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2. 某工程队有一批沙石需要运输,该工程队现有装载量为10 t,15 t的两种卡车共15辆.若全用装载量为10 t的卡车去运并全部装满,还剩余20 t沙石;若全用装载量为15 t的卡车去运,其中1辆车还有5 t空位,其他车全部装满.两种卡车各有多少辆?共有多少吨沙石?
答案
设装载量为10t的卡车有$x$辆，装载量为15t的卡车有$y$辆，沙石总重量为$z$ t。
根据卡车总数，可列方程：
$x + y = 15$，
根据沙石总重量和两种卡车的运输情况，可列方程：
$10x + 20 = z$，
$15y - 5 = z$，
将$z = 10x + 20$代入$15y - 5 = z$，得：
$15y - 5 = 10x + 20$，
化简得：
$15y - 10x = 25$，
两边同时除以5，得：
$3y - 2x = 5$，
由$x + y = 15$，可得$y = 15 - x$，
将$y = 15 - x$代入$3y - 2x = 5$，得：
$3(15 - x) - 2x = 5$，
$45 - 3x - 2x = 5$，
$-5x = -40$，
$x = 8$，
将$x = 8$代入$y = 15 - x$，得：
$y = 15 - 8 = 7$，
将$x = 8$代入$z = 10x + 20$，得：
$z = 10× 8 + 20 = 100$。
答：装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100t沙石。
根据卡车总数，可列方程：
$x + y = 15$，
根据沙石总重量和两种卡车的运输情况，可列方程：
$10x + 20 = z$，
$15y - 5 = z$，
将$z = 10x + 20$代入$15y - 5 = z$，得：
$15y - 5 = 10x + 20$，
化简得：
$15y - 10x = 25$，
两边同时除以5，得：
$3y - 2x = 5$，
由$x + y = 15$，可得$y = 15 - x$，
将$y = 15 - x$代入$3y - 2x = 5$，得：
$3(15 - x) - 2x = 5$，
$45 - 3x - 2x = 5$，
$-5x = -40$，
$x = 8$，
将$x = 8$代入$y = 15 - x$，得：
$y = 15 - 8 = 7$，
将$x = 8$代入$z = 10x + 20$，得：
$z = 10× 8 + 20 = 100$。
答：装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100t沙石。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，根据题目中的等量关系建立方程组来求解。首先明确需求的量：两种卡车的数量和沙石总重量，因此设装载量10t的卡车有$x$辆，15t的有$y$辆，沙石总重$z$吨。接着找等量关系：一是两种卡车总数为15辆，可列方程$x+y=15$；二是全用10t卡车运，装满后剩20t，说明沙石总量等于10t卡车总装载量加20t，即$z=10x+20$；三是全用15t卡车运，1辆车空5t，其他装满，说明沙石总量等于15t卡车总装载量减5t，即$z=15y-5$。最后联立方程，通过消元法逐步求解$x$、$y$，再代入求$z$即可。
【解析】
设装载量为10t的卡车有$x$辆，装载量为15t的卡车有$y$辆，沙石总重量为$z$ t。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 15 \\10x + 20 = z \\15y - 5 = z\end{cases}$
1. 由$10x + 20 = z$和$15y - 5 = z$，可得：
$10x + 20 = 15y - 5$
化简得：$10x - 15y = -25$，两边同时除以5得：$2x - 3y = -5$
2. 由$x + y = 15$变形得$x = 15 - y$，将其代入$2x - 3y = -5$：
$2(15 - y) - 3y = -5$
展开得：$30 - 2y - 3y = -5$
合并同类项得：$30 - 5y = -5$
移项得：$-5y = -35$
解得：$y = 7$
3. 将$y = 7$代入$x = 15 - y$，得$x = 15 - 7 = 8$
4. 将$x = 8$代入$10x + 20 = z$，得$z = 10×8 + 20 = 100$
答：装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100t沙石。
【答案】
装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100吨沙石。
【知识点】
