3. 如果一个角的补角是这个角的余角的5倍，
则这个角的度数是 （）

A.$45°$
B.$52.5°$
C.$60°$
D.$67.5°$

D

【分析】
要解决这道题，首先需明确余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们可以先设这个角的度数为未知数，用含未知数的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角是余角的5倍”的等量关系列方程，最后解方程求出角度即可。
【解析】
设这个角的度数为$ x° $。
根据补角定义，该角的补角为$ (180-x)° $；
根据余角定义，该角的余角为$ (90-x)° $。
结合题意列方程：
$ 180 - x = 5(90 - x) $
去括号得：$ 180 - x = 450 - 5x $
移项得：$ 5x - x = 450 - 180 $
合并同类项得：$ 4x = 270 $
系数化为1得：$ x = 67.5 $
即这个角的度数是$ 67.5° $。
【答案】
D
【知识点】
余角与补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题核心是准确掌握余角、补角的概念，通过设未知数列方程的方法即可快速求解，熟练运用方程思想能大幅提升这类几何计算问题的解题效率。
【难度系数】
0.7

4.如图，$∠ BAC=90°$，$∠ ADC=90°$，则图中相等的角是（）


A.$∠1=∠2$
B.$∠ B=∠ C$
C.$∠1=∠ B$
D.$∠1=∠ C$

D

【分析】
解题时首先从已知的直角入手，直角三角形的两个锐角互余，先找出图中互余的角组，再利用“同角的余角相等”的性质判断相等的角，最后逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
已知$∠ BAC=90°$，因此$∠ 1+∠ 2=90°$；
又已知$∠ ADC=90°$，在$△ ADC$中，两个锐角互余，因此$∠ 2+∠ C=90°$；
$∠ 1$和$∠ C$都是$∠ 2$的余角，根据“同角的余角相等”，可得$∠ 1=∠ C$。
对其他选项分析：
A选项：题目未说明$AD$是$∠ BAC$的角平分线，无法推出$∠ 1=∠ 2$；
B选项：题目未说明$AB=AC$，无法推出$∠ B=∠ C$；
C选项：在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B+∠ 1=90°$，没有依据能证明二者相等。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是余角性质的基础应用，解题关键是准确识别图中互余的角对，熟练运用同角的余角相等的性质判断角的相等关系，是余角相关知识点的典型考查题型。
【难度系数】
0.8

5. 已知∠AOB=25°42′，则∠AOB的补角等于。

$154°18'$

【分析】
解题首先要明确补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。因此求∠AOB的补角，只需用180°减去已知的∠AOB的度数即可。计算时需注意度、分是60进制，1°=60′，当被减数的分位不够减时，要从度位借1°转化为60′再进行计算。
【解析】
根据补角的定义可得：
∠AOB的补角 = 180° - ∠AOB
已知∠AOB=25°42′，将180°改写为179°60′（满足1°=60′的进制规则），代入计算：
180° - 25°42′ = 179°60′ - 25°42′ = (179° - 25°) + (60′ - 42′) = 154°18′
【答案】
$154°18'$
【知识点】
补角的定义，度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查补角的概念和度分秒的进制运算，只要掌握补角定义，注意度分秒60进制的计算规则，就能轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.8

6. (2024秋颍州区期末)一个角的余角比它的补角的$\frac{2}{3}$还少$50°$，求这个角的度数.

解:设这个角的度数为 x,则它的余角的度数为$(90°-x)$,补角的度数为$(180°-x)$,
由题意,得 $90°-x=\frac{2}{3}(180°-x)-50°$,
解得 $x=60°$.
所以这个角的度数为 $60°$.

【分析】
解决本题首先要明确余角和补角的基本概念：两个角的和为90°则两角互余，两个角的和为180°则两角互补。解题时先设这个角的度数为未知数x，用含x的代数式分别表示出它的余角和补角，再根据题干给出的“余角比补角的$\frac{2}{3}$还少50°”的等量关系列出一元一次方程，最后按解方程的步骤求解即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x$，则它的余角的度数为$(90°-x)$，补角的度数为$(180°-x)$。
由题意列方程得：
$90°-x=\frac{2}{3}(180°-x)-50°$
先化简等式右侧：$\frac{2}{3}(180°-x)=120°-\frac{2}{3}x$，因此方程变为：
$90°-x=120°-\frac{2}{3}x-50°$
化简右侧得：
$90°-x=70°-\frac{2}{3}x$
移项、合并同类项得：
$-\frac{1}{3}x=-20°$
系数化为1得：
$x=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
余角和补角的定义、列一元一次方程解应用题
【点评】
本题是余角补角相关的常规基础题，解题核心是熟练掌握余角、补角的概念，能根据题干描述准确提取等量关系列方程，主要考查对基础几何概念的理解和运用方程解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.8

7.如图，点O是直线AB上一点，OC是任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线.
(1)请直接写出图中∠BOD的补角；
(2)当∠BOE=30°时，求∠AOD的度数.

