(2)4，5
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；余角和补角的定义
【点评】
本题属于角的计算基础题，解题的核心是熟练运用角平分线的性质和余角、补角的定义，计数角对时要按照规律有序列举，避免出现重复或漏算的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据点A、O、B共线可得∠AOB为平角，直接得出∠COB与∠AOC的和；再利用角平分线的性质，把∠EOD拆成两个角的和，分别对应∠AOC和∠BOC的一半，代入平角的度数即可求出∠EOD的大小。
(2) 互余即两个角和为90°，先找出角平分线分得的相等的角，结合∠EOD=90°依次列举所有和为90°的角对；互补即两个角和为180°，结合平角的特征，依次列举所有和为180°的角对，计数时注意不重复不遗漏。
【解析】
(1)
∵点A，O，B在同一条直线上，
∴∠AOB=180°，即$∠ COB + ∠ AOC = ∠ AOB = 180°$。
∵射线OD平分$∠ AOC$，
∴$∠ DOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，
∵射线OE平分$∠ BOC$，
∴$∠ EOC = \frac{1}{2}∠ BOC$，
∴$∠ EOD = ∠ DOC + ∠ EOC = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
(2) 互余的角：由$∠ EOD=90°$可得$∠ DOC + ∠ EOC = 90°$，
又
∵$∠ AOD=∠ DOC$，$∠ BOE=∠ EOC$，
∴$∠ AOD + ∠ EOC=90°$，$∠ DOC + ∠ BOE=90°$，$∠ AOD + ∠ BOE=90°$，共4对。
互补的角：和为$180°$的角对有：
①$∠ AOD$与$∠ BOD$；②$∠ COD$与$∠ BOD$；③$∠ BOE$与$∠ AOE$；④$∠ COE$与$∠ AOE$；⑤$∠ AOC$与$∠ BOC$，共5对。
【答案】
(1)$180°$，$90°$；(2)4，5
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；余角和补角的定义
【点评】
本题属于角的计算基础题，解题的核心是熟练运用角平分线的性质和余角、补角的定义，计数角对时要按照规律有序列举，避免出现重复或漏算的错误。
【难度系数】
0.7
【变式】(2024秋浦北县期末)已知一个角为$24°40'$，则它的补角的度数是（
A.$63°20'$
B.$63°60'$
C.$155°20'$
D.$153°60'$
C
）A.$63°20'$
B.$63°60'$
C.$155°20'$
D.$153°60'$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，因此求已知角的补角，只需用180°减去已知角的度数即可。计算时要注意度、分之间是60进制，即1°=60'，当被减数的分不够减时，需要从度的位置借1°转化为60'再进行计算。
【解析】
根据补角的定义，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
已知角的度数为24°40'，则它的补角为：
$180° - 24°40'$
将$180°$转化为$179°60'$（因为$1°=60'$），再进行计算：
$179°60' - 24°40' = (179-24)° + (60-40)' = 155°20'$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制运算规则，解题的易错点是容易将度分秒的进制误记为10进制，计算时注意借位规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
首先回忆补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，因此求已知角的补角，只需用180°减去已知角的度数即可。计算时要注意度、分之间是60进制，即1°=60'，当被减数的分不够减时，需要从度的位置借1°转化为60'再进行计算。
【解析】
根据补角的定义，若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
已知角的度数为24°40'，则它的补角为：
$180° - 24°40'$
将$180°$转化为$179°60'$（因为$1°=60'$），再进行计算：
$179°60' - 24°40' = (179-24)° + (60-40)' = 155°20'$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础概念运算题，核心考查补角的定义和度分秒的60进制运算规则，解题的易错点是容易将度分秒的进制误记为10进制，计算时注意借位规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，O为直线AB上的一点，$∠ AOC$与$∠ AOD$互补，OM，ON分别是$∠ AOC$，$∠ AOD$的平分线。
(1)根据题意，补全下列说理过程：
因为$∠ AOC$与$∠ AOD$互补，
所以$∠ AOC+∠ AOD=180°$。
又因为$∠ AOC+$
根据
所以
(2)若$∠ MOC=72°$，求$∠ AON$的度数。
(1)根据题意，补全下列说理过程：
因为$∠ AOC$与$∠ AOD$互补，
所以$∠ AOC+∠ AOD=180°$。
又因为$∠ AOC+$
∠BOC
$=180°$。根据
同角的补角相等
，所以
∠AOD
$=$∠BOC
。(2)若$∠ MOC=72°$，求$∠ AON$的度数。
答案
(1) $∠BOC$；同角的补角相等；$∠AOD$，$∠BOC$
(2) 解:因为 OM 是$∠AOC$ 的平分线，
所以$∠AOC=2∠MOC=2×72°=144°$.