三元一次方程组的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的方程组解实际运输问题，解题关键是准确梳理题目中的等量关系：卡车总数的等量关系、两种运输方式下沙石总重量的等量关系，通过设未知数建立方程组，再利用消元法逐步求解，考查了实际问题的建模能力和方程组求解能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，根据题目中的等量关系建立方程组来求解。首先明确需求的量：两种卡车的数量和沙石总重量，因此设装载量10t的卡车有$x$辆，15t的有$y$辆，沙石总重$z$吨。接着找等量关系：一是两种卡车总数为15辆，可列方程$x+y=15$；二是全用10t卡车运，装满后剩20t，说明沙石总量等于10t卡车总装载量加20t，即$z=10x+20$；三是全用15t卡车运，1辆车空5t，其他装满，说明沙石总量等于15t卡车总装载量减5t，即$z=15y-5$。最后联立方程，通过消元法逐步求解$x$、$y$，再代入求$z$即可。
【解析】
设装载量为10t的卡车有$x$辆，装载量为15t的卡车有$y$辆，沙石总重量为$z$ t。
根据题意列出方程组：
$\begin{cases}x + y = 15 \\10x + 20 = z \\15y - 5 = z\end{cases}$
1. 由$10x + 20 = z$和$15y - 5 = z$，可得：
$10x + 20 = 15y - 5$
化简得：$10x - 15y = -25$，两边同时除以5得：$2x - 3y = -5$
2. 由$x + y = 15$变形得$x = 15 - y$，将其代入$2x - 3y = -5$：
$2(15 - y) - 3y = -5$
展开得：$30 - 2y - 3y = -5$
合并同类项得：$30 - 5y = -5$
移项得：$-5y = -35$
解得：$y = 7$
3. 将$y = 7$代入$x = 15 - y$，得$x = 15 - 7 = 8$
4. 将$x = 8$代入$10x + 20 = z$，得$z = 10×8 + 20 = 100$
答：装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100t沙石。
【答案】
装载量为10t的卡车有8辆，装载量为15t的卡车有7辆，共有100吨沙石。
【知识点】
三元一次方程组的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的方程组解实际运输问题，解题关键是准确梳理题目中的等量关系：卡车总数的等量关系、两种运输方式下沙石总重量的等量关系，通过设未知数建立方程组，再利用消元法逐步求解，考查了实际问题的建模能力和方程组求解能力。
【难度系数】
0.7
3. 在长为10 m、宽为8 m的长方形地块中,沿平行于长方形各边的方向分割出三个一样的小长方形花圃,其示意图如图所示,求小长方形花圃的长和宽.
答案
设小长方形花圃的长为 $x$ m，宽为 $y$ m。
根据题意和图示，可以列出以下方程组：
两个小长方形花圃的长加上一个宽等于大长方形的长，即 $2x + y = 10$。
两个小长方形花圃的宽加上一个长等于大长方形的宽，即$x + 2y = 8$。
将第一个方程乘以2，然后减去第二个方程，得到：
$2(2x + y) - (x + 2y) = 20 - 8$，
$4x + 2y - x - 2y = 12$，
$3x = 12$，
$x = 4$。
将 $x = 4$ 代入第一个方程 $2x + y = 10$，解得：
$2 × 4 + y = 10$，
$y = 2$。
答：小长方形花圃的长为 $4$ m，宽为 $2$ m。
根据题意和图示，可以列出以下方程组：
两个小长方形花圃的长加上一个宽等于大长方形的长，即 $2x + y = 10$。
两个小长方形花圃的宽加上一个长等于大长方形的宽，即$x + 2y = 8$。
将第一个方程乘以2，然后减去第二个方程，得到：
$2(2x + y) - (x + 2y) = 20 - 8$，
$4x + 2y - x - 2y = 12$，
$3x = 12$，
$x = 4$。
将 $x = 4$ 代入第一个方程 $2x + y = 10$，解得：
$2 × 4 + y = 10$，
$y = 2$。
答：小长方形花圃的长为 $4$ m，宽为 $2$ m。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，从图形中找出大长方形的长和宽与小长方形长和宽的等量关系，进而列出二元一次方程组求解。首先观察图形，大长方形的长由2个小长方形的长和1个小长方形的宽组成，大长方形的宽由1个小长方形的长和2个小长方形的宽组成，据此我们可以建立两个方程，组成方程组求解小长方形的长和宽。
【解析】
设小长方形花圃的长为$x$ m，宽为$y$ m。
根据图形中的边长关系，可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\x + 2y = 8\end{cases}$
1. 消元求解$x$：
将第一个方程$2x + y = 10$两边同时乘以2，得到：
$4x + 2y = 20$
用这个方程减去第二个方程$x + 2y = 8$，可得：
$(4x + 2y)-(x + 2y)=20 - 8$
$4x + 2y - x - 2y = 12$
$3x = 12$
解得$x = 4$