解:(1)因为 OD 平分$∠AOC$,所以$∠AOD=∠COD$,
所以$∠BOD$ 的补角是$∠AOD,∠COD$.
(2)因为$∠BOE=30°$,OE 是$∠BOC$ 的平分线，
所以$∠BOC=2∠BOE=60°$.
所以$∠AOC=180°-∠BOC=120°$.
因为 OD 是$∠AOC$ 的平分线，
所以$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOC=60°$.

【分析】
(1) 解决第一问先回忆补角定义：和为180°的两个角互为补角。首先观察图形，点O在直线AB上，可得∠BOD+∠AOD=180°，因此∠AOD是∠BOD的补角；再结合OD是∠AOC的平分线，可知∠AOD=∠COD，由此可推出∠COD也与∠BOD互补，就能得到所有符合要求的补角。
(2) 解决第二问从已知∠BOE=30°入手，先根据OE是∠BOC的平分线，求出∠BOC的度数；再利用平角为180°的性质，算出∠AOC的度数；最后结合OD是∠AOC的平分线，即可求出∠AOD的度数。
【解析】
(1) 因为OD平分∠AOC，所以∠AOD=∠COD，又因为点O在直线AB上，∠BOD+∠AOD=180°，所以∠BOD+∠COD=180°，因此∠BOD的补角为∠AOD、∠COD。
(2) 因为OE是∠BOC的平分线，∠BOE=30°，所以$∠ BOC=2∠ BOE=2×30°=60°$。
因为AB是直线，所以$∠ AOC=180°-∠ BOC=180°-60°=120°$。
又因为OD是∠AOC的平分线，所以$∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
(1) $∠ AOD$、$∠ COD$；(2) $60°$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，平角的性质
【点评】
本题是角计算的基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线、补角的相关定义，理清图中角的和差关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

8. 如图,已知O是直线AB上一点,∠BOE=∠FOD=90°,OB平分∠COD.
(1)图中与∠DOE互余的角是, , .
(2)图中是否有与∠DOE互补的角?如果有,直接写出全部结果;如果没有,说明理由.
(3)如果∠EOD:∠EOF=3:2,求∠AOC的度数.

解:(1)$∠EOF$ $∠BOD$ $∠BOC$
(2)与$∠DOE$ 互补的角有$∠BOF,∠COE$.
(3)因为$∠EOD:∠EOF=3:2$,
所以设$∠EOD=3x$,则$∠EOF=2x$.
因为$∠FOD=90°$.
所以 $3x+2x=90°$,解得 $x=18°$.
所以$∠EOF=36°$.
因为$∠BOE=∠FOD=90°$.
所以$∠DOE+∠EOF=90°,∠DOE+∠DOB=90°$.
所以$∠EOF=∠DOB=36°$.
因为 OB 平分$∠COD$,所以$∠DOB=∠COB=36°$.
因为$∠AOC+∠COB=180°$.
所以$∠AOC=180°-∠COB=144°$.

