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1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{5}{6}(b+d≠0)$，则$\frac{a+c}{b+d}$的值为（
A.$\frac{25}{36}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$1$
D.$\frac{5}{3}$
B
）A.$\frac{25}{36}$
B.$\frac{5}{6}$
C.$1$
D.$\frac{5}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查等比性质的应用，解题思路如下：首先观察已知条件给出了两个相等的比例，且要求的是分子之和与分母之和的比值，首先回忆等比性质的内容：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}$，且$b+d+\dots+n≠0$，那么$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$。本题明确给出$b+d≠0$，满足等比性质的使用条件，可直接用性质求解；若忘记等比性质，也可通过设参数的方法，将a、c用对应比例的参数表示，代入所求式子化简即可得到结果。
【解析】
方法一：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{5}{6}$，且$b+d≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$。
方法二：参数法求解
设$a=5k$，$b=6k$，$c=5m$，$d=6m$（$k,m$均不为0），
则$a+c=5k+5m=5(k+m)$，$b+d=6k+6m=6(k+m)$，
∵$b+d≠0$，
∴$k+m≠0$，
∴$\frac{a+c}{b+d}=\frac{5(k+m)}{6(k+m)}=\frac{5}{6}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题时需注意等比性质的使用前提是各分母的和不为0，本题已给出该条件，可直接运用性质快速解题，也可通过设参数的通用方法验证结果，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
本题考查等比性质的应用，解题思路如下：首先观察已知条件给出了两个相等的比例，且要求的是分子之和与分母之和的比值，首先回忆等比性质的内容：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}$，且$b+d+\dots+n≠0$，那么$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$。本题明确给出$b+d≠0$，满足等比性质的使用条件，可直接用性质求解；若忘记等比性质，也可通过设参数的方法，将a、c用对应比例的参数表示，代入所求式子化简即可得到结果。
【解析】
方法一：运用等比性质求解
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{5}{6}$，且$b+d≠0$，根据等比性质可得：
$\frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}=\frac{5}{6}$。
方法二：参数法求解
设$a=5k$，$b=6k$，$c=5m$，$d=6m$（$k,m$均不为0），
则$a+c=5k+5m=5(k+m)$，$b+d=6k+6m=6(k+m)$，
∵$b+d≠0$，
∴$k+m≠0$，
∴$\frac{a+c}{b+d}=\frac{5(k+m)}{6(k+m)}=\frac{5}{6}$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等比性质
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题时需注意等比性质的使用前提是各分母的和不为0，本题已给出该条件，可直接运用性质快速解题，也可通过设参数的通用方法验证结果，解题思路灵活。
【难度系数】
0.8
2. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，若$b+d+f=9$，则$a+c+e=$
12
。答案
2.12
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：① 直接运用等比性质：看到多个比例值相等，且已知所有分母的和为9（不为0，满足等比性质的适用条件），可直接得到分子和与分母和的比值等于原比值，代入计算即可。② 设k法（通用方法）：设公共比值为$k=\frac{4}{3}$，将$a、c、e$分别用含对应分母和$k$的式子表示，相加后提取公因式$k$，代入$b+d+f=9$计算即可。两种方法都能快速得到结果，等比性质是这类题的快速解法，设k法是比例类题的通用解法，不容易出错。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，且$b+d+f=9≠0$
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{4}{3}$
将$b+d+f=9$代入上式，得：
$\frac{a+c+e}{9}=\frac{4}{3}$
解得：$a+c+e=9×\frac{4}{3}=12$
方法二（设k法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k=\frac{4}{3}$，则$a=kb$，$c=kd$，$e=kf$
∴ $a+c+e=kb+kd+kf=k(b+d+f)$
将$k=\frac{4}{3}$，$b+d+f=9$代入，得：
$a+c+e=\frac{4}{3}×9=12$
【答案】
12
【知识点】