2. 代入求解$y$：
将$x = 4$代入方程$2x + y = 10$，可得：
$2×4 + y = 10$
$8 + y = 10$
解得$y = 2$
答：小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m。
【答案】
小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m。
【知识点】
二元一次方程组的应用，图形边长等量关系
【点评】
本题考查了二元一次方程组在实际图形问题中的应用，解题关键是准确观察图形，找出大长方形边长与小长方形长和宽之间的等量关系，通过设未知数建立方程组求解，体现了方程思想在几何实际问题中的运用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过设未知数，从图形中找出大长方形的长和宽与小长方形长和宽的等量关系，进而列出二元一次方程组求解。首先观察图形，大长方形的长由2个小长方形的长和1个小长方形的宽组成，大长方形的宽由1个小长方形的长和2个小长方形的宽组成，据此我们可以建立两个方程，组成方程组求解小长方形的长和宽。
【解析】
设小长方形花圃的长为$x$ m，宽为$y$ m。
根据图形中的边长关系，可列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 10 \\x + 2y = 8\end{cases}$
1. 消元求解$x$：
将第一个方程$2x + y = 10$两边同时乘以2，得到：
$4x + 2y = 20$
用这个方程减去第二个方程$x + 2y = 8$，可得：
$(4x + 2y)-(x + 2y)=20 - 8$
$4x + 2y - x - 2y = 12$
$3x = 12$
解得$x = 4$
2. 代入求解$y$：
将$x = 4$代入方程$2x + y = 10$，可得：
$2×4 + y = 10$
$8 + y = 10$
解得$y = 2$
答：小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m。
【答案】
小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m。
【知识点】
二元一次方程组的应用，图形边长等量关系
【点评】
本题考查了二元一次方程组在实际图形问题中的应用，解题关键是准确观察图形，找出大长方形边长与小长方形长和宽之间的等量关系，通过设未知数建立方程组求解，体现了方程思想在几何实际问题中的运用。
【难度系数】
0.7
4. 某校组织学生乘汽车去自然保护区野营,先以60 km/h的速度走平路,后以30 km/h的速度爬坡,共用了6.5 h;返回时,汽车以40 km/h的速度下坡,又以50 km/h的速度走平路,共用了6 h.学校距自然保护区有多远?
答案
设平路有 $x \, \mathrm{km}$，坡路有 $y \, \mathrm{km}$。
根据题意，去自然保护区时，平路用时 $\frac{x}{60}$ 小时，坡路用时 $\frac{y}{30}$ 小时，总用时 6.5 小时，可以得到方程：
$\frac{x}{60} + \frac{y}{30} = 6.5 \quad \mathrm{(方程1)}$，
返回时，下坡用时 $\frac{y}{40}$ 小时，平路用时 $\frac{x}{50}$ 小时，总用时 6 小时，可以得到方程：
$\frac{x}{50} + \frac{y}{40} = 6 \quad \mathrm{(方程2)}$，
接下来，我们解这个二元一次方程组。
将方程1两边同时乘以60，方程2两边同时乘以200，得到：
$x + 2y = 390 \quad \mathrm{(方程1')}$，
$4x + 5y = 1200 \quad \mathrm{(方程2')}$，
将方程1'乘以4，然后减去方程2'，得到：
$8y - 5y = 1560 - 1200$，
$3y = 360$，
$y = 120$，
将 $y = 120$ 代入方程1'，得到：
$x + 2 × 120 = 390$，
$x = 390 - 240$，
$x = 150$，
因此，学校距自然保护区的总距离为 $x + y = 150 + 120 = 270 \, \mathrm{km}$。
答：学校距自然保护区 $270 \, \mathrm{km}$。
根据题意，去自然保护区时，平路用时 $\frac{x}{60}$ 小时，坡路用时 $\frac{y}{30}$ 小时，总用时 6.5 小时，可以得到方程：
$\frac{x}{60} + \frac{y}{30} = 6.5 \quad \mathrm{(方程1)}$，
返回时，下坡用时 $\frac{y}{40}$ 小时，平路用时 $\frac{x}{50}$ 小时，总用时 6 小时，可以得到方程：
$\frac{x}{50} + \frac{y}{40} = 6 \quad \mathrm{(方程2)}$，
接下来，我们解这个二元一次方程组。
将方程1两边同时乘以60，方程2两边同时乘以200，得到：
$x + 2y = 390 \quad \mathrm{(方程1')}$，
