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1. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ A = 110°$,连接OB,OD,则$∠ BOD =$
140
$°$.答案
1. 140
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A的度数，要求圆心角∠BOD的度数。第一步先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出∠A的对角∠C的度数；第二步再根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOD和∠C都对应弧BD，因此用∠C的度数乘2即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$。
又
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BOD = 2∠ C$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴$∠ BOD = 2×70° = 140°$。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合运用，解题的关键是明确圆内接四边形对角互补，以及同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件：四边形ABCD内接于⊙O，已知∠A的度数，要求圆心角∠BOD的度数。第一步先利用圆内接四边形的对角互补性质，求出∠A的对角∠C的度数；第二步再根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BOD和∠C都对应弧BD，因此用∠C的度数乘2即可得到∠BOD的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ C = 180° - 110° = 70°$。
又
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BOD = 2∠ C$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），
∴$∠ BOD = 2×70° = 140°$。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是基础题型，重点考查圆内接四边形性质和圆周角定理的综合运用，解题的关键是明确圆内接四边形对角互补，以及同弧对应的圆心角和圆周角的数量关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图,四边形ABCD是平行四边形,⊙O经过点A,C,D,与BC交于点E,连接AE,若∠D=70°,则∠BAE的度数为 (
A.70°
B.50°
C.40°
D.30°
C
)A.70°
B.50°
C.40°
D.30°
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先回忆相关图形的性质：首先根据平行四边形对角相等的性质，可直接得到∠B的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠AEC的度数；最后结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入角度计算即可得到∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=70°，
∴∠B = ∠D = 70°（平行四边形对角相等），
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠D + ∠AEC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
解得∠AEC = 180° - 70° = 110°，
又
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠BAE = ∠AEC - ∠B = 110° - 70° = 40°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；圆内接四边形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了三类常见几何图形的性质，解题的关键是理清图形间的角度关系，熟练运用性质进行角度推导计算。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆相关图形的性质：首先根据平行四边形对角相等的性质，可直接得到∠B的度数；再利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠AEC的度数；最后结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入角度计算即可得到∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=70°，
∴∠B = ∠D = 70°（平行四边形对角相等），
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠D + ∠AEC = 180°（圆内接四边形的对角互补），
解得∠AEC = 180° - 70° = 110°，
又
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），
∴∠BAE = ∠AEC - ∠B = 110° - 70° = 40°。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；圆内接四边形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的几何角度计算题，综合考查了三类常见几何图形的性质，解题的关键是理清图形间的角度关系，熟练运用性质进行角度推导计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C,D,E在$\odot O$上，若$∠ ACE=20°$，则$∠ BDE$的度数为 （
A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
C
）A.$90°$
B.$100°$
C.$110°$
D.$120°$
答案
3. C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：首先回忆圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；其次回忆圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补。首先由已知的∠ACE=20°，确定它所对的弧为弧AE，由此得到弧AE的度数，再结合AB是直径得到对应弧的度数，最后通过圆的相关性质计算∠BDE的度数即可。
【解析】
解：
∵∠ACE是弧AE所对的圆周角，∠ACE=20°
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得弧AE对应的圆心角为$2×20°=40°$
∵OA、OE均为⊙O的半径，即OA=OE
∴△AOE为等腰三角形，顶角∠AOE=40°
∴底角$∠ BAE=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵点A、B、D、E都在⊙O上，四边形ABDE是圆内接四边形
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAE+∠ BDE=180°$
∴$∠ BDE=180°-70°=110°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是利用圆周角定理建立已知角和对应弧的关联，再结合圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理思路：首先回忆圆周角定理，圆周角的度数等于它所对弧度数的一半；其次回忆圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补。首先由已知的∠ACE=20°，确定它所对的弧为弧AE，由此得到弧AE的度数，再结合AB是直径得到对应弧的度数，最后通过圆的相关性质计算∠BDE的度数即可。
【解析】
解：
∵∠ACE是弧AE所对的圆周角，∠ACE=20°
根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得弧AE对应的圆心角为$2×20°=40°$
∵OA、OE均为⊙O的半径，即OA=OE
∴△AOE为等腰三角形，顶角∠AOE=40°
∴底角$∠ BAE=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵点A、B、D、E都在⊙O上，四边形ABDE是圆内接四边形
根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ BAE+∠ BDE=180°$
∴$∠ BDE=180°-70°=110°$
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理；圆内接四边形性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题的关键是利用圆周角定理建立已知角和对应弧的关联，再结合圆内接四边形的性质求解，是圆章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质的灵活应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,C是$\overset{\frown}{BD}$的中点,$AD// BC$,$∠ BCD=110°$,则$∠ ACB$的度数是 (
