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问题导引
1. 函数 $y=2x^2+1$ 的图象与函数 $y=2x^2$ 的图象有什么关系？
2. 函数 $y=2(x-1)^2$ 的图象与函数 $y=2x^2$ 的图象有什么关系？
3. 函数 $y=2(x-1)^2+1$ 的图象与函数 $y=2(x-1)^2$ 的图象有什么关系？函数 $y=2(x-1)^2+1$ 有哪些性质？
知识梳理
1. 函数 $y=2x^2+1$ 的图象与函数 $y=2x^2$ 的图象有什么关系？
2. 函数 $y=2(x-1)^2$ 的图象与函数 $y=2x^2$ 的图象有什么关系？
3. 函数 $y=2(x-1)^2+1$ 的图象与函数 $y=2(x-1)^2$ 的图象有什么关系？函数 $y=2(x-1)^2+1$ 有哪些性质？
知识梳理
答案
解：
1. 函数$y=2x^2+1$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2x^2+1$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 函数$y=2(x-1)^2$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 函数$y=2(x-1)^2+1$的图象与$y=2(x-1)^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2+1$的图象可以由函数$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
函数$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 顶点坐标：$(1,1)$；
④ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤ 最值：当$x=1$时，函数$y$取得最小值，最小值为$1$。
1. 函数$y=2x^2+1$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2x^2+1$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 函数$y=2(x-1)^2$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 函数$y=2(x-1)^2+1$的图象与$y=2(x-1)^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2+1$的图象可以由函数$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
函数$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 顶点坐标：$(1,1)$；
④ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤ 最值：当$x=1$时，函数$y$取得最小值，最小值为$1$。
解析
【分析】
本题围绕二次函数图象平移与顶点式性质展开，解题思路如下：首先明确二次项系数$a$决定抛物线的形状和开口方向，$a$相同则抛物线形状、开口方向完全一致，仅位置不同；其次平移遵循“左加右减（针对自变量$x$的变化，对应水平平移）、上加下减（针对常数项变化，对应竖直平移）”的规律；最后探究$y=a(x-h)^2+k$的性质时，直接从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值五个维度，结合$a、h、k$的意义梳理即可。
【解析】
1. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，$y=2x^2+1$的常数项比$y=2x^2$多1，因此它的图象可由$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，自变量由$x$变为$x-1$，根据平移规律，$y=2(x-1)^2$的图象可由$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，$y=2(x-1)^2+1$的常数项比$y=2(x-1)^2$多1，因此它的图象可由$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
再梳理$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=1$；
③ 顶点坐标：顶点式的顶点为$(h,k)$，因此该函数顶点坐标为$(1,1)$；
④ 增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大；
⑤ 最值：开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=1$时，y取得最小值1。
【答案】
1. 函数$y=2x^2+1$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2x^2+1$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 函数$y=2(x-1)^2$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 函数$y=2(x-1)^2+1$的图象与$y=2(x-1)^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2+1$的图象可以由函数$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
函数$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 顶点坐标：$(1,1)$；
④ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤ 最值：当$x=1$时，函数$y$取得最小值，最小值为$1$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式性质
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数模块的基础题型，重点考查平移规则和顶点式参数的意义，掌握核心规律后就能快速解题，是后续研究复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
本题围绕二次函数图象平移与顶点式性质展开，解题思路如下：首先明确二次项系数$a$决定抛物线的形状和开口方向，$a$相同则抛物线形状、开口方向完全一致，仅位置不同；其次平移遵循“左加右减（针对自变量$x$的变化，对应水平平移）、上加下减（针对常数项变化，对应竖直平移）”的规律；最后探究$y=a(x-h)^2+k$的性质时，直接从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值五个维度，结合$a、h、k$的意义梳理即可。
【解析】
1. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，$y=2x^2+1$的常数项比$y=2x^2$多1，因此它的图象可由$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，自变量由$x$变为$x-1$，根据平移规律，$y=2(x-1)^2$的图象可由$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 两个函数的二次项系数均为2，因此图象形状完全相同，开口方向均向上；对比解析式，$y=2(x-1)^2+1$的常数项比$y=2(x-1)^2$多1，因此它的图象可由$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
再梳理$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：顶点式$y=a(x-h)^2+k$的对称轴为直线$x=h$，因此该函数对称轴为直线$x=1$；
③ 顶点坐标：顶点式的顶点为$(h,k)$，因此该函数顶点坐标为$(1,1)$；
④ 增减性：开口向上的抛物线，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大，即当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大；
⑤ 最值：开口向上的抛物线顶点为最低点，因此当$x=1$时，y取得最小值1。
【答案】
1. 函数$y=2x^2+1$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2x^2+1$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
2. 函数$y=2(x-1)^2$的图象与$y=2x^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2$的图象可以由函数$y=2x^2$的图象沿x轴向右平移1个单位长度得到。
3. 函数$y=2(x-1)^2+1$的图象与$y=2(x-1)^2$的图象形状完全相同，开口方向均向上，$y=2(x-1)^2+1$的图象可以由函数$y=2(x-1)^2$的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到。
函数$y=2(x-1)^2+1$的性质：
① 开口方向：$a=2＞0$，抛物线开口向上；
② 对称轴：直线$x=1$；
③ 顶点坐标：$(1,1)$；
④ 增减性：当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大；
⑤ 最值：当$x=1$时，函数$y$取得最小值，最小值为$1$。
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式性质
3. 二次函数增减性与最值
【点评】
本题是二次函数模块的基础题型，重点考查平移规则和顶点式参数的意义，掌握核心规律后就能快速解题，是后续研究复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
知识点1）二次函数$y=a(x-h)^2+k$的图象和性质
(1)抛物线开口方向:当$a＞0$时,开口
(2)顶点坐标:
(3)对称轴:
(4)最值:当$a＞0$时,$y$有最
(5)增减性:如果$a＞0$,当$x＜$
(1)抛物线开口方向:当$a＞0$时,开口
向上
;当$a＜0$时,开口向下
.(2)顶点坐标:
$(h,k)$
.(3)对称轴:
直线$x=h$
.(4)最值:当$a＞0$时,$y$有最
小
值$k$
;当$a＜0$时,$y$有最大
值$k$
.(5)增减性:如果$a＞0$,当$x＜$
$h$
时,$y$随$x$的增大而减小
,当$x＞$$h$
时,$y$随$x$的增大而增大
;如果$a＜0$,当$x＜$$h$
时,$y$随$x$的增大而增大
,当$x＞$$h$
时,$y$随$x$的增大而减小
.答案
(1)向上 向下
(2)$(h,k)$
(3)直线$x=h$
(4)小 $k$ 大 $k$
(5)$h$ 减小 $h$ 增大 $h$ 增大 $h$ 减小
(2)$(h,k)$
(3)直线$x=h$
(4)小 $k$ 大 $k$
(5)$h$ 减小 $h$ 增大 $h$ 增大 $h$ 减小
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基础性质，解题时可结合二次项系数$a$的几何意义、顶点式的结构特征逐一推导：①先回忆$a$对开口方向的影响；②根据顶点式的命名特点，直接对应顶点坐标与对称轴；③结合开口方向判断顶点是最高点还是最低点，进而确定最值；④以对称轴为分界，结合开口方向判断函数的增减性规律。