$4x + 5y = 1200 \quad \mathrm{(方程2')}$，
将方程1'乘以4，然后减去方程2'，得到：
$8y - 5y = 1560 - 1200$，
$3y = 360$，
$y = 120$，
将 $y = 120$ 代入方程1'，得到：
$x + 2 × 120 = 390$，
$x = 390 - 240$，
$x = 150$，
因此，学校距自然保护区的总距离为 $x + y = 150 + 120 = 270 \, \mathrm{km}$。
答：学校距自然保护区 $270 \, \mathrm{km}$。
解析
【分析】
这是一道行程类应用题，解题核心是运用“时间=路程÷速度”的基本关系。首先明确往返过程中平路和坡路的路程固定不变，因此可设平路路程为$x \, \mathrm{km}$，坡路路程为$y \, \mathrm{km}$。去程时，平路行驶时间为$\frac{x}{60}$小时，爬坡时间为$\frac{y}{30}$小时，总用时6.5小时，据此列出第一个方程；返程时，下坡时间为$\frac{y}{40}$小时，平路行驶时间为$\frac{x}{50}$小时，总用时6小时，据此列出第二个方程。最后通过解二元一次方程组求出$x$和$y$的值，将两者相加即可得到学校到自然保护区的总距离。
【解析】
设平路有 $x \, \mathrm{km}$，坡路有 $y \, \mathrm{km}$。
根据题意，去程时平路用时$\frac{x}{60}$小时，坡路用时$\frac{y}{30}$小时，总用时6.5小时，可得方程：
$\frac{x}{60} + \frac{y}{30} = 6.5 \quad (1)$
返程时下坡用时$\frac{y}{40}$小时，平路用时$\frac{x}{50}$小时，总用时6小时，可得方程：
$\frac{x}{50} + \frac{y}{40} = 6 \quad (2)$
对两个方程进行化简：
方程(1)两边同时乘以60，得：
$x + 2y = 390 \quad (1')$
方程(2)两边同时乘以200，得：
$4x + 5y = 1200 \quad (2')$
用消元法解方程组：
将方程(1')乘以4，得：
$4x + 8y = 1560 \quad (3)$
用方程(3)减去方程(2')：
$(4x + 8y) - (4x + 5y) = 1560 - 1200$
$3y = 360$
解得 $y = 120$
将 $y = 120$ 代入方程(1')：
$x + 2×120 = 390$
$x = 390 - 240$
解得 $x = 150$
学校到自然保护区的总距离为 $x + y = 150 + 120 = 270 \, \mathrm{km}$
答：学校距自然保护区 $\boldsymbol{270 \, \mathrm{km}}$。
【答案】
270 km
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 行程问题公式
【点评】
本题是典型的分段行程类方程组应用题，关键在于抓住往返过程中平路、坡路路程不变的特点，利用“时间=路程÷速度”的公式构建等量关系。解方程组时合理运用消元法可简化计算，需要学生清晰梳理行程分段过程，准确列出方程。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类应用题，解题核心是运用“时间=路程÷速度”的基本关系。首先明确往返过程中平路和坡路的路程固定不变，因此可设平路路程为$x \, \mathrm{km}$，坡路路程为$y \, \mathrm{km}$。去程时，平路行驶时间为$\frac{x}{60}$小时，爬坡时间为$\frac{y}{30}$小时，总用时6.5小时，据此列出第一个方程；返程时，下坡时间为$\frac{y}{40}$小时，平路行驶时间为$\frac{x}{50}$小时，总用时6小时，据此列出第二个方程。最后通过解二元一次方程组求出$x$和$y$的值，将两者相加即可得到学校到自然保护区的总距离。
【解析】
设平路有 $x \, \mathrm{km}$，坡路有 $y \, \mathrm{km}$。
根据题意，去程时平路用时$\frac{x}{60}$小时，坡路用时$\frac{y}{30}$小时，总用时6.5小时，可得方程：
$\frac{x}{60} + \frac{y}{30} = 6.5 \quad (1)$
返程时下坡用时$\frac{y}{40}$小时，平路用时$\frac{x}{50}$小时，总用时6小时，可得方程：
$\frac{x}{50} + \frac{y}{40} = 6 \quad (2)$
对两个方程进行化简：
方程(1)两边同时乘以60，得：
$x + 2y = 390 \quad (1')$
方程(2)两边同时乘以200，得：
$4x + 5y = 1200 \quad (2')$
用消元法解方程组：
将方程(1')乘以4，得：
$4x + 8y = 1560 \quad (3)$
用方程(3)减去方程(2')：
$(4x + 8y) - (4x + 5y) = 1560 - 1200$
$3y = 360$
