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3. 用不等式表示:
(1) $ x $ 的 $ \frac { 1 } { 2 } $ 与 $ 3 $ 的差大于 $ 2 $;
(2) $ 4 x $ 与 $ 3 $ 的和小于或等于零;
(3) $ a $ 的 $ 2 $ 倍与 $ 4 $ 的差是正数;
(4) $ b $ 与 $ c $ 的和的 $ \frac { 1 } { 2 } $ 是非负数;
(5) $ x $ 与 $ 17 $ 的和比 $ x $ 的 $ 5 $ 倍小.
(1) $ x $ 的 $ \frac { 1 } { 2 } $ 与 $ 3 $ 的差大于 $ 2 $;
(2) $ 4 x $ 与 $ 3 $ 的和小于或等于零;
(3) $ a $ 的 $ 2 $ 倍与 $ 4 $ 的差是正数;
(4) $ b $ 与 $ c $ 的和的 $ \frac { 1 } { 2 } $ 是非负数;
(5) $ x $ 与 $ 17 $ 的和比 $ x $ 的 $ 5 $ 倍小.
答案
(1) $\frac{1}{2}x - 3 ＞ 2$
(2) $4x + 3 ≤ 0$
(3) $2a - 4 ＞ 0$
(4) $\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$
(5) $x + 17 ＜ 5x$
(2) $4x + 3 ≤ 0$
(3) $2a - 4 ＞ 0$
(4) $\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$
(5) $x + 17 ＜ 5x$
解析
【分析】
解决这类问题，我们需要先理清每个小题中的数量运算关系，明确运算顺序，再抓住题目里表示不等关系的关键词（如“大于”“小于或等于”“正数”“非负数”等），将其对应替换为正确的不等号，最终写出不等式。具体思路如下：
(1) 先表示出“$x$的$\frac{1}{2}$”，再求其与3的差，最后根据“大于2”确定不等号；
(2) 先表示“$4x$与3的和”，再根据“小于或等于零”确定不等号；
(3) 先表示“$a$的2倍”，再求其与4的差，“正数”意味着结果大于0；
(4) 先求“$b$与$c$的和”，再取其$\frac{1}{2}$，“非负数”是指大于或等于0；
(5) 分别表示“$x$与17的和”和“$x$的5倍”，根据“比...小”确定不等号。
【解析】
(1) 先写出“$x$的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}x$，再表示“与3的差”为$\frac{1}{2}x - 3$，结合“大于2”，得到不等式：$\frac{1}{2}x - 3 ＞ 2$；
(2) 表示“$4x$与3的和”为$4x + 3$，根据“小于或等于零”，得到不等式：$4x + 3 ≤ 0$；
(3) 写出“$a$的2倍”为$2a$，再表示“与4的差”为$2a - 4$，“正数”即大于0，得到不等式：$2a - 4 ＞ 0$；
(4) 先求“$b$与$c$的和”为$b + c$，再表示“和的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}(b + c)$，“非负数”即大于或等于0，得到不等式：$\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$；
(5) 分别表示“$x$与17的和”为$x + 17$，“$x$的5倍”为$5x$，根据“比$x$的5倍小”，得到不等式：$x + 17 ＜ 5x$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x - 3 ＞ 2$
(2) $4x + 3 ≤ 0$
(3) $2a - 4 ＞ 0$
(4) $\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$
(5) $x + 17 ＜ 5x$
【知识点】
列一元一次不等式、不等关系转化
【点评】
本题重点考查文字语言到不等式的转化能力，核心是准确识别运算顺序和不等关系关键词，正确匹配对应的不等号，同时注意运算的先后顺序（如和的几分之几需添加括号），属于基础题型，能帮助学生夯实不等式的概念理解。
【难度系数】
0.9
解决这类问题，我们需要先理清每个小题中的数量运算关系，明确运算顺序，再抓住题目里表示不等关系的关键词（如“大于”“小于或等于”“正数”“非负数”等），将其对应替换为正确的不等号，最终写出不等式。具体思路如下：
(1) 先表示出“$x$的$\frac{1}{2}$”，再求其与3的差，最后根据“大于2”确定不等号；
(2) 先表示“$4x$与3的和”，再根据“小于或等于零”确定不等号；
(3) 先表示“$a$的2倍”，再求其与4的差，“正数”意味着结果大于0；
(4) 先求“$b$与$c$的和”，再取其$\frac{1}{2}$，“非负数”是指大于或等于0；