【解析】
(1) 二次项系数$a$决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
(2) 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标可直接从表达式中得到，为$(h,k)$。
(3) 抛物线的对称轴是过顶点且平行于$y$轴的直线，因此对称轴为直线$x=h$。
(4) 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，因此$y$有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此$y$有最大值$k$。
(5) 增减性以对称轴为分界：若$a＞0$，开口向上，当$x＜h$时，图象呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，图象呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大。若$a＜0$，开口向下，当$x＜h$时，图象呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，图象呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)向上 向下
(2)$(h,k)$
(3)直线$x=h$
(4)小 $k$ 大 $k$
(5)$h$ 减小 $h$ 增大 $h$ 增大 $h$ 减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；抛物线顶点与对称轴；二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次函数顶点式的核心性质，这些性质是解决二次函数相关问题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基础性质，解题时可结合二次项系数$a$的几何意义、顶点式的结构特征逐一推导：①先回忆$a$对开口方向的影响；②根据顶点式的命名特点，直接对应顶点坐标与对称轴；③结合开口方向判断顶点是最高点还是最低点，进而确定最值；④以对称轴为分界，结合开口方向判断函数的增减性规律。
【解析】
(1) 二次项系数$a$决定抛物线开口方向：当$a＞0$时，抛物线开口向上；当$a＜0$时，抛物线开口向下。
(2) 顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标可直接从表达式中得到，为$(h,k)$。
(3) 抛物线的对称轴是过顶点且平行于$y$轴的直线，因此对称轴为直线$x=h$。
(4) 当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，因此$y$有最小值$k$；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，因此$y$有最大值$k$。
(5) 增减性以对称轴为分界：若$a＞0$，开口向上，当$x＜h$时，图象呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞h$时，图象呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大。若$a＜0$，开口向下，当$x＜h$时，图象呈上升趋势，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞h$时，图象呈下降趋势，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
(1)向上 向下
(2)$(h,k)$
(3)直线$x=h$
(4)小 $k$ 大 $k$
(5)$h$ 减小 $h$ 增大 $h$ 增大 $h$ 减小
【知识点】
二次函数顶点式性质；抛物线顶点与对称轴；二次函数增减性与最值
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次函数顶点式的核心性质，这些性质是解决二次函数相关问题的基础，需要熟练记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
知识点2）二次函数$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$的图象之间的关系
抛物线$y=ax^2 \xrightarrow[上下平移]{左右平移}$抛物线$y=a(x-h)^2+k$
(1)$h$决定左右平移方向:$h＞0$向________平移,$h＜0$向________平移.
(2)$k$决定上下平移方向:$k＞0$向________平移,$k＜0$向________平移.
重点提示
一般地,抛物线$y=a(x-h)^2+k$可由抛物线$y=ax^2$向上(或向下)、向左(或向右)平移得到,抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$形状相同,位置不同,平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定.
抛物线$y=ax^2 \xrightarrow[上下平移]{左右平移}$抛物线$y=a(x-h)^2+k$
(1)$h$决定左右平移方向:$h＞0$向________平移,$h＜0$向________平移.
(2)$k$决定上下平移方向:$k＞0$向________平移,$k＜0$向________平移.
重点提示
一般地,抛物线$y=a(x-h)^2+k$可由抛物线$y=ax^2$向上(或向下)、向左(或向右)平移得到,抛物线$y=a(x-h)^2+k$与$y=ax^2$形状相同,位置不同,平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定.