解得 $y = 120$
将 $y = 120$ 代入方程(1')：
$x + 2×120 = 390$
$x = 390 - 240$
解得 $x = 150$
学校到自然保护区的总距离为 $x + y = 150 + 120 = 270 \, \mathrm{km}$
答：学校距自然保护区 $\boldsymbol{270 \, \mathrm{km}}$。
【答案】
270 km
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 行程问题公式
【点评】
本题是典型的分段行程类方程组应用题，关键在于抓住往返过程中平路、坡路路程不变的特点，利用“时间=路程÷速度”的公式构建等量关系。解方程组时合理运用消元法可简化计算，需要学生清晰梳理行程分段过程，准确列出方程。
【难度系数】
0.6
5. 1号仓库和2号仓库共存粮450 t,现从1号仓库运出存粮的60%,从2号仓库运出存粮的40%,结果2号仓库所存粮食比1号仓库所存粮食多30 t.1号仓库和2号仓库原来分别存粮多少吨?
答案
设1号仓库原来存粮$x$吨，2号仓库原来存粮$y$吨。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 450 \\(1 - 40\%)y - (1 - 60\%)x = 30\end{cases}$
化简第二个方程：$0.6y - 0.4x = 30$
由第一个方程得：$y = 450 - x$，代入第二个方程：
$0.6(450 - x) - 0.4x = 30$
$270 - 0.6x - 0.4x = 30$
$270 - x = 30$
$x = 240$
将$x = 240$代入$y = 450 - x$，得$y = 450 - 240 = 210$
答：1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 450 \\(1 - 40\%)y - (1 - 60\%)x = 30\end{cases}$
化简第二个方程：$0.6y - 0.4x = 30$
由第一个方程得：$y = 450 - x$，代入第二个方程：
$0.6(450 - x) - 0.4x = 30$
$270 - 0.6x - 0.4x = 30$
$270 - x = 30$
$x = 240$
将$x = 240$代入$y = 450 - x$，得$y = 450 - 240 = 210$
答：1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 确定未知量：题目要求1号仓库和2号仓库原来的存粮量，因此设1号仓库原来存粮$x$吨，2号仓库原来存粮$y$吨。
2. 寻找等量关系：
第一个等量关系：1号仓库和2号仓库共存粮450t，可列出方程$x + y = 450$；
第二个等量关系：运出部分粮食后，2号仓库剩余粮食比1号仓库多30t。1号仓库运出60%后剩余$(1-60\%)x$吨，2号仓库运出40%后剩余$(1-40\%)y$吨，由此可列出方程$(1-40\%)y - (1-60\%)x = 30$。
3. 求解方程组：采用代入消元法，由第一个方程用$x$表示$y$，代入第二个方程求出$x$的值，再将$x$的值代入求出$y$的值，即可得到两个仓库原来的存粮量。
【解析】
设1号仓库原来存粮$x$吨，2号仓库原来存粮$y$吨。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 450 \\(1 - 40\%)y - (1 - 60\%)x = 30\end{cases}$
化简第二个方程：$0.6y - 0.4x = 30$
由第一个方程得：$y = 450 - x$，将其代入第二个方程：
$0.6(450 - x) - 0.4x = 30$
展开得：$270 - 0.6x - 0.4x = 30$
合并同类项得：$270 - x = 30$
解得：$x = 240$
将$x = 240$代入$y = 450 - x$，得$y = 450 - 240 = 210$
答：1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
【答案】
1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的二元一次方程组解决实际存粮问题，关键在于准确分析题意，找出两个等量关系并列出方程组，通过代入消元法求解。此类题目有助于提升学生分析实际问题、将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：
1. 确定未知量：题目要求1号仓库和2号仓库原来的存粮量，因此设1号仓库原来存粮$x$吨，2号仓库原来存粮$y$吨。
2. 寻找等量关系：
第一个等量关系：1号仓库和2号仓库共存粮450t，可列出方程$x + y = 450$；
第二个等量关系：运出部分粮食后，2号仓库剩余粮食比1号仓库多30t。1号仓库运出60%后剩余$(1-60\%)x$吨，2号仓库运出40%后剩余$(1-40\%)y$吨，由此可列出方程$(1-40\%)y - (1-60\%)x = 30$。
