8. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD = BC，∠PEF = 18°，则∠PFE的度数为_______.
答案
18°
9. 如图，△ABC的周长为19，点D、E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M. 若BC = 7，则MN的长为_______.
答案
$\frac{5}{2}$
10. 如图，在△ABC中，AB = 13，BC = 12，D、E分别是AB、BC的中点，连接DE、CD. 若DE = 2.5，则△ACD的周长是多少?
答案
∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，DE = 2.5，∴ DE 是 △ABC 的中位线. ∴ AC = 2DE = 5. ∵ AB = 13，BC = 12，
∴ AC² + BC² = 5² + 12² = 169，AB² = 13² = 169. ∴ AC² + BC² = AB². ∴ ∠ACB = 90°. 在 Rt△ABC 中，∵ D 是 AB 的中点，∴ AD = CD = $\frac{1}{2}$AB = 6.5. ∴ △ACD 的周长 = AC + AD + CD = 18
∴ AC² + BC² = 5² + 12² = 169，AB² = 13² = 169. ∴ AC² + BC² = AB². ∴ ∠ACB = 90°. 在 Rt△ABC 中，∵ D 是 AB 的中点，∴ AD = CD = $\frac{1}{2}$AB = 6.5. ∴ △ACD 的周长 = AC + AD + CD = 18
11. （2023·枣庄）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE = 7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，求OF的长.
答案
∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ ∠BCD = 90°，BC = DC，BO = DO. ∵ 在 Rt△DCE 中，F 为 DE 的中点，∴ CF = EF = DF = $\frac{1}{2}$DE. ∵ CE = 7，△CEF 的周长为 32，∴ DE = 25. ∴ 在 Rt△DCE 中，DC = $\sqrt{DE^{2}-CE^{2}}$ = $\sqrt{25^{2}-7^{2}}$ = 24. ∴ BE = BC - CE = DC - CE = 17. ∵ BO = DO，F 为 DE 的中点，∴ OF 是 △DBE 的中位线. ∴ OF = $\frac{1}{2}$BE = $\frac{17}{2}$
12. （2024·新疆）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，连接DE、EF、FG、GD.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若BD = CE，求证：四边形DEFG是矩形.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若BD = CE，求证：四边形DEFG是矩形.
答案
(1) ∵ BD、CE 是 △ABC 的中线，∴ D、E 分别是 AC、AB 的中点. ∴ DE 是 △ABC 的中位线. ∴ DE//BC，DE = $\frac{1}{2}$BC.
同理，可得 FG//BC，FG = $\frac{1}{2}$BC. ∴ DE//FG，DE = FG. ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形 (2) 由(1)，知四边形 DEFG 是平行四边形. ∴ OF = OD. 又 ∵ F 是 OB 的中点，∴ BF = OF.
∴ DF = $\frac{2}{3}$BD. 同理，可得 EG = $\frac{2}{3}$CE. ∵ BD = CE，∴ DF = EG. ∵ 四边形 DEFG 是平行四边形，∴ 四边形 DEFG 是矩形
同理，可得 FG//BC，FG = $\frac{1}{2}$BC. ∴ DE//FG，DE = FG. ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形 (2) 由(1)，知四边形 DEFG 是平行四边形. ∴ OF = OD. 又 ∵ F 是 OB 的中点，∴ BF = OF.
∴ DF = $\frac{2}{3}$BD. 同理，可得 EG = $\frac{2}{3}$CE. ∵ BD = CE，∴ DF = EG. ∵ 四边形 DEFG 是平行四边形，∴ 四边形 DEFG 是矩形