【分析】
(1) 找与∠DOE互余的角，依据互余定义（和为90°的两个角互余）推导：已知∠FOD=90°，可得∠DOE+∠EOF=90°；已知∠BOE=90°，可得∠DOE+∠BOD=90°；结合OB平分∠COD的性质，得∠BOD=∠BOC，因此∠DOE+∠BOC=90°，即可得到所有互余的角。
(2) 找与∠DOE互补的角，依据互补定义（和为180°的两个角互补）推导：先由同角的余角相等得∠DOE=∠AOF，结合平角性质可知∠AOF+∠BOF=180°，因此∠DOE与∠BOF互补；再结合角平分线性质推导可得∠DOE+∠COE=180°，因此∠COE也和∠DOE互补。
(3) 已知∠EOD和∠EOF的比例关系，且两角和为90°，因此设未知数列方程先求出∠EOF的度数，再通过同角的余角相等得到∠BOD的度数，结合角平分线性质得到∠COB的度数，最后根据平角为180°，减去∠COB即可求出∠AOC。
【解析】
(1) ① 因为∠FOD=90°，所以∠DOE+∠EOF=90°；
② 因为∠BOE=90°，所以∠DOE+∠BOD=90°；
③ 因为OB平分∠COD，所以∠BOD=∠BOC，因此∠DOE+∠BOC=90°；
综上，与∠DOE互余的角为∠EOF、∠BOD、∠BOC。
(2) 存在与∠DOE互补的角：
① 因为∠DOE+∠EOF=90°，∠AOF+∠EOF=90°，所以∠DOE=∠AOF，又因为∠AOF+∠BOF=180°，所以∠DOE+∠BOF=180°，即∠BOF与∠DOE互补；
② 因为∠COE=∠BOE+∠BOC=90°+∠BOC，∠DOE=90°-∠BOD，且∠BOC=∠BOD，所以∠COE+∠DOE=180°，即∠COE与∠DOE互补。
(3) 设∠EOD=3x，∠EOF=2x，
因为∠FOD=∠EOD+∠EOF=90°，
所以$3x+2x=90°$，解得$x=18°$，
所以∠EOF=$2×18°=36°$，
因为∠DOE+∠EOF=90°，∠DOE+∠BOD=90°，
所以∠BOD=∠EOF=36°，
因为OB平分∠COD，所以∠COB=∠BOD=36°，
因为∠AOC+∠COB=180°（平角的定义），
所以∠AOC=$180°-36°=144°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠EOF}$，$\boldsymbol{∠BOD}$，$\boldsymbol{∠BOC}$
(2) 有，与$∠DOE$互补的角是$\boldsymbol{∠BOF}$、$\boldsymbol{∠COE}$
(3) $\boldsymbol{144°}$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，角的和差计算
【点评】
本题围绕余角、补角的性质考查角的运算，需要学生准确识别图形中角的位置关系，熟练运用角平分线、平角的性质推导角的等量关系，是角的计算模块的典型基础题。
【难度系数】
0.7

9. 一只蚂蚁从点O出发，沿东北方向爬行2.5 cm碰到障碍物B后，折向北偏西$60°$的方向爬行3 cm到点C.
(1)在下图中画出蚂蚁的爬行路线；

(2)求出$∠ OBC$的度数.

解:(1)如图,蚂蚁的爬行路线为 $O→B→C$.
(2)由题意,可知$∠OBS=45°,∠CBN=60°$,
所以$∠OBC=180°-45°-60°=75°$.

【分析】
(1) 画图思路：先遵循“上北下南、左西右东”的方向标规则，东北方向就是北偏东45°方向，从原点O出发，在北偏东45°方向量取2.5cm得到点B；再以B为观测点，画出B点的南北方向辅助线，在北偏西60°方向量取3cm得到点C，连接OB、BC就是蚂蚁的爬行路线。
(2) 求角思路：首先东北方向说明OB和O点正北方向夹角为45°，由于不同观测点的南北方向线互相平行，根据内错角相等，可得OB和B点正南方向的夹角也是45°；B点的南北方向线是平角，度数为180°，用平角减去已知的两个角45°和60°，就能求出∠OBC的度数。
【解析】
(1) 画图步骤：
① 以O为原点，在北偏东45°（东北）方向上截取线段OB=2.5cm；
② 过点B作南北方向的虚线NS（N为正北，S为正南），在北偏西60°方向上截取线段BC=3cm；
所得$O\to B\to C$即为蚂蚁的爬行路线。
(2) 角度计算：
由题意可知，OB沿东北方向，因此OB与O点正北方向夹角为45°，因为O、B两点的南北方向线互相平行，可得$∠ OBS=45°$；
又已知BC沿B点北偏西60°方向，所以$∠ CBN=60°$；
因为NS为直线，$∠ NBS$是平角为$180°$，因此：
$∠ OBC=180°-∠ OBS-∠ CBN=180°-45°-60°=75°$
【答案】
(1) 如图,蚂蚁的爬行路线为 $O→B→C$.
(2) $∠ OBC$的度数为$75°$
【知识点】
方向角识别，角度和差计算，平角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查方向角的应用与角度计算，解题的核心是准确理解各方向角的含义，结合平角的性质完成角度运算，画图时要注意规范度量角度和线段长度。
【难度系数】
0.8