3. 求解方程组：采用代入消元法，由第一个方程用$x$表示$y$，代入第二个方程求出$x$的值，再将$x$的值代入求出$y$的值，即可得到两个仓库原来的存粮量。
【解析】
设1号仓库原来存粮$x$吨，2号仓库原来存粮$y$吨。
根据题意，得：
$\begin{cases}x + y = 450 \\(1 - 40\%)y - (1 - 60\%)x = 30\end{cases}$
化简第二个方程：$0.6y - 0.4x = 30$
由第一个方程得：$y = 450 - x$，将其代入第二个方程：
$0.6(450 - x) - 0.4x = 30$
展开得：$270 - 0.6x - 0.4x = 30$
合并同类项得：$270 - x = 30$
解得：$x = 240$
将$x = 240$代入$y = 450 - x$，得$y = 450 - 240 = 210$
答：1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
【答案】
1号仓库原来存粮240吨，2号仓库原来存粮210吨。
【知识点】
二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的二元一次方程组解决实际存粮问题，关键在于准确分析题意，找出两个等量关系并列出方程组，通过代入消元法求解。此类题目有助于提升学生分析实际问题、将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
6. 现有一架天平和若干个1 g,2 g,5 g的砝码,要用15个这些砝码称出30 g的物体.
(1) 在取出的砝码中,设有3个1 g的砝码,2 g和5 g的砝码分别有多少个?
(2) 除第(1)小题的情况外,取出的砝码还有哪几种情况(设一种砝码至少取1个)?
(1) 在取出的砝码中,设有3个1 g的砝码,2 g和5 g的砝码分别有多少个?
(2) 除第(1)小题的情况外,取出的砝码还有哪几种情况(设一种砝码至少取1个)?
答案
(1)设2g砝码有x个，5g砝码有y个。
由题意得：
$\begin{cases}x + y = 15 - 3 \\ 2x + 5y = 30 - 3×1\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 12 \\ 2x + 5y = 27\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 11 \\ y = 1\end{cases}$
答：2g砝码11个，5g砝码1个。
(2)设1g、2g、5g砝码分别有a、b、c个（a,b,c≥1且为整数）。
由题意得：
$\begin{cases}a + b + c = 15 \\ a + 2b + 5c = 30\end{cases}$
两式相减得：$b + 4c = 15$，即$b = 15 - 4c$。
∵b＞0，∴$15 - 4c ＞ 0$，$c ＜ 3.75$，c=1,2,3。
c=1时，a=3,b=11（第(1)小题情况，舍去）；
c=2时，b=15-8=7，a=15-7-2=6；
c=3时，b=15-12=3，a=15-3-3=9。
情况1：1g 6个，2g 7个，5g 2个；
情况2：1g 9个，2g 3个，5g 3个。
由题意得：
$\begin{cases}x + y = 15 - 3 \\ 2x + 5y = 30 - 3×1\end{cases}$
即$\begin{cases}x + y = 12 \\ 2x + 5y = 27\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 11 \\ y = 1\end{cases}$
答：2g砝码11个，5g砝码1个。
(2)设1g、2g、5g砝码分别有a、b、c个（a,b,c≥1且为整数）。
由题意得：
$\begin{cases}a + b + c = 15 \\ a + 2b + 5c = 30\end{cases}$
两式相减得：$b + 4c = 15$，即$b = 15 - 4c$。
∵b＞0，∴$15 - 4c ＞ 0$，$c ＜ 3.75$，c=1,2,3。
c=1时，a=3,b=11（第(1)小题情况，舍去）；
c=2时，b=15-8=7，a=15-7-2=6；
c=3时，b=15-12=3，a=15-3-3=9。
情况1：1g 6个，2g 7个，5g 2个；
情况2：1g 9个，2g 3个，5g 3个。
解析
【分析】
(1) 已知1g砝码数量，可设2g、5g砝码的数量分别为x、y个，根据“2g与5g砝码总数=总砝码数-1g砝码数”“2g与5g砝码总重量=总称重-1g砝码总重量”这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两种砝码的数量。
(2) 设1g、2g、5g砝码分别为a、b、c个（均为正整数），根据总砝码数和总重量列出方程组，通过两式相减消去a，得到b与c的关系式，再结合b为正整数的条件确定c的可能取值，进而求出对应的a、b，注意排除第(1)小题的情况。
【解析】