答案
(1)右 左
(2)上 下
(2)上 下
解析
【分析】
解决本题需回忆二次函数图象的平移规律，即“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x本身进行操作，上下平移是对函数的整体值进行操作。我们结合这个规律分别分析h、k的正负对应的平移方向即可。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：
(1) 左右平移针对自变量x：抛物线$y=ax^2$变为$y=a(x-h)^2$时，是将x替换为$x-h$。当$h＞0$时，相当于x减去正数，符合“右减”，即向右平移$|h|$个单位；当$h＜0$时，$-h$为正数，相当于x加上正数，符合“左加”，即向左平移$|h|$个单位。
(2) 上下平移针对函数整体值：在$y=a(x-h)^2$的基础上加上k得到$y=a(x-h)^2+k$。当$k＞0$时，相当于函数整体加正数，符合“上加”，即向上平移$|k|$个单位；当$k＜0$时，相当于函数整体减正数，符合“下减”，即向下平移$|k|$个单位。
【答案】
(1)右 左
(2)上 下
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的特征
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，考查的平移规律是解决二次函数图象平移、解析式变换类问题的核心依据，需准确理解“左加右减”是仅对自变量x的操作，避免混淆平移方向。
【难度系数】
0.9
解决本题需回忆二次函数图象的平移规律，即“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x本身进行操作，上下平移是对函数的整体值进行操作。我们结合这个规律分别分析h、k的正负对应的平移方向即可。
【解析】
二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规则：
(1) 左右平移针对自变量x：抛物线$y=ax^2$变为$y=a(x-h)^2$时，是将x替换为$x-h$。当$h＞0$时，相当于x减去正数，符合“右减”，即向右平移$|h|$个单位；当$h＜0$时，$-h$为正数，相当于x加上正数，符合“左加”，即向左平移$|h|$个单位。
(2) 上下平移针对函数整体值：在$y=a(x-h)^2$的基础上加上k得到$y=a(x-h)^2+k$。当$k＞0$时，相当于函数整体加正数，符合“上加”，即向上平移$|k|$个单位；当$k＜0$时，相当于函数整体减正数，符合“下减”，即向下平移$|k|$个单位。
【答案】
(1)右 左
(2)上 下
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式的特征
【点评】
本题是二次函数图象变换的基础题型，考查的平移规律是解决二次函数图象平移、解析式变换类问题的核心依据，需准确理解“左加右减”是仅对自变量x的操作，避免混淆平移方向。
【难度系数】
0.9
例 在画二次函数$y=(x-2)^2 -1$的图象时，我们先列表如下：
然后描点画图，得到$y=(x-2)^2 -1$的图象.
(1)抛物线$y=x^2$先向平移个单位长度，再向平移个单位长度，可得到抛物线$y=(x-2)^2 -1$.
(2)抛物线$y=(x-2)^2 -1$有如下特点：
①开口向；
②对称轴是；
③顶点坐标是；
④当$x=$时，$y$有最值是；
⑤当$x$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x$时，$y$随$x$的增大而减小.
答案:(1)右 2 下 1
(2)①上 ②直线$x=2$ ③$(2,-1)$ ④2 小 -1 ⑤＞2 ＜2
方法点拨 本题先列表、描点、连线画出函数图象，再应用二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象和性质进行填空.
然后描点画图，得到$y=(x-2)^2 -1$的图象.
(1)抛物线$y=x^2$先向平移个单位长度，再向平移个单位长度，可得到抛物线$y=(x-2)^2 -1$.
(2)抛物线$y=(x-2)^2 -1$有如下特点：
①开口向；
②对称轴是；
③顶点坐标是；
④当$x=$时，$y$有最值是；
⑤当$x$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x$时，$y$随$x$的增大而减小.
答案:(1)右 2 下 1
(2)①上 ②直线$x=2$ ③$(2,-1)$ ④2 小 -1 ⑤＞2 ＜2
方法点拨 本题先列表、描点、连线画出函数图象，再应用二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象和性质进行填空.