等比性质，比例运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查等比性质的应用，注意使用等比性质时要确保分母之和不为0，本题明确给出分母和为9，可直接使用；若未明确分母和不为0时，可优先选择更稳妥的设k法求解，避免漏解。
【难度系数】
0.9
解题思路可从两个方向入手：① 直接运用等比性质：看到多个比例值相等，且已知所有分母的和为9（不为0，满足等比性质的适用条件），可直接得到分子和与分母和的比值等于原比值，代入计算即可。② 设k法（通用方法）：设公共比值为$k=\frac{4}{3}$，将$a、c、e$分别用含对应分母和$k$的式子表示，相加后提取公因式$k$，代入$b+d+f=9$计算即可。两种方法都能快速得到结果，等比性质是这类题的快速解法，设k法是比例类题的通用解法，不容易出错。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$，且$b+d+f=9≠0$
根据等比性质可得：$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{4}{3}$
将$b+d+f=9$代入上式，得：
$\frac{a+c+e}{9}=\frac{4}{3}$
解得：$a+c+e=9×\frac{4}{3}=12$
方法二（设k法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k=\frac{4}{3}$，则$a=kb$，$c=kd$，$e=kf$
∴ $a+c+e=kb+kd+kf=k(b+d+f)$
将$k=\frac{4}{3}$，$b+d+f=9$代入，得：
$a+c+e=\frac{4}{3}×9=12$
【答案】
12
【知识点】
等比性质，比例运算
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，核心考查等比性质的应用，注意使用等比性质时要确保分母之和不为0，本题明确给出分母和为9，可直接使用；若未明确分母和不为0时，可优先选择更稳妥的设k法求解，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3.若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}(b≠-6)$，则$\frac{a+4}{b+6}$的值为
$\frac{2}{3}$
.答案
3.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
已知a与b的比值，求分子分母分别加上对应比例常数后的比值，可从两种思路入手：思路1：参数法，根据已知比例设参数表示a和b，代入所求代数式化简，注意结合b≠-6的条件确认分母不为0、可约分项不为0；思路2：等比性质，将$\frac{4}{6}$转化为与$\frac{a}{b}$相等的比值，结合分母不为0的条件，直接用等比性质求解。
【解析】
方法一（参数法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
∴ 设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
又
∵ $b≠-6$，
∴ $3k≠-6$，即$k≠-2$，则$k+2≠0$，
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{a+4}{b+6}$得：
$\frac{a+4}{b+6}=\frac{2k+4}{3k+6}=\frac{2(k+2)}{3(k+2)}=\frac{2}{3}$。
方法二（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$，且$b≠-6$，即$b+6≠0$，
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$且$n+q≠0$，则$\frac{m+p}{n+q}=\frac{m}{n}$，
∴ $\frac{a+4}{b+6}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
比例的基本性质，等比性质，代数式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，设参数法是解决比例类问题的通用方法，等比性质的应用可以简化计算，解题时需注意先确认分母不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
已知a与b的比值，求分子分母分别加上对应比例常数后的比值，可从两种思路入手：思路1：参数法，根据已知比例设参数表示a和b，代入所求代数式化简，注意结合b≠-6的条件确认分母不为0、可约分项不为0；思路2：等比性质，将$\frac{4}{6}$转化为与$\frac{a}{b}$相等的比值，结合分母不为0的条件，直接用等比性质求解。
【解析】
方法一（参数法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，
∴ 设$a=2k$，$b=3k$（$k≠0$），
又
∵ $b≠-6$，
∴ $3k≠-6$，即$k≠-2$，则$k+2≠0$，
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{a+4}{b+6}$得：
$\frac{a+4}{b+6}=\frac{2k+4}{3k+6}=\frac{2(k+2)}{3(k+2)}=\frac{2}{3}$。
方法二（等比性质法）：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$，且$b≠-6$，即$b+6≠0$，
根据等比性质：若$\frac{m}{n}=\frac{p}{q}$且$n+q≠0$，则$\frac{m+p}{n+q}=\frac{m}{n}$，
∴ $\frac{a+4}{b+6}=\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
