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12. 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，依据所标数据，解答下列问题.
(1)求∠B的度数.
(2)求边x，y的长.
(1)求∠B的度数.
(2)求边x，y的长.
答案
12. 解:(1)
∵四边形$ABCD∽四边形 A'B'C'D',\therefore ∠C=∠C'=135°.$
$∴∠B=360°-60°-135°-95°=70°.$(2)$∵$四边形$ABCD∽四边形 A'B'C'D',\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$,即$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$,解得 $x=4$,$y=18.$
∵四边形$ABCD∽四边形 A'B'C'D',\therefore ∠C=∠C'=135°.$
$∴∠B=360°-60°-135°-95°=70°.$(2)$∵$四边形$ABCD∽四边形 A'B'C'D',\therefore \frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$,即$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$,解得 $x=4$,$y=18.$
解析
【分析】
本题主要利用相似多边形的性质求解。对于(1)求∠B的度数：首先根据相似多边形对应角相等得到∠C的度数，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去其余三个已知内角的度数即可求出∠B。对于(2)求x、y的长度：根据相似多边形对应边成比例，先确定对应边的比例关系，列出比例式后求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD∽四边形A'B'C'D'$，
∴相似四边形对应角相等，即$∠C=∠C'=135°$，
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-60°-95°-135°=70°$。
(2)
∵四边形$ABCD∽四边形A'B'C'D'$，
∴相似四边形对应边成比例，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
代入已知边长得：$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$，
解$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}$，交叉相乘得$8y=144$，解得$y=18$；
解$\frac{12}{8}=\frac{6}{x}$，交叉相乘得$12x=48$，解得$x=4$。
【答案】
(1) $∠B=70°$；(2) $x=4$，$y=18$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和，比例计算
【点评】
本题是相似多边形的基础考查题，解题关键是准确识别相似图形的对应角和对应边，结合四边形内角和定理与比例的性质即可求解。
【难度系数】
0.8
本题主要利用相似多边形的性质求解。对于(1)求∠B的度数：首先根据相似多边形对应角相等得到∠C的度数，再结合四边形内角和为360°，用内角和减去其余三个已知内角的度数即可求出∠B。对于(2)求x、y的长度：根据相似多边形对应边成比例，先确定对应边的比例关系，列出比例式后求解即可得到x、y的值。
【解析】
(1)
∵四边形$ABCD∽四边形A'B'C'D'$，
∴相似四边形对应角相等，即$∠C=∠C'=135°$，
∵四边形内角和为$360°$，
∴$∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-60°-95°-135°=70°$。
(2)
∵四边形$ABCD∽四边形A'B'C'D'$，
∴相似四边形对应边成比例，即$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，
代入已知边长得：$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}=\frac{6}{x}$，
解$\frac{12}{8}=\frac{y}{12}$，交叉相乘得$8y=144$，解得$y=18$；
解$\frac{12}{8}=\frac{6}{x}$，交叉相乘得$12x=48$，解得$x=4$。
【答案】
(1) $∠B=70°$；(2) $x=4$，$y=18$
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和，比例计算
【点评】
本题是相似多边形的基础考查题，解题关键是准确识别相似图形的对应角和对应边，结合四边形内角和定理与比例的性质即可求解。
【难度系数】
0.8
13. 若$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$，则$\frac{2a - b}{a + 2b}=$
$\frac{1}{8}$
.答案
13.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
已知a和b的比例关系，求含a、b的分式的值，可通过设参数的方法，将a、b用同一个参数表示，再代入待求分式，参数会在约分时消去，即可得到结果；也可利用比例基本性质将其中一个未知数用另一个未知数表示，代入分式化简求值。
【解析】
方法一：设参数法
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k(k≠0)$，则$a=2k$，$b=3k$。
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{2a - b}{a + 2b}$可得：
$\frac{2×2k - 3k}{2k + 2×3k}=\frac{4k - 3k}{2k + 6k}=\frac{k}{8k}=\frac{1}{8}$。
方法二：比例性质转化法
由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$根据比例基本性质得$3a=2b$，即$b=\frac{3}{2}a(a≠0)$。
将$b=\frac{3}{2}a$代入$\frac{2a - b}{a + 2b}$可得：
$\frac{2a - \frac{3}{2}a}{a + 2×\frac{3}{2}a}=\frac{\frac{1}{2}a}{4a}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例类求值的常规题型，设参数法是解决这类问题的常用技巧，可将多个未知量统一为同一个参数，大幅简化计算，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
已知a和b的比例关系，求含a、b的分式的值，可通过设参数的方法，将a、b用同一个参数表示，再代入待求分式，参数会在约分时消去，即可得到结果；也可利用比例基本性质将其中一个未知数用另一个未知数表示，代入分式化简求值。
【解析】
方法一：设参数法
设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k(k≠0)$，则$a=2k$，$b=3k$。
将$a=2k$，$b=3k$代入$\frac{2a - b}{a + 2b}$可得：
