例 1 用不等式表示:
(1) $ k $ 比 $ - 1 $ 大;
(2) $ a ^ { 2 } + 1 $ 是正数;
(3) $ 2 x $ 与 $ 1 $ 的和小于或等于零;
(4) $ x $ 的 $ 3 $ 倍与 $ 8 $ 的和不小于 $ x $ 的 $ 5 $ 倍.

(1) $k ＞ -1$
(2) $a^2 + 1 ＞ 0$
(3) $2x + 1 ≤ 0$
(4) $3x + 8 ≥ 5x$

【分析】
我们需要根据每个小题中的文字描述，将数量关系转化为对应的不等式：
1. 对于“k比-1大”，“比…大”对应的不等号是“＞”，直接将k和-1用“＞”连接即可；
2. “正数”是指大于0的数，因此$a^2 + 1$是正数，就是$a^2 + 1$大于0；
3. 先将“2x与1的和”表示为$2x+1$，“小于或等于”对应的不等号是“≤”，再将这个和与0用“≤”连接；
4. 先分别表示“x的3倍与8的和”为$3x+8$、“x的5倍”为$5x$，“不小于”对应的不等号是“≥”，最后将这两个式子用“≥”连接。
【解析】
(1) 根据“k比-1大”的数量关系，可得不等式：$k ＞ -1$；
(2) 因为正数的定义是大于0的数，所以$a^2 + 1$是正数可表示为：$a^2 + 1 ＞ 0$；
(3) 先写出“2x与1的和”为$2x+1$，结合“小于或等于零”的要求，可得不等式：$2x + 1 ≤ 0$；
(4) 先分别列出“x的3倍与8的和”为$3x+8$、“x的5倍”为$5x$，根据“不小于”即大于等于的含义，可得不等式：$3x + 8 ≥ 5x$。
【答案】
(1) $k ＞ -1$
(2) $a^2 + 1 ＞ 0$
(3) $2x + 1 ≤ 0$
(4) $3x + 8 ≥ 5x$
【知识点】
用不等式表示数量关系、不等号的对应表述
【点评】
本题核心是文字语言与不等式符号的转化，解题关键是准确识别“比…大”“正数”“小于或等于”“不小于”等关键词对应的不等号，熟练掌握常见不等关系的表述与符号对应，就能快速完成转化。
【难度系数】
0.9

例 2 用不等式表示图 11 - 2 中的不等关系:

答案略

【分析】
要表示图中的不等关系，需分两部分梳理思路：
1. 分析数轴：数轴上原点右侧的数为正，左侧的数为负，由此可确定a、b的正负及大小关系；
2. 分析直角三角形：直角三角形中斜边长度大于任意一条直角边，同时满足三角形两边之和大于第三边，结合勾股定理，可列出边长间的不等（及相等）关系，注意数轴中b为负数，直角三角形的边长是b的绝对值。
【解析】
1. 从数轴观察：
a在原点右侧，故$a ＞ 0$；b在原点左侧，故$b ＜ 0$，因此可得$a ＞ b$。
2. 从直角三角形观察：
a、$-b$（b为负，$-b$是其绝对值，即直角边长度）是直角边，c是斜边。
根据直角三角形斜边大于直角边，得$c ＞ a$，$c ＞ -b$；
根据三角形两边之和大于第三边，得$a + (-b) ＞ c$，即$a - b ＞ c$；
根据勾股定理，得$a^2 + b^2 = c^2$（b的平方等于其绝对值的平方）。
【答案】
$a ＞ 0$，$b ＜ 0$，$a ＞ b$，$c ＞ a$，$c ＞ -b$，$a - b ＞ c$（或核心关系：$c ＞ a ＞ 0 ＞ b$，$a^2 + b^2 = c^2$）
【知识点】
1. 数轴与实数正负
2. 直角三角形性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题结合数轴与几何图形考查不等关系的表示，需要将数与形结合，区分数轴上实数的正负和几何图形中边长的正数属性，熟练运用直角三角形相关性质和三角形三边关系是解题关键。
【难度系数】
0.6

1. 据天气预报报道，今天的最低气温是 $ 19 ^ { \circ } \mathrm { C } $，最高气温是 $ 28 ^ { \circ } \mathrm { C } $，今天气温 $ t ( ^ { \circ } \mathrm { C } ) $ 的范围是().

A.$ t ＜ 19 $
B.$ t ＞ 28 $
C.$ t = 28 $
D.$ 19 ≤ t ≤ 28 $

D

最低气温是19°C，说明气温t不低于19°C，即t≥19；最高气温是28°C，说明气温t不高于28°C，即t≤28。所以今天气温t的范围是19≤t≤28。

2. 有理数 $ a $ 与 $ b $ 在数轴上的对应点位置如图所示，用“$ ＞ $”或“$ ＜ $”号填空:
(1) $ a $ $ 0 $;
(2) $ b $ $ 0 $;
(3) $ a $ $ b $;
(4) $ a + b $ $ 0 $;
(5) $ a - b $ $ 0 $.

(1)＜；(2)＞；(3)＜；(4)＜；(5)＜

由数轴可知，a在原点左侧，b在原点右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离。
(1)a在原点左侧，所以a＜0；
(2)b在原点右侧，所以b＞0；
(3)数轴上左边的数小于右边的数，所以a＜b；
(4)a为负数，b为正数，且|a|＞|b|，所以a+b＜0；
(5)a-b=a+(-b)，a为负，-b为负，两负数相加仍为负，所以a-b＜0。