比例的基本性质，等比性质，代数式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，设参数法是解决比例类问题的通用方法，等比性质的应用可以简化计算，解题时需注意先确认分母不为0，保证分式有意义。
【难度系数】
0.8
4.（教材习题变式）如图，在$△ ABC$中，D，E，F分别为边AB，BC，AC上的点，连接DE，DF，EF，已知$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{2}$，若$△ DEF$的周长为8，则$△ ABC$的周长为
16
。答案
4.16
解析
【分析】
观察已知条件可得三组边的比值均为$\frac{1}{2}$，符合等比性质的使用条件：多个比相等且所有分母的和不为0（三角形边长均为正数，三边和必然不为0）。我们可以利用等比性质，将三个比的分子相加得到$△ DEF$的周长，分母相加得到$△ ABC$的周长，可知两个三角形的周长比仍为$\frac{1}{2}$，代入$△ DEF$的周长即可求出$△ ABC$的周长。
【解析】
解：已知$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{2}$，且$AB+BC+AC≠0$，
根据等比性质可得：$\frac{DE+EF+DF}{AC+AB+BC}=\frac{1}{2}$，
其中$DE+EF+DF$是$△ DEF$的周长，$AC+AB+BC$是$△ ABC$的周长，
将$△ DEF$的周长为8代入得：$\frac{8}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，
解得$C_{△ ABC}=8×2=16$。
【答案】
16
【知识点】
等比性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的实际应用，解题的核心是识别等比性质的适用特征，将对应边的比转化为周长比，代入数值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
观察已知条件可得三组边的比值均为$\frac{1}{2}$，符合等比性质的使用条件：多个比相等且所有分母的和不为0（三角形边长均为正数，三边和必然不为0）。我们可以利用等比性质，将三个比的分子相加得到$△ DEF$的周长，分母相加得到$△ ABC$的周长，可知两个三角形的周长比仍为$\frac{1}{2}$，代入$△ DEF$的周长即可求出$△ ABC$的周长。
【解析】
解：已知$\frac{DE}{AC}=\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BC}=\frac{1}{2}$，且$AB+BC+AC≠0$，
根据等比性质可得：$\frac{DE+EF+DF}{AC+AB+BC}=\frac{1}{2}$，
其中$DE+EF+DF$是$△ DEF$的周长，$AC+AB+BC$是$△ ABC$的周长，
将$△ DEF$的周长为8代入得：$\frac{8}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{2}$，
解得$C_{△ ABC}=8×2=16$。
【答案】
16
【知识点】
等比性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的实际应用，解题的核心是识别等比性质的适用特征，将对应边的比转化为周长比，代入数值即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
5. 若$\frac{x-y}{y}=\frac{3}{5}$，则$\frac{x}{y}$的值为（
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
C
）A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$\frac{8}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
5.C
解析
【分析】
拿到这道题，我们的目标是求$\frac{x}{y}$的值，观察已知等式$\frac{x-y}{y}=\frac{3}{5}$的结构，有两种符合学段要求的解题思路：思路一：可以先将等式左边的分式拆分为两个同分母分式相减，变形后直接得到含$\frac{x}{y}$的式子，进而求解；思路二：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘后整理等式，也能推导出$x$和$y$的比值关系，两种方法计算量都很小。
【解析】
方法一（拆分分式法）：
对已知等式左边变形：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
代入原式得：
$\frac{x}{y}-1=\frac{3}{5}$
移项计算得：
$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$
方法二（比例基本性质法）：
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$5(x-y)=3y$
展开左边：
$5x-5y=3y$
移项合并同类项：
$5x=8y$
题目隐含分母$y≠0$，等式两边同时除以$5y$得：
$\frac{x}{y}=\frac{8}{5}$
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质、分式的化简运算
【点评】
本题是比例运算的基础题型，解题方法灵活，熟练掌握比例相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，我们的目标是求$\frac{x}{y}$的值，观察已知等式$\frac{x-y}{y}=\frac{3}{5}$的结构，有两种符合学段要求的解题思路：思路一：可以先将等式左边的分式拆分为两个同分母分式相减，变形后直接得到含$\frac{x}{y}$的式子，进而求解；思路二：利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，交叉相乘后整理等式，也能推导出$x$和$y$的比值关系，两种方法计算量都很小。
