15. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AB = 10cm$，$AC = 6cm$，动点 $P$ 从点 $B$ 出发沿射线 $BC$ 以 $2cm/s$ 的速度移动，设运动的时间为 $t\ s$。

（1）求边 $BC$ 的长；
（2）当 $△ ABP$ 为直角三角形时，求 $t$ 的值；
（3）当 $△ ABP$ 为等腰三角形时，求 $t$ 的值。

15. 【分析】(1) 直接根据勾股定理求出BC的长度. (2) 当△ABP为直角三角形时,分两种情况:①当∠APB为直角时;②当∠BAP为直角时,分别求出此时的t值即可. (3) 当△ABP为等腰三角形时,分三种情况:①当AB=BP时;②当AB=AP时;③当BP=AP时,分别求出BP的长度,继而可求得t值. 【解答】解:(1) 在Rt△ABC中,BC²=AB²-AC²=10²-6²=64,
∴BC=8 cm. (2) 由题意,得BP=2t cm,①如图①,当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=8 cm,即t=4;②如图②,当∠BAP为直角时,BP=2t cm,CP=(2t-8)cm,AC=6 cm,在Rt△ACP中,AP²=6²+(2t-8)²,在Rt△BAP中,AB²+AP²=BP²,即:10²+[6²+(2t-8)²]=(2t)²,解得t=$\frac{25}{4}$,故当△ABP为直角三角形时,t=4或t=$\frac{25}{4}$. (3) ①如图③,当AB=BP时,t=5;②如图④,当AB=AP时,BP=2BC=16 cm,t=8;③如图⑤,当BP=AP时,AP=BP=2t cm,CP=|2t-8| cm,AC=6 cm,在Rt△ACP中,AP²=AC²+CP²,所以(2t)²=6²+(2t-8)²,解得t=$\frac{25}{8}$.综上所述:当△ABP为等腰三角形时,t=5或t=8或t=$\frac{25}{8}$.