A.$20°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
B
)A.$20°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$55°$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到圆内接四边形，优先想到对角互补的性质，可先求出$∠ BAD$的度数；②看到C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，根据同圆中相等的弧对应的圆周角相等，可得AC平分$∠ BAD$，进而求出$∠ CAD$的度数；③看到$AD// BC$，利用平行线内错角相等的性质，即可建立$∠ CAD$和$∠ ACB$的等量关系，求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补）
∵$∠ BCD=110°$
∴$∠ BAD=180° - 110°=70°$
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
∴$∠ BAC=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=35°$（同圆中相等的弧所对的圆周角相等）
又
∵$AD// BC$
∴$∠ ACB=∠ CAD=35°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧与圆周角的关系；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、弧与圆周角的相关性质，结合平行线的性质完成角的转化即可求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①看到圆内接四边形，优先想到对角互补的性质，可先求出$∠ BAD$的度数；②看到C是$\overset{\frown}{BD}$的中点，根据同圆中相等的弧对应的圆周角相等，可得AC平分$∠ BAD$，进而求出$∠ CAD$的度数；③看到$AD// BC$，利用平行线内错角相等的性质，即可建立$∠ CAD$和$∠ ACB$的等量关系，求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$
∴$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$（圆内接四边形对角互补）
∵$∠ BCD=110°$
∴$∠ BAD=180° - 110°=70°$
∵C是$\overset{\frown}{BD}$的中点
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$
∴$∠ BAC=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAD=35°$（同圆中相等的弧所对的圆周角相等）
又
∵$AD// BC$
∴$∠ ACB=∠ CAD=35°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质；弧与圆周角的关系；平行线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形、弧与圆周角的相关性质，结合平行线的性质完成角的转化即可求解，是圆章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BE是$\odot O$的直径，连接AE.若$∠ BCD=2∠ BAD$，则$∠ DAE$的度数是（
A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
A
）A.$30°$
B.$35°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
5. A
解析
【分析】
解题时先利用圆内接四边形的对角互补性质，结合题目给出的∠BCD与∠BAD的数量关系，求出∠BAD的度数；再根据直径所对的圆周角是直角，得到∠BAE的度数，最后通过角度的和差关系计算∠DAE的度数即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BCD + ∠ BAD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
又
∵ $∠ BCD = 2∠ BAD$，
∴ $2∠ BAD + ∠ BAD = 180°$，解得$∠ BAD = 60°$，
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAE = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
即$∠ BAD + ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ DAE = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质，先求出$∠ BAD$的度数，再结合直径的性质计算所求角。
【难度系数】
0.8
解题时先利用圆内接四边形的对角互补性质，结合题目给出的∠BCD与∠BAD的数量关系，求出∠BAD的度数；再根据直径所对的圆周角是直角，得到∠BAE的度数，最后通过角度的和差关系计算∠DAE的度数即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ BCD + ∠ BAD = 180°$（圆内接四边形对角互补），
又
∵ $∠ BCD = 2∠ BAD$，
∴ $2∠ BAD + ∠ BAD = 180°$，解得$∠ BAD = 60°$，
∵ BE是$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAE = 90°$（直径所对的圆周角是直角），
即$∠ BAD + ∠ DAE = 90°$，
∴ $∠ DAE = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
A
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质，先求出$∠ BAD$的度数，再结合直径的性质计算所求角。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点，且$∠ D = 130°$，则$∠ BAC$的度数是
$40°$
。答案
6. $40°$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠D求出∠ABC的度数；第二步，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；第三步，在直角三角形ACB中利用两锐角互余的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ $∠ D + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ D=130°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 130° = 50°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ 直径所对的圆周角$∠ ACB = 90°$
在$Rt△ ACB$中，$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$
∴ $∠ BAC = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是对圆的基础性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对圆周角为直角这两个常用结论，计算量很小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：第一步，观察到四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可由已知的∠D求出∠ABC的度数；第二步，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB=90°；第三步，在直角三角形ACB中利用两锐角互余的性质，即可求出∠BAC的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形
∴ $∠ D + ∠ ABC = 180°$
已知$∠ D=130°$，代入得：
$∠ ABC = 180° - 130° = 50°$
又
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ 直径所对的圆周角$∠ ACB = 90°$
在$Rt△ ACB$中，$∠ BAC + ∠ ABC = 90°$
∴ $∠ BAC = 90° - 50° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是对圆的基础性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补、直径所对圆周角为直角这两个常用结论，计算量很小，掌握基础性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB为$\odot O$的直径，$∠ CAB=60°$，弦AD平分$∠ CAB$，若$AD=6$，则$AC=$
第7题图 第8题图
$2\sqrt{3}$
。第7题图 第8题图
答案
7. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，连接BD构造出Rt△ADB和Rt△ACB两个直角三角形；再根据角平分线的定义求出∠DAB=30°，先在Rt△ADB中利用锐角三角函数求出直径AB的长度；最后在Rt△ACB中利用∠CAB的三角函数值即可求出AC的长度。