【解析】
方法一（拆分分式法）：
对已知等式左边变形：
$\frac{x-y}{y}=\frac{x}{y}-\frac{y}{y}=\frac{x}{y}-1$
代入原式得：
$\frac{x}{y}-1=\frac{3}{5}$
移项计算得：
$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$
方法二（比例基本性质法）：
根据比例的基本性质，交叉相乘得：
$5(x-y)=3y$
展开左边：
$5x-5y=3y$
移项合并同类项：
$5x=8y$
题目隐含分母$y≠0$，等式两边同时除以$5y$得：
$\frac{x}{y}=\frac{8}{5}$
【答案】
C
【知识点】
比例的基本性质、分式的化简运算
【点评】
本题是比例运算的基础题型，解题方法灵活，熟练掌握比例相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.(2025·成都)若$\frac{a}{b}=3$，则$\frac{a+b}{b}$的值为
4
。答案
6.4
解析
【分析】
本题是分式求值类基础题，有两种清晰的解题思路：思路1：观察所求分式$\frac{a+b}{b}$的结构，可利用同分母分式加法的逆运算，将其拆分为$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{b}$的和，其中$\frac{a}{b}$是已知条件，直接代入即可计算结果；思路2：先根据已知条件用含$b$的代数式表示$a$，再代入所求分式约分化简即可，注意$b$作为分母不为0，约分符合运算规则。
【解析】
方法一：根据同分母分式的运算性质：
$\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1$
将$\frac{a}{b}=3$代入上式，可得原式$=3+1=4$。
方法二：由$\frac{a}{b}=3$可得$a=3b$（$b≠0$），将$a=3b$代入所求分式：
$\frac{a+b}{b}=\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$（$b≠0$，可约去公因式$b$）。
【答案】
4
【知识点】
分式化简求值，代数式代入运算
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题方法灵活，既可以拆分分式直接代入已知条件快速计算，也可以通过参数代换的方式化简求解，核心考查对分式运算规则的掌握。
【难度系数】
0.9
本题是分式求值类基础题，有两种清晰的解题思路：思路1：观察所求分式$\frac{a+b}{b}$的结构，可利用同分母分式加法的逆运算，将其拆分为$\frac{a}{b}$和$\frac{b}{b}$的和，其中$\frac{a}{b}$是已知条件，直接代入即可计算结果；思路2：先根据已知条件用含$b$的代数式表示$a$，再代入所求分式约分化简即可，注意$b$作为分母不为0，约分符合运算规则。
【解析】
方法一：根据同分母分式的运算性质：
$\frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + \frac{b}{b} = \frac{a}{b} + 1$
将$\frac{a}{b}=3$代入上式，可得原式$=3+1=4$。
方法二：由$\frac{a}{b}=3$可得$a=3b$（$b≠0$），将$a=3b$代入所求分式：
$\frac{a+b}{b}=\frac{3b+b}{b}=\frac{4b}{b}=4$（$b≠0$，可约去公因式$b$）。
【答案】
4
【知识点】
分式化简求值，代数式代入运算
【点评】
本题是分式求值的基础题型，解题方法灵活，既可以拆分分式直接代入已知条件快速计算，也可以通过参数代换的方式化简求解，核心考查对分式运算规则的掌握。
【难度系数】
0.9
7. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}(b+d-2f≠0)$，则$\frac{a+c-2e}{b+d-2f}$的值为
$\frac{3}{4}$
。答案
7.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式求值问题，通常有两种解题思路：①直接运用等比性质求解，需先确认分母的代数和不为0，本题已给出$b+d-2f≠0$，满足等比性质的适用条件；②设比例系数法，将每个比例的分子用分母乘比例系数表示，代入待求分式后约分即可得到结果，两种方法均符合比例知识的应用要求，可灵活选择。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且题目给出$b+d-2f≠0$，
根据等比性质：若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}=k$，且$b_1+b_2+\dots+b_n≠0$，则$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=k$，
可得$\frac{a+c-2e}{b+d-2f}=\frac{3}{4}$。
方法二（参数法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，则$a=\frac{3}{4}b$，$c=\frac{3}{4}d$，$e=\frac{3}{4}f$，
将上述关系代入待求分式：
$\frac{a+c-2e}{b+d-2f}=\frac{\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}d-2×\frac{3}{4}f}{b+d-2f}=\frac{\frac{3}{4}(b+d-2f)}{b+d-2f}$，