(1) 设2g砝码有$x$个，5g砝码有$y$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 15 - 3 \\ 2x + 5y = 30 - 3×1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}x + y = 12 \\ 2x + 5y = 27\end{cases}$
由第一个方程得$x = 12 - y$，代入第二个方程：
$2(12 - y) + 5y = 27$
$24 - 2y + 5y = 27$
$3y = 3$
解得$y = 1$，则$x = 12 - 1 = 11$
答：2g砝码有11个，5g砝码有1个。
(2) 设1g、2g、5g砝码分别有$a$、$b$、$c$个（$a,b,c≥1$且为整数）。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 15 \\ a + 2b + 5c = 30\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$a$：
$b + 4c = 15$，即$b = 15 - 4c$
因为$b＞0$，所以$15 - 4c ＞ 0$，解得$c ＜ 3.75$
又$c≥1$且为整数，故$c$可取1、2、3：
$c=1$时，$b=11$，$a=3$，为第(1)小题情况，舍去；
$c=2$时，$b=15-4×2=7$，$a=15-7-2=6$；
$c=3$时，$b=15-4×3=3$，$a=15-3-3=9$。
综上，除第(1)小题外的情况为：
情况1：1g砝码6个，2g砝码7个，5g砝码2个；
情况2：1g砝码9个，2g砝码3个，5g砝码3个。
【答案】
(1) 2g砝码11个，5g砝码1个；
(2) 情况1：1g 6个，2g 7个，5g 2个；情况2：1g 9个，2g 3个，5g 3个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程整数解
【点评】
本题以砝码称重为背景，考查方程建模思想的应用，解题核心是根据实际等量关系列方程，同时要结合未知数为正整数的实际限制条件筛选解，锻炼学生的逻辑分析与实际问题转化能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知1g砝码数量，可设2g、5g砝码的数量分别为x、y个，根据“2g与5g砝码总数=总砝码数-1g砝码数”“2g与5g砝码总重量=总称重-1g砝码总重量”这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两种砝码的数量。
(2) 设1g、2g、5g砝码分别为a、b、c个（均为正整数），根据总砝码数和总重量列出方程组，通过两式相减消去a，得到b与c的关系式，再结合b为正整数的条件确定c的可能取值，进而求出对应的a、b，注意排除第(1)小题的情况。
【解析】
(1) 设2g砝码有$x$个，5g砝码有$y$个。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 15 - 3 \\ 2x + 5y = 30 - 3×1\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}x + y = 12 \\ 2x + 5y = 27\end{cases}$
由第一个方程得$x = 12 - y$，代入第二个方程：
$2(12 - y) + 5y = 27$
$24 - 2y + 5y = 27$
$3y = 3$
解得$y = 1$，则$x = 12 - 1 = 11$
答：2g砝码有11个，5g砝码有1个。
(2) 设1g、2g、5g砝码分别有$a$、$b$、$c$个（$a,b,c≥1$且为整数）。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}a + b + c = 15 \\ a + 2b + 5c = 30\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$a$：
$b + 4c = 15$，即$b = 15 - 4c$
因为$b＞0$，所以$15 - 4c ＞ 0$，解得$c ＜ 3.75$
又$c≥1$且为整数，故$c$可取1、2、3：
$c=1$时，$b=11$，$a=3$，为第(1)小题情况，舍去；
$c=2$时，$b=15-4×2=7$，$a=15-7-2=6$；
$c=3$时，$b=15-4×3=3$，$a=15-3-3=9$。
综上，除第(1)小题外的情况为：
情况1：1g砝码6个，2g砝码7个，5g砝码2个；
情况2：1g砝码9个，2g砝码3个，5g砝码3个。
【答案】
(1) 2g砝码11个，5g砝码1个；
(2) 情况1：1g 6个，2g 7个，5g 2个；情况2：1g 9个，2g 3个，5g 3个。
【知识点】
二元一次方程组的应用，不定方程整数解
【点评】
本题以砝码称重为背景，考查方程建模思想的应用，解题核心是根据实际等量关系列方程，同时要结合未知数为正整数的实际限制条件筛选解，锻炼学生的逻辑分析与实际问题转化能力。
【难度系数】
0.6