【解析】
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠DAB= $\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
在Rt△ADB中，$\cos ∠ DAB=\frac{AD}{AB}$，
代入∠DAB=30°，AD=6得：
$\cos30°=\frac{6}{AB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，$\cos ∠ CAB=\frac{AC}{AB}$，
代入∠CAB=60°，$AB=4\sqrt{3}$得：
$\cos60°=\frac{AC}{4\sqrt{3}}$，即$\frac{1}{2}=\frac{AC}{4\sqrt{3}}$，
解得$AC=4\sqrt{3}× \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；角平分线的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，结合锐角三角函数求解线段长度，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用直径的性质：直径所对的圆周角为直角，连接BD构造出Rt△ADB和Rt△ACB两个直角三角形；再根据角平分线的定义求出∠DAB=30°，先在Rt△ADB中利用锐角三角函数求出直径AB的长度；最后在Rt△ACB中利用∠CAB的三角函数值即可求出AC的长度。
【解析】
连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵AD平分∠CAB，∠CAB=60°，
∴∠DAB= $\frac{1}{2}$∠CAB=30°，
在Rt△ADB中，$\cos ∠ DAB=\frac{AD}{AB}$，
代入∠DAB=30°，AD=6得：
$\cos30°=\frac{6}{AB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{AB}$，
解得$AB=\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，$\cos ∠ CAB=\frac{AC}{AB}$，
代入∠CAB=60°，$AB=4\sqrt{3}$得：
$\cos60°=\frac{AC}{4\sqrt{3}}$，即$\frac{1}{2}=\frac{AC}{4\sqrt{3}}$，
解得$AC=4\sqrt{3}× \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；角平分线的定义；解直角三角形
【点评】
本题属于圆与直角三角形结合的基础题型，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角的性质，结合锐角三角函数求解线段长度，是圆章节的常见考点。
【难度系数】
0.7
8. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$∠ ADC = 116°$，点E在$\odot O$上，则$∠ BEC=$
$26°$
。答案
8. $26°$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：四边形ABCD内接于圆，优先想到圆内接四边形对角互补的性质，可先求出∠ABC的度数；再结合AB是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，进而求出∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，可知∠BEC与∠CAB相等，即可得出所求角度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ ADC=116°$，
∴$∠ ABC=180° - 116°=64°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB=90° - ∠ ABC=90° - 64°=26°$，
又
∵$∠ BEC$和$∠ CAB$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BEC=∠ CAB=26°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题属于圆基础性质的综合应用题，核心是通过已知条件逐步推导角的等量关系，解题时需要熟练掌握圆的相关基础性质，快速找到不同角之间的关联，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：四边形ABCD内接于圆，优先想到圆内接四边形对角互补的性质，可先求出∠ABC的度数；再结合AB是直径的条件，根据直径所对的圆周角为直角，得到△ABC是直角三角形，进而求出∠CAB的度数；最后根据同弧所对的圆周角相等，可知∠BEC与∠CAB相等，即可得出所求角度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$（圆内接四边形对角互补），
∵$∠ ADC=116°$，
∴$∠ ABC=180° - 116°=64°$，
∵AB是$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
在$Rt△ ABC$中，$∠ CAB=90° - ∠ ABC=90° - 64°=26°$，
又
∵$∠ BEC$和$∠ CAB$都是弧BC所对的圆周角，
∴$∠ BEC=∠ CAB=26°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
$26°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；直径的性质
【点评】
本题属于圆基础性质的综合应用题，核心是通过已知条件逐步推导角的等量关系，解题时需要熟练掌握圆的相关基础性质，快速找到不同角之间的关联，是圆章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图, 点 A, B, C, D 在$\odot O$上, $\overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$, $∠ CAD = 30°$, $∠ ACD = 50°$, 则 $∠ ADB =$ 
$70°$
. 答案
9. $70°$
解析
【分析】
解题时先回忆圆周角定理的相关性质：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先由$\overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$，可推出它们对应的圆周角$∠ CAB$和$∠ CAD$相等，进而求出$∠ BAD$的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到$∠ ABD$和已知$∠ ACD$的等量关系；最后利用三角形内角和为$180°$，即可计算出$∠ ADB$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$
$\therefore$ 等弧所对的圆周角相等，即$∠ CAB = ∠ CAD = 30°$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD + ∠ CAB = 30° + 30° = 60°$
又$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACD = 50°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABD = 180° - 60° - 50° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的关键是找准等弧、同弧对应的圆周角，结合三角形内角和定理即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆圆周角定理的相关性质：同弧或等弧所对的圆周角相等。首先由$\overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$，可推出它们对应的圆周角$∠ CAB$和$∠ CAD$相等，进而求出$∠ BAD$的度数；再根据同弧所对的圆周角相等，得到$∠ ABD$和已知$∠ ACD$的等量关系；最后利用三角形内角和为$180°$，即可计算出$∠ ADB$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{CB} = \overset{\frown}{CD}$
$\therefore$ 等弧所对的圆周角相等，即$∠ CAB = ∠ CAD = 30°$
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD + ∠ CAB = 30° + 30° = 60°$
又$\because$ 同弧$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角相等
$\therefore ∠ ABD = ∠ ACD = 50°$
在$△ ABD$中，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ADB = 180° - ∠ BAD - ∠ ABD = 180° - 60° - 50° = 70°$
【答案】
$70°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆的基础应用题，解题的关键是找准等弧、同弧对应的圆周角，结合三角形内角和定理即可快速求解，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7