∵$b+d-2f≠0$，约分后可得结果为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质；分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题的关键是牢记等比性质的适用前提（分母的和不为0），也可通过设参数的通用方法求解，两种方法都是比例求值类问题的常用技巧，熟练掌握可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
遇到连等的比例式求值问题，通常有两种解题思路：①直接运用等比性质求解，需先确认分母的代数和不为0，本题已给出$b+d-2f≠0$，满足等比性质的适用条件；②设比例系数法，将每个比例的分子用分母乘比例系数表示，代入待求分式后约分即可得到结果，两种方法均符合比例知识的应用要求，可灵活选择。
【解析】
方法一（等比性质法）：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且题目给出$b+d-2f≠0$，
根据等比性质：若$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\dots=\frac{a_n}{b_n}=k$，且$b_1+b_2+\dots+b_n≠0$，则$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{b_1+b_2+\dots+b_n}=k$，
可得$\frac{a+c-2e}{b+d-2f}=\frac{3}{4}$。
方法二（参数法）：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，则$a=\frac{3}{4}b$，$c=\frac{3}{4}d$，$e=\frac{3}{4}f$，
将上述关系代入待求分式：
$\frac{a+c-2e}{b+d-2f}=\frac{\frac{3}{4}b+\frac{3}{4}d-2×\frac{3}{4}f}{b+d-2f}=\frac{\frac{3}{4}(b+d-2f)}{b+d-2f}$，
∵$b+d-2f≠0$，约分后可得结果为$\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质；分式化简
【点评】
本题是比例性质的基础应用题，解题的关键是牢记等比性质的适用前提（分母的和不为0），也可通过设参数的通用方法求解，两种方法都是比例求值类问题的常用技巧，熟练掌握可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
8.若$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，且$x+2y+z=36$，则$x=$
6
，$y=$9
，$z=$12
。答案
8.6 9 12
解析
【分析】遇到连比相等的式子，通常采用设参数法求解：先设这个相等的比值为参数k，就可以将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入已知的方程得到关于k的一元一次方程，解出k的值后就能分别求出x、y、z的数值。
【解析】解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，
则可得$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$，
将上述表达式代入$x+2y+z=36$，得：
$2k + 2×3k + 4k = 36$
合并同类项得：$12k=36$
解得：$k=3$
所以$x=2k=2×3=6$，$y=3k=3×3=9$，$z=4k=4×3=12$。
【答案】6；9；12
【知识点】比例的性质；一元一次方程的解法
【点评】本题是比例应用的基础题型，核心解题技巧是遇到连比等式时引入参数，将多个未知量统一用同一个参数表示，进而转化为熟悉的一元一次方程求解，思路清晰易懂。
【难度系数】0.8
【解析】解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k$，
则可得$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$，
将上述表达式代入$x+2y+z=36$，得：
$2k + 2×3k + 4k = 36$
合并同类项得：$12k=36$
解得：$k=3$
所以$x=2k=2×3=6$，$y=3k=3×3=9$，$z=4k=4×3=12$。
【答案】6；9；12
【知识点】比例的性质；一元一次方程的解法
【点评】本题是比例应用的基础题型，核心解题技巧是遇到连比等式时引入参数，将多个未知量统一用同一个参数表示，进而转化为熟悉的一元一次方程求解，思路清晰易懂。
【难度系数】0.8
9. 已知a,b,c是$△ ABC$的三边长，满足$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}$，且$a+b+c=12$，请探索$△ ABC$的形状。
答案
9.解:由等比性质,得$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{a+4+b+3+c+8}{3+2+4}=\frac{a+b+c+15}{9},$
∵a+b+c=12,
∴$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{12+15}{9}=3.$
∴a+4=9,b+3=6,c+8=12.
∴a=5,b=3,c=4.
∵b²+c²=3²+4²=25=a²,
∴△ABC是直角三角形.
∵a+b+c=12,
∴$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{12+15}{9}=3.$
∴a+4=9,b+3=6,c+8=12.
∴a=5,b=3,c=4.
∵b²+c²=3²+4²=25=a²,
∴△ABC是直角三角形.