$\frac{2×2k - 3k}{2k + 2×3k}=\frac{4k - 3k}{2k + 6k}=\frac{k}{8k}=\frac{1}{8}$。
方法二：比例性质转化法
由$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$根据比例基本性质得$3a=2b$，即$b=\frac{3}{2}a(a≠0)$。
将$b=\frac{3}{2}a$代入$\frac{2a - b}{a + 2b}$可得：
$\frac{2a - \frac{3}{2}a}{a + 2×\frac{3}{2}a}=\frac{\frac{1}{2}a}{4a}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例类求值的常规题型，设参数法是解决这类问题的常用技巧，可将多个未知量统一为同一个参数，大幅简化计算，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
14.(教材习题变式)如图,把一张大矩形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相同的小矩形纸片.若得到的小矩形纸片的长与宽的比与原来大矩形纸片长与宽的比相同,则大矩形纸片的长与宽的比值为
$\sqrt{3}$
.答案
14.$\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先根据题意可知大矩形与小矩形的长宽比相等，即两个矩形相似，对应边成比例。我们可以先设出大矩形的长和宽，再结合裁剪方式表示出小矩形的长和宽，接着根据比例相等列出方程，最后结合线段长度为正的性质舍去负根，即可求出大矩形长宽的比值。
【解析】
解：设大矩形纸片的长为$x$，宽为$y$。
由裁剪方式可得，裁得的小矩形纸片的长为$y$，宽为$\frac{x}{3}$。
因为小矩形纸片的长与宽的比和大矩形纸片的长与宽的比相同，所以可列比例式：
$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{3}}$
整理得：$y^2 = \frac{x^2}{3}$，即$\frac{x^2}{y^2}=3$。
由于矩形的长、宽均为正数，因此长宽的比值为正数，开方得$\frac{x}{y}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形对应边成比例；比例方程求解
【点评】
本题的易错点是容易混淆小矩形的长和宽，解题时要结合图形明确裁剪后小矩形的长宽与大矩形长宽的对应关系，求解时注意结合实际意义舍去负根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先根据题意可知大矩形与小矩形的长宽比相等，即两个矩形相似，对应边成比例。我们可以先设出大矩形的长和宽，再结合裁剪方式表示出小矩形的长和宽，接着根据比例相等列出方程，最后结合线段长度为正的性质舍去负根，即可求出大矩形长宽的比值。
【解析】
解：设大矩形纸片的长为$x$，宽为$y$。
由裁剪方式可得，裁得的小矩形纸片的长为$y$，宽为$\frac{x}{3}$。
因为小矩形纸片的长与宽的比和大矩形纸片的长与宽的比相同，所以可列比例式：
$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{3}}$
整理得：$y^2 = \frac{x^2}{3}$，即$\frac{x^2}{y^2}=3$。
由于矩形的长、宽均为正数，因此长宽的比值为正数，开方得$\frac{x}{y}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
相似多边形对应边成比例；比例方程求解
【点评】
本题的易错点是容易混淆小矩形的长和宽，解题时要结合图形明确裁剪后小矩形的长宽与大矩形长宽的对应关系，求解时注意结合实际意义舍去负根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
15. A教材经典设问·相似正方形 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
。答案
15.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
要计算两个正方形的相似比，需先明确相似比是相似多边形对应边的比值，因此我们只需找到两个正方形边长的数量关系即可。首先可设大正方形ABCD的边长为参数，根据BE=BC得到小正方形FBGE的对角线长度，再结合正方形对角线长是边长的√2倍的性质，求出小正方形的边长，最终计算两个正方形边长的比值即为所求相似比。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长BC=a，
∵ BE=BC，
∴ BE=a。
∵ 四边形FBGE是正方形，
∴ BE是正方形FBGE的对角线，设正方形FBGE的边长为x，
根据正方形对角线与边长的关系（由勾股定理可得），得BE=√2 x，
代入BE=a，得√2 x = a，解得x=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
∵ 相似多边形的相似比为对应边的比值，
∴ 正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为x:a = $\frac{\sqrt{2}a}{2}:a = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似比的定义，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形的性质和相似比的计算，解题的核心是抓住BE=BC这一条件，建立两个正方形边长之间的联系，熟练掌握正方形对角线与边长的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
要计算两个正方形的相似比，需先明确相似比是相似多边形对应边的比值，因此我们只需找到两个正方形边长的数量关系即可。首先可设大正方形ABCD的边长为参数，根据BE=BC得到小正方形FBGE的对角线长度，再结合正方形对角线长是边长的√2倍的性质，求出小正方形的边长，最终计算两个正方形边长的比值即为所求相似比。
【解析】
解：设正方形ABCD的边长BC=a，
∵ BE=BC，
∴ BE=a。
∵ 四边形FBGE是正方形，
∴ BE是正方形FBGE的对角线，设正方形FBGE的边长为x，
根据正方形对角线与边长的关系（由勾股定理可得），得BE=√2 x，
代入BE=a，得√2 x = a，解得x=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$。
∵ 相似多边形的相似比为对应边的比值，
∴ 正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为x:a = $\frac{\sqrt{2}a}{2}:a = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似比的定义，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查正方形的性质和相似比的计算，解题的核心是抓住BE=BC这一条件，建立两个正方形边长之间的联系，熟练掌握正方形对角线与边长的关系是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,CD 是斜边 AB 上的高,试猜想线段 AB,AC,BC,CD 是不是成比例线段,并说明理由. 