答案
解：
先计算表格中对应x的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2-1=8$；
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=3$；
当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=0$；
当$x=2$时，$y=(2-2)^2-1=-1$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=0$；
当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=3$；
当$x=5$时，$y=(5-2)^2-1=8$；
表格中$y=(x-2)^2-1$行依次填入：8，3，0，-1，0，3，8。
(1) 抛物线$y=x^2$先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得到抛物线$y=(x-2)^2 -1$。
(2) ① 开口向上；
② 对称轴是直线$x=2$；
③ 顶点坐标是$(2,-1)$；
④ 当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；
⑤ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
先计算表格中对应x的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2-1=8$；
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=3$；
当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=0$；
当$x=2$时，$y=(2-2)^2-1=-1$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=0$；
当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=3$；
当$x=5$时，$y=(5-2)^2-1=8$；
表格中$y=(x-2)^2-1$行依次填入：8，3，0，-1，0，3，8。
(1) 抛物线$y=x^2$先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，可得到抛物线$y=(x-2)^2 -1$。
(2) ① 开口向上；
② 对称轴是直线$x=2$；
③ 顶点坐标是$(2,-1)$；
④ 当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；
⑤ 当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小。
解析
【分析】
解题分两步开展：第一步完成表格填写，将每个x的取值逐一代入二次函数解析式$y=(x-2)^2-1$，计算对应y值即可。第二步解决性质类问题：1. 平移问题可依据二次函数图像平移“左加右减（针对x），上加下减（针对常数项）”的规律，对比两个解析式的差异即可判断平移方式；2. 性质类问题可结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义分析：a的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向即可推导最值和增减性规律。
【解析】
首先计算表格中各x对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2-1=9-1=8$；
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=4-1=3$；
当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=1-1=0$；
当$x=2$时，$y=(2-2)^2-1=0-1=-1$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=1-1=0$；
当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=4-1=3$；
当$x=5$时，$y=(5-2)^2-1=9-1=8$；
因此表格$y=(x-2)^2-1$行依次填入：8，3，0，-1，0，3，8。
(1) 根据平移规律，抛物线$y=x^2$向右平移2个单位得到$y=(x-2)^2$，再向下平移1个单位得到$y=(x-2)^2-1$。
(2) 解析式中$a=1＞0$，因此：
①开口向上；
②对称轴是直线$x=2$；
③顶点坐标是$(2,-1)$；
④开口向上时顶点处取最小值，即当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；
⑤开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小，即当$x＞2$时，y随x的增大而增大，当$x＜2$时，y随x的增大而减小。
【答案】
表格y行依次填：8，3，0，-1，0，3，8；
(1)右，2，下，1；
(2)①上；②直线$x=2$；③$(2,-1)$；④2，小，-1；⑤$＞2$，$＜2$
【知识点】
二次函数平移规律，顶点式二次函数性质，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，核心是对平移规则、顶点式参数意义的理解掌握，属于二次函数模块的核心基础题型，熟练记忆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题分两步开展：第一步完成表格填写，将每个x的取值逐一代入二次函数解析式$y=(x-2)^2-1$，计算对应y值即可。第二步解决性质类问题：1. 平移问题可依据二次函数图像平移“左加右减（针对x），上加下减（针对常数项）”的规律，对比两个解析式的差异即可判断平移方式；2. 性质类问题可结合顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义分析：a的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向即可推导最值和增减性规律。
【解析】
首先计算表格中各x对应的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2-1=9-1=8$；
当$x=0$时，$y=(0-2)^2-1=4-1=3$；
当$x=1$时，$y=(1-2)^2-1=1-1=0$；
当$x=2$时，$y=(2-2)^2-1=0-1=-1$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2-1=1-1=0$；
当$x=4$时，$y=(4-2)^2-1=4-1=3$；
当$x=5$时，$y=(5-2)^2-1=9-1=8$；
因此表格$y=(x-2)^2-1$行依次填入：8，3，0，-1，0，3，8。
(1) 根据平移规律，抛物线$y=x^2$向右平移2个单位得到$y=(x-2)^2$，再向下平移1个单位得到$y=(x-2)^2-1$。
(2) 解析式中$a=1＞0$，因此：
①开口向上；
②对称轴是直线$x=2$；
③顶点坐标是$(2,-1)$；
④开口向上时顶点处取最小值，即当$x=2$时，$y$有最小值是$-1$；
⑤开口向上时，对称轴右侧y随x增大而增大，左侧y随x增大而减小，即当$x＞2$时，y随x的增大而增大，当$x＜2$时，y随x的增大而减小。
【答案】
表格y行依次填：8，3，0，-1，0，3，8；
(1)右，2，下，1；
(2)①上；②直线$x=2$；③$(2,-1)$；④2，小，-1；⑤$＞2$，$＜2$
【知识点】
二次函数平移规律，顶点式二次函数性质，二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，核心是对平移规则、顶点式参数意义的理解掌握，属于二次函数模块的核心基础题型，熟练记忆相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