解析
【分析】
首先观察题目给出的连等比例式，以及三边长之和$a+b+c=12$的条件，可优先运用等比性质求解连等式的比值：等比性质指出多个相等的比，其分子之和与分母之和的比等于原比值，刚好可以结合$a+b+c=12$求出比值；得到比值后即可分别计算出$a、b、c$的长度；最后利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：由等比性质，得
$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{a+4+b+3+c+8}{3+2+4}=\frac{a+b+c+15}{9}$
∵$a+b+c=12$
∴$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{12+15}{9}=3$
∴$a+4=3×3=9$，$b+3=2×3=6$，$c+8=4×3=12$
解得：$a=5$，$b=3$，$c=4$
∵$b^2+c^2=3^2+4^2=9+16=25=a^2$
∴$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
等比性质；勾股定理的逆定理；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用等比性质求出连比的比值，进而得到三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理完成形状判定，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的连等比例式，以及三边长之和$a+b+c=12$的条件，可优先运用等比性质求解连等式的比值：等比性质指出多个相等的比，其分子之和与分母之和的比等于原比值，刚好可以结合$a+b+c=12$求出比值；得到比值后即可分别计算出$a、b、c$的长度；最后利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：由等比性质，得
$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{a+4+b+3+c+8}{3+2+4}=\frac{a+b+c+15}{9}$
∵$a+b+c=12$
∴$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=\frac{12+15}{9}=3$
∴$a+4=3×3=9$，$b+3=2×3=6$，$c+8=4×3=12$
解得：$a=5$，$b=3$，$c=4$
∵$b^2+c^2=3^2+4^2=9+16=25=a^2$
∴$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
等比性质；勾股定理的逆定理；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是灵活运用等比性质求出连比的比值，进而得到三角形三边长，再结合勾股定理的逆定理完成形状判定，熟练掌握相关性质定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. A教材经典方法·等比设k，若$\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=k$，则k的值为
2或-1
。答案
10.2或-1
解析
【分析】
遇到连等的比例式求比值的问题，首先考虑运用等比性质求解，但需注意等比性质的适用条件为所有分母的和不为0，因此本题需要分两种情况讨论：①当a+b+c≠0时，直接应用等比性质计算k的值；②当a+b+c=0时，将分子转化为含c（或a、b）的式子，代入比例式计算k的值，通过分类讨论避免漏解。
【解析】
由题意可得：$a+b = kc$，$b+c = ka$，$c+a = kb$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$(a+b)+(b+c)+(c+a) = kc + ka + kb$
整理得：$2(a+b+c) = k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，解得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，可得$a+b = -c$，代入$\frac{a+b}{c}=k$，得$k=\frac{-c}{c}=-1$（原式分母不为0，因此c≠0，符合题意）。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
等比性质；分类讨论思想；分式有意义的条件
【点评】
本题是等比性质应用的常考题型，易错点是忽略等比性质的适用前提，漏掉a+b+c=0的情况导致漏解，解题时遇到需要除以含字母的整式的情况，要优先考虑整式是否为0，合理分类讨论。
【难度系数】
0.6
遇到连等的比例式求比值的问题，首先考虑运用等比性质求解，但需注意等比性质的适用条件为所有分母的和不为0，因此本题需要分两种情况讨论：①当a+b+c≠0时，直接应用等比性质计算k的值；②当a+b+c=0时，将分子转化为含c（或a、b）的式子，代入比例式计算k的值，通过分类讨论避免漏解。
【解析】
由题意可得：$a+b = kc$，$b+c = ka$，$c+a = kb$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$(a+b)+(b+c)+(c+a) = kc + ka + kb$
整理得：$2(a+b+c) = k(a+b+c)$
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，等式两边同时除以$a+b+c$，解得$k=2$；
2. 当$a+b+c = 0$时，可得$a+b = -c$，代入$\frac{a+b}{c}=k$，得$k=\frac{-c}{c}=-1$（原式分母不为0，因此c≠0，符合题意）。
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
等比性质；分类讨论思想；分式有意义的条件
【点评】
本题是等比性质应用的常考题型，易错点是忽略等比性质的适用前提，漏掉a+b+c=0的情况导致漏解，解题时遇到需要除以含字母的整式的情况，要优先考虑整式是否为0，合理分类讨论。
【难度系数】
0.6
11.(教材习题变式)已知长$AB=30$，宽$BC=20$的矩形黑板$ABCD$.
(1)如图1，若矩形黑板$ABCD$四周有宽为1的边框区域，则图中的矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
(2)如图2，当$x=$
(1)如图1，若矩形黑板$ABCD$四周有宽为1的边框区域，则图中的矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似吗？请说明理由.