答案
16. 解:AB,AC,BC,CD 是成比例线段. 理由: $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC, \therefore AB · CD = AC · BC. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}. \therefore AB,AC,BC,CD$ 是成比例线段.
解析
【分析】
要判断四条线段是否为成比例线段，只需验证是否满足“两条线段的比值等于另外两条线段的比值”，即对应线段的乘积相等即可。本题中△ABC为直角三角形，CD是斜边AB上的高，我们可以通过两种不同的方式计算△ABC的面积，建立四条线段之间的等量关系，再将乘积式转化为比例式即可完成判断。
【解析】
解：AB、AC、BC、CD是成比例线段，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$（以AC、BC为直角边计算面积），
同时$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD$（以AB为底，CD为高计算面积），
∴$\frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$，
等式两边同时乘2得：$AB·CD = AC·BC$，
根据比例的基本性质，将乘积式改写为比例式可得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，符合成比例线段的定义。
【答案】
AB,AC,BC,CD是成比例线段。理由: $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC, \therefore AB · CD = AC · BC. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}. \therefore AB,AC,BC,CD$是成比例线段。
【知识点】
成比例线段的判定，直角三角形面积计算，比例的基本性质
【点评】
本题属于成比例线段判定的基础题型，解题的核心是灵活运用面积法建立线段间的等量关系，无需复杂的证明，解题思路较为巧妙，需掌握面积法推导线段关系的技巧。
【难度系数】
0.8
要判断四条线段是否为成比例线段，只需验证是否满足“两条线段的比值等于另外两条线段的比值”，即对应线段的乘积相等即可。本题中△ABC为直角三角形，CD是斜边AB上的高，我们可以通过两种不同的方式计算△ABC的面积，建立四条线段之间的等量关系，再将乘积式转化为比例式即可完成判断。
【解析】
解：AB、AC、BC、CD是成比例线段，理由如下：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AC·BC$（以AC、BC为直角边计算面积），
同时$S_{△ABC} = \frac{1}{2}AB·CD$（以AB为底，CD为高计算面积），
∴$\frac{1}{2}AB·CD = \frac{1}{2}AC·BC$，
等式两边同时乘2得：$AB·CD = AC·BC$，
根据比例的基本性质，将乘积式改写为比例式可得：$\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}$，符合成比例线段的定义。
【答案】
AB,AC,BC,CD是成比例线段。理由: $\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}AC · BC, \therefore AB · CD = AC · BC. \therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}. \therefore AB,AC,BC,CD$是成比例线段。
【知识点】
成比例线段的判定，直角三角形面积计算，比例的基本性质
【点评】
本题属于成比例线段判定的基础题型，解题的核心是灵活运用面积法建立线段间的等量关系，无需复杂的证明，解题思路较为巧妙，需掌握面积法推导线段关系的技巧。
【难度系数】
0.8
17.如图，E是菱形ABCD对角线CA的延长线上一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接EB，GD.
(1)求证:EB=GD.
(2)若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长.
(1)求证:EB=GD.
(2)若∠DAB=60°,AB=2,求GD的长.
