登录
4. (推导探究)乐乐在探索直角三角形三边的关系时发现:直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方,例如:如图①,AB²+BC²=AC²=9+16=25,所以AC=5。
如果直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,回答下面的问题。
(1)若以AC为边向外作正方形(如图②),则正方形的面积是( )。
(2)若分别以AB、BC、AC为边向外作半圆(如图③),三个半圆的面积之和是( )。
(3)如图④,请求出涂色部分的面积。
如果直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=12,BC=5,回答下面的问题。
(1)若以AC为边向外作正方形(如图②),则正方形的面积是( )。
(2)若分别以AB、BC、AC为边向外作半圆(如图③),三个半圆的面积之和是( )。
(3)如图④,请求出涂色部分的面积。
答案
(1)169 提示：由题图可知，正方形的面积 = AC² = AB² + BC² = 12² + 5² = 169。
(2)132.665 提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 = π×[(12÷2)² + (5÷2)² + (13÷2)²]÷2 = 132.665。
(3)12×5÷2 = 30 提示：由题图可知，涂色部分面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积，所以涂色部分面积 = 三角形的面积 = 12×5÷2 = 30。
(2)132.665 提示：由题图可知，三个半圆的面积之和 = π×[(12÷2)² + (5÷2)² + (13÷2)²]÷2 = 132.665。
(3)12×5÷2 = 30 提示：由题图可知，涂色部分面积 = 三角形的面积 + 两个小半圆的面积 - 大半圆的面积，又因为两个小半圆的面积 = 大半圆的面积，所以涂色部分面积 = 三角形的面积 = 12×5÷2 = 30。
5. "黄金螺线"是一种优美的螺旋曲线,自然界中存在许多黄金螺旋线的图案。它可以用大小不同的圆心角是90°的扇形弧线画出来,如图。第①步中扇形的半径是1厘米,按如图的方法继续画,第④步中弧所在扇形的半径是( )厘米,继续画下去,第( )步中弧所在扇形的半径是13厘米,所画扇形的弧长是( )厘米。
答案
3 ⑦ 20.41 提示：由下表可知，第④步中弧所在扇形的半径是3厘米，第⑦步中弧所在扇形的半径是13厘米，弧长是2×3.14×13÷4 = 20.41(厘米)。
6. 菲菲同学在学完了圆的知识后,想到了苏州的小桥流水,创作了下面一幅图。这幅图由5个完全相同的半圆组合而成,你知道菲菲在画半圆的时候,圆规两脚尖之间的距离是多少吗？(单位:毫米)
答案
解：设圆的直径为x毫米。 3x + 12×2 = 2x + 22×2 + 16 x = 36 36÷2 = 18(毫米) 提示：观察题图可知，上半部分是三个直径与两个12毫米的和，下半部分是两个直径与两个22毫米与一个16毫米的和，设圆的直径为x毫米。列方程为3x + 12×2 = 2x + 22×2 + 16，解方程，求出直径，再除以2，就是圆规两脚尖之间的距离。
7. 如图,AC=BD=6米,求涂色部分的面积。
答案
6×6 - 3.14×6²÷4 = 7.74(平方米) 提示：三角形为等腰直角三角形，如图，原图中的涂色部分的面积就是正方形的面积减去半径为6米的圆的面积的$\frac{1}{4}$。
8. (几何直观)已知一个半圆工件,未搬动前如图所示,直径平行于地面放置,搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径贴地面,再将它沿地面平移60米,半圆的直径为6米,则圆心O所经过的路线的长为多少米？
答案
3.14×6÷2 + 60 = 69.42(米) 提示：如图，由图可知，圆心从O₁到O₂，即为$\frac{1}{4}$圆的周长，然后沿着弧O₂O₃旋转$\frac{1}{4}$圆的周长，此时圆心总共走过的路程为圆周长的一半，然后向右平移60米，即圆心经过的路线长为半圆的弧长加上60米，根据半圆弧长公式C = πd÷2，把数据代入即可求解。