因为$∠AOC$ 与$∠AOD$ 互补，
所以$∠AOD=180°-144°=36°$.
因为 ON 是$∠AOD$ 的平分线，
所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOD=18°$.
(2) 解:因为 OM 是$∠AOC$ 的平分线，
所以$∠AOC=2∠MOC=2×72°=144°$.
因为$∠AOC$ 与$∠AOD$ 互补，
所以$∠AOD=180°-144°=36°$.
因为 ON 是$∠AOD$ 的平分线，
所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOD=18°$.
解析
【分析】
(1) 由O是直线AB上的点可知∠AOB是平角为180°，因此∠AOC与∠BOC的和为180°；已知∠AOC和∠AOD互补，即二者和也为180°，说明∠AOD和∠BOC都是∠AOC的补角，根据同角的补角相等即可推出两个角相等。
(2) 要求∠AON的度数，首先ON是∠AOD的平分线，因此需要先求出∠AOD的度数。已知OM是∠AOC的平分线，结合∠MOC的度数可先求出∠AOC的度数，再利用∠AOC和∠AOD互补的关系算出∠AOD，最后根据角平分线的性质即可求出∠AON。
【解析】
(1) 因为$∠ AOC$与$∠ AOD$互补，
所以$∠ AOC+∠ AOD=180°$。
又因为$∠ AOC+∠BOC=180°$，
根据同角的补角相等，
所以$∠AOD=∠BOC$。
(2) 解:因为 OM 是$∠AOC$ 的平分线，
所以$∠AOC=2∠MOC=2×72°=144°$.
因为$∠AOC$ 与$∠AOD$ 互补，
所以$∠AOD=180°-144°=36°$.
因为 ON 是$∠AOD$ 的平分线，
所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×36°=18°$.
【答案】
(1) $∠ BOC$；同角的补角相等；$∠ AOD$，$∠ BOC$
(2) $18°$
【知识点】
补角的性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是梳理清楚角之间的数量关系，结合补角性质和角平分线的定义逐步推导即可，需要注意几何说理过程的逻辑性和规范性。
【难度系数】
0.85
(1) 由O是直线AB上的点可知∠AOB是平角为180°，因此∠AOC与∠BOC的和为180°；已知∠AOC和∠AOD互补，即二者和也为180°，说明∠AOD和∠BOC都是∠AOC的补角，根据同角的补角相等即可推出两个角相等。
(2) 要求∠AON的度数，首先ON是∠AOD的平分线，因此需要先求出∠AOD的度数。已知OM是∠AOC的平分线，结合∠MOC的度数可先求出∠AOC的度数，再利用∠AOC和∠AOD互补的关系算出∠AOD，最后根据角平分线的性质即可求出∠AON。
【解析】
(1) 因为$∠ AOC$与$∠ AOD$互补，
所以$∠ AOC+∠ AOD=180°$。
又因为$∠ AOC+∠BOC=180°$，
根据同角的补角相等，
所以$∠AOD=∠BOC$。
(2) 解:因为 OM 是$∠AOC$ 的平分线，
所以$∠AOC=2∠MOC=2×72°=144°$.
因为$∠AOC$ 与$∠AOD$ 互补，
所以$∠AOD=180°-144°=36°$.
因为 ON 是$∠AOD$ 的平分线，
所以$∠AON=\frac{1}{2}∠AOD=\frac{1}{2}×36°=18°$.