(2)如图2，当$x=$
1.5或9
时，图中的矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似.答案
11.解:(1)不相似.理由如下:
∵AB=30,A'B'=30-2=28,BC=20,B'C'=20-2=18,而$\frac{28}{30}≠\frac{18}{20},∴$矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似.(2)1.5或9
∵AB=30,A'B'=30-2=28,BC=20,B'C'=20-2=18,而$\frac{28}{30}≠\frac{18}{20},∴$矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似.(2)1.5或9
解析
【分析】
(1)要判断两个矩形是否相似，矩形的四个角均为直角，已满足对应角相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。先求出内部矩形$A'B'C'D'$的长和宽，再分别计算两个矩形长的比值、宽的比值，判断比值是否相等就能得出结论。
(2)图2中上下边框宽度为1，左右边框宽度为$x$，先表示出内部矩形的长$A'B'=30-2x$，宽$B'C'=20-2×1=18$。两个矩形相似时对应边成比例，需分两种情况讨论：①矩形$ABCD$的长对应矩形$A'B'C'D'$的长，宽对应宽；②矩形$ABCD$的长对应矩形$A'B'C'D'$的宽，宽对应长，分别列比例方程求解，舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知$AB=30$，$BC=20$，四周边框宽为1，
$\therefore A'B' = AB - 2×1 = 30 - 2 = 28$，
$B'C' = BC - 2×1 = 20 - 2 = 18$，
$\because \frac{A'B'}{AB} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$，
且 $\frac{14}{15} ≠ \frac{9}{10}$，即两个矩形对应边不成比例，
$\therefore$ 矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似。
(2) 由图2可知，上下边框宽为1，左右边框宽为$x$，
$\therefore A'B' = 30 - 2x$，$B'C' = 20 - 2×1 = 18$，
若矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似，分两种情况：
① 当$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$时，即$\frac{30}{30-2x} = \frac{20}{18}$，
交叉相乘得：$20(30-2x) = 30×18$，
化简得：$600 - 40x = 540$，
解得：$x = 1.5$，经检验符合题意；
② 当$\frac{AB}{B'C'} = \frac{BC}{A'B'}$时，即$\frac{30}{18} = \frac{20}{30-2x}$，
交叉相乘得：$30(30-2x) = 20×18$，
化简得：$900 - 60x = 360$，
解得：$x = 9$，经检验符合题意；
综上，$x$的值为1.5或9。
【答案】
(1)不相似，理由见解析；(2)1.5或9
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质；解比例方程
【点评】
本题考查相似多边形的判定，解题时要注意矩形相似除了对应角相等外，必须满足对应边成比例，对应边的对应关系有两种情况，不要漏解，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
(1)要判断两个矩形是否相似，矩形的四个角均为直角，已满足对应角相等，因此只需验证对应边是否成比例即可。先求出内部矩形$A'B'C'D'$的长和宽，再分别计算两个矩形长的比值、宽的比值，判断比值是否相等就能得出结论。
(2)图2中上下边框宽度为1，左右边框宽度为$x$，先表示出内部矩形的长$A'B'=30-2x$，宽$B'C'=20-2×1=18$。两个矩形相似时对应边成比例，需分两种情况讨论：①矩形$ABCD$的长对应矩形$A'B'C'D'$的长，宽对应宽；②矩形$ABCD$的长对应矩形$A'B'C'D'$的宽，宽对应长，分别列比例方程求解，舍去不符合实际意义的解即可。
【解析】
(1) 不相似，理由如下：
已知$AB=30$，$BC=20$，四周边框宽为1，
$\therefore A'B' = AB - 2×1 = 30 - 2 = 28$，
$B'C' = BC - 2×1 = 20 - 2 = 18$，
$\because \frac{A'B'}{AB} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15}$，$\frac{B'C'}{BC} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$，
且 $\frac{14}{15} ≠ \frac{9}{10}$，即两个矩形对应边不成比例，
$\therefore$ 矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似。
(2) 由图2可知，上下边框宽为1，左右边框宽为$x$，
$\therefore A'B' = 30 - 2x$，$B'C' = 20 - 2×1 = 18$，
若矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$相似，分两种情况：
① 当$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'}$时，即$\frac{30}{30-2x} = \frac{20}{18}$，
交叉相乘得：$20(30-2x) = 30×18$，
化简得：$600 - 40x = 540$，
解得：$x = 1.5$，经检验符合题意；
② 当$\frac{AB}{B'C'} = \frac{BC}{A'B'}$时，即$\frac{30}{18} = \frac{20}{30-2x}$，
交叉相乘得：$30(30-2x) = 20×18$，
化简得：$900 - 60x = 360$，
解得：$x = 9$，经检验符合题意；
综上，$x$的值为1.5或9。
【答案】
(1)不相似，理由见解析；(2)1.5或9
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质；解比例方程
【点评】
本题考查相似多边形的判定，解题时要注意矩形相似除了对应角相等外，必须满足对应边成比例，对应边的对应关系有两种情况，不要漏解，求解后要注意验证解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6