答案
17. 解:(1)证明:$∵$菱形 $AEFG∽$菱形 $ABCD,∴AE=AG,AB=AD$,$∠EAG=∠BAD. ∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$,即$∠EAB=∠GAD. ∴△AEB≌△AGD(SAS). ∴EB=GD.$(2)连接BD,交AC于点P,则$BP⊥AC. ∵$菱形是轴对称图形,$∴AC$平分$∠DAB. ∵∠DAB=60°,∴∠PAB=30°. ∵$菱形 $AEFG∽$菱形$ABCD$,相似比是$\frac{\sqrt{3}}{2},AB=2,∴AE=\sqrt{3},BP=\frac{1}{2}AB=1. ∴AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}. ∴EP=2\sqrt{3}. ∴EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{13}. ∴GD=\sqrt{13}.$
解析
【分析】
(1) 要证明$EB=GD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合菱形四条边相等的性质可得$AE=AG$、$AB=AD$，再根据相似多边形对应角相等得到$∠EAG=∠BAD$，通过角的和差关系推导得到$∠EAB=∠GAD$，即可利用SAS判定$△ AEB≌△ AGD$，进而得到对应边相等。
(2) 由(1)的结论可知$GD=EB$，因此只需计算$EB$的长度即可。连接$BD$交$AC$于点$P$，利用菱形对角线互相垂直且平分内角的性质，可得$BP⊥AC$，$∠PAB=30°$，结合已知条件先计算出$BP$、$AP$的长度，再根据相似比求出$AE$的长度，进而得到$EP$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ EBP$中利用勾股定理求出$EB$的长，即可得到$GD$的长。
【解析】
(1) 证明：$∵$菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，
$∴AE=AG$，$AB=AD$，$∠EAG=∠BAD$，
$∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$，即$∠EAB=∠GAD$，
在$△ AEB$和$△ AGD$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠EAB=∠GAD \\AB=AD\end{cases}$
$∴△ AEB≌△ AGD(\mathrm{SAS})$，
$∴EB=GD$。
(2) 解：连接$BD$，交$AC$于点$P$，则$BP⊥AC$，
$∵$菱形对角线平分内角，$∴AC$平分$∠DAB$，
$∵∠DAB=60°$，$∴∠PAB=30°$，
$∵$菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，相似比是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AB=2$，
$∴\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AE=\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠PAB=30°$，
$∴BP=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$∴EP=AE+AP=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△ EBP$中，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
由(1)知$EB=GD$，$∴GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\sqrt{13}$
【知识点】
相似多边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形、相似多边形、全等三角形、勾股定理的相关知识点结合考查，解题的关键是通过全等关系转化待求线段，合理构造直角三角形完成长度计算，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明$EB=GD$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先结合菱形四条边相等的性质可得$AE=AG$、$AB=AD$，再根据相似多边形对应角相等得到$∠EAG=∠BAD$，通过角的和差关系推导得到$∠EAB=∠GAD$，即可利用SAS判定$△ AEB≌△ AGD$，进而得到对应边相等。
(2) 由(1)的结论可知$GD=EB$，因此只需计算$EB$的长度即可。连接$BD$交$AC$于点$P$，利用菱形对角线互相垂直且平分内角的性质，可得$BP⊥AC$，$∠PAB=30°$，结合已知条件先计算出$BP$、$AP$的长度，再根据相似比求出$AE$的长度，进而得到$EP$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ EBP$中利用勾股定理求出$EB$的长，即可得到$GD$的长。
【解析】
(1) 证明：$∵$菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，
$∴AE=AG$，$AB=AD$，$∠EAG=∠BAD$，
$∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB$，即$∠EAB=∠GAD$，
在$△ AEB$和$△ AGD$中：
$\begin{cases}AE=AG \\∠EAB=∠GAD \\AB=AD\end{cases}$
$∴△ AEB≌△ AGD(\mathrm{SAS})$，
$∴EB=GD$。
(2) 解：连接$BD$，交$AC$于点$P$，则$BP⊥AC$，
$∵$菱形对角线平分内角，$∴AC$平分$∠DAB$，
$∵∠DAB=60°$，$∴∠PAB=30°$，
$∵$菱形$AEFG∽$菱形$ABCD$，相似比是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AB=2$，
$∴\frac{AE}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得$AE=\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△ ABP$中，$∠PAB=30°$，
$∴BP=\frac{1}{2}AB=1$，
由勾股定理得$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$∴EP=AE+AP=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
在$\mathrm{Rt}△ EBP$中，由勾股定理得：
$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$，
由(1)知$EB=GD$，$∴GD=\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\sqrt{13}$
【知识点】
相似多边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，将菱形、相似多边形、全等三角形、勾股定理的相关知识点结合考查，解题的关键是通过全等关系转化待求线段，合理构造直角三角形完成长度计算，对几何性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