【答案】
(1) $∠ BOC$；同角的补角相等；$∠ AOD$，$∠ BOC$
(2) $18°$
【知识点】
补角的性质，角平分线的定义，平角的定义
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是梳理清楚角之间的数量关系，结合补角性质和角平分线的定义逐步推导即可，需要注意几何说理过程的逻辑性和规范性。
【难度系数】
0.85
【变式】若$∠ 1+∠ 2=90°,∠ 2+∠ 3=90°$,则$∠ 1=∠ 3$.理由是
同角的余角相等
.答案
同角的余角相等
解析
【分析】
解题时首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。先从已知条件入手，∠1和∠2的和为90°，说明∠1是∠2的余角；∠2和∠3的和也为90°，说明∠3也是∠2的余角，即∠1和∠3都是同一个角∠2的余角，结合余角的性质就能得到二者相等的结论。
【解析】
已知∠1+∠2=90°，根据余角的定义，可得∠1是∠2的余角；
又已知∠2+∠3=90°，同理可得∠3是∠2的余角；
因此∠1和∠3都是∠2的余角，根据余角的性质：同角的余角相等，即可推出∠1=∠3。
【答案】
同角的余角相等
【知识点】
余角的定义；余角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查余角的基本性质，只要掌握余角的相关定义和性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角。先从已知条件入手，∠1和∠2的和为90°，说明∠1是∠2的余角；∠2和∠3的和也为90°，说明∠3也是∠2的余角，即∠1和∠3都是同一个角∠2的余角，结合余角的性质就能得到二者相等的结论。
【解析】
已知∠1+∠2=90°，根据余角的定义，可得∠1是∠2的余角；
又已知∠2+∠3=90°，同理可得∠3是∠2的余角；
因此∠1和∠3都是∠2的余角，根据余角的性质：同角的余角相等，即可推出∠1=∠3。
【答案】
同角的余角相等
【知识点】
余角的定义；余角的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查余角的基本性质，只要掌握余角的相关定义和性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
1.已知一个角的余角是$20°$,则这个角的补角是 （
A.$70°$
B.$80°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）A.$70°$
B.$80°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
C
解析
【分析】
解题时需先牢记余角和补角的定义：互为余角的两个角和为90°，互为补角的两个角和为180°。我们可以分两步计算：第一步根据已知的余角度数，求出这个角本身的度数；第二步再根据补角的定义，算出这个角对应的补角度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$。
1. 求该角的度数：
根据余角的定义，该角与它的余角和为90°，可得：
$x + 20° = 90°$
解得：$x = 90° - 20° = 70°$
2. 求该角的补角度数：
根据补角的定义，该角与它的补角和为180°，可得补角度数为：
$180° - 70° = 110°$
也可直接推导：同一个角的补角比余角大90°，因此补角 = $20° + 90° = 110°$
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对余角、补角定义的掌握情况，只要熟记两类角的和的固定值，仔细计算就能正确解答。
【难度系数】
0.85
解题时需先牢记余角和补角的定义：互为余角的两个角和为90°，互为补角的两个角和为180°。我们可以分两步计算：第一步根据已知的余角度数，求出这个角本身的度数；第二步再根据补角的定义，算出这个角对应的补角度数即可。
【解析】
设这个角的度数为$x$。
1. 求该角的度数：
根据余角的定义，该角与它的余角和为90°，可得：
$x + 20° = 90°$
解得：$x = 90° - 20° = 70°$
2. 求该角的补角度数：
根据补角的定义，该角与它的补角和为180°，可得补角度数为：
$180° - 70° = 110°$
也可直接推导：同一个角的补角比余角大90°，因此补角 = $20° + 90° = 110°$
【答案】
C
【知识点】
余角的定义，补角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对余角、补角定义的掌握情况，只要熟记两类角的和的固定值，仔细计算就能正确解答。
【难度系数】
0.85
2. (2024秋襄城县期末)已知一个角的度数是$79°56'$，则它的余角的度数是 （
A.$10°4'$
B.$10°44'$
C.$100°4'$
D.$100°44'$
A
）A.$10°4'$
B.$10°44'$
C.$100°4'$
D.$100°44'$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求已知角的余角，只需用90°减去该角的度数即可。计算时要注意度和分是60进制，被减数90°没有分的部分，需要先把90°转化为89°60′，再分别对度、分做减法运算，避免换算错误。
【解析】
解：根据余角的定义，该角的余角度数为：
$90° - 79°56'$
将$90°$换算为$89°60'$（依据$1°=60'$），可得：
$89°60' - 79°56' = (89°-79°)+(60'-56') = 10°4'$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是明确余角的概念，熟练掌握度分秒的60进制换算规则，答题时注意不要混淆余角和补角的定义。
【难度系数】
0.8
首先回忆余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，因此求已知角的余角，只需用90°减去该角的度数即可。计算时要注意度和分是60进制，被减数90°没有分的部分，需要先把90°转化为89°60′，再分别对度、分做减法运算，避免换算错误。
【解析】
解：根据余角的定义，该角的余角度数为：
$90° - 79°56'$
将$90°$换算为$89°60'$（依据$1°=60'$），可得：
$89°60' - 79°56' = (89°-79°)+(60'-56') = 10°4'$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的定义；度分秒的换算
【点评】
本题是基础运算类题型，解题核心是明确余角的概念，熟练掌握度分秒的60进制换算规则，答题时注意不要混淆余角和补角的定义。
【难度系数】
0.8