(5) 分别表示“$x$与17的和”和“$x$的5倍”，根据“比...小”确定不等号。
【解析】
(1) 先写出“$x$的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}x$，再表示“与3的差”为$\frac{1}{2}x - 3$，结合“大于2”，得到不等式：$\frac{1}{2}x - 3 ＞ 2$；
(2) 表示“$4x$与3的和”为$4x + 3$，根据“小于或等于零”，得到不等式：$4x + 3 ≤ 0$；
(3) 写出“$a$的2倍”为$2a$，再表示“与4的差”为$2a - 4$，“正数”即大于0，得到不等式：$2a - 4 ＞ 0$；
(4) 先求“$b$与$c$的和”为$b + c$，再表示“和的$\frac{1}{2}$”为$\frac{1}{2}(b + c)$，“非负数”即大于或等于0，得到不等式：$\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$；
(5) 分别表示“$x$与17的和”为$x + 17$，“$x$的5倍”为$5x$，根据“比$x$的5倍小”，得到不等式：$x + 17 ＜ 5x$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}x - 3 ＞ 2$
(2) $4x + 3 ≤ 0$
(3) $2a - 4 ＞ 0$
(4) $\frac{1}{2}(b + c) ≥ 0$
(5) $x + 17 ＜ 5x$
【知识点】
列一元一次不等式、不等关系转化
【点评】
本题重点考查文字语言到不等式的转化能力，核心是准确识别运算顺序和不等关系关键词，正确匹配对应的不等号，同时注意运算的先后顺序（如和的几分之几需添加括号），属于基础题型，能帮助学生夯实不等式的概念理解。
【难度系数】
0.9
4. 用不等式表示下列数量之间的关系:
(1) 一罐饮料净重为 $ 300 \mathrm { g } $，其中，蛋白质含量为 $ m \mathrm { g } $，且不低于净重的 $ 0.6 \% $;
(2) 某校七年级学生有 $ m $ 人，八年级学生有 $ n $ 人，七年级学生人数比八年级的 $ 2 $ 倍还要多.
(3) 某超市购进 $ \mathrm { A } $ 种糖果 $ 30 \mathrm { kg } $，售价为 $ a $ 元 $ / \mathrm { kg } $; 购进 $ \mathrm { B } $ 种糖果 $ 20 \mathrm { kg } $，售价为 $ b $ 元 $ / \mathrm { kg } $. 将 $ \mathrm { A } $，$ \mathrm { B } $ 两种糖果混合，并以 $ \frac { a + b } { 2 } $ 元 $ / \mathrm { kg } $ 全部售出，发现亏本了.
(1) 一罐饮料净重为 $ 300 \mathrm { g } $，其中，蛋白质含量为 $ m \mathrm { g } $，且不低于净重的 $ 0.6 \% $;
(2) 某校七年级学生有 $ m $ 人，八年级学生有 $ n $ 人，七年级学生人数比八年级的 $ 2 $ 倍还要多.
(3) 某超市购进 $ \mathrm { A } $ 种糖果 $ 30 \mathrm { kg } $，售价为 $ a $ 元 $ / \mathrm { kg } $; 购进 $ \mathrm { B } $ 种糖果 $ 20 \mathrm { kg } $，售价为 $ b $ 元 $ / \mathrm { kg } $. 将 $ \mathrm { A } $，$ \mathrm { B } $ 两种糖果混合，并以 $ \frac { a + b } { 2 } $ 元 $ / \mathrm { kg } $ 全部售出，发现亏本了.
答案
(1) $m ≥ 300 × 0.6\%$，即$m ≥ 1.8$。
(2) $m ＞ 2n$。
(3) $30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或 $30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
(2) $m ＞ 2n$。
(3) $30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或 $30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
解析
【分析】
1. 对于(1)，“不低于”表示大于等于，先计算出净重300g的0.6%，再让蛋白质含量m大于等于该数值即可列出不等式；
2. 对于(2)，“比八年级的2倍还要多”意味着七年级人数m大于八年级人数n的2倍，直接根据此数量关系列不等式；
3. 对于(3)，亏本即总成本大于总销售额，先分别计算A、B两种糖果的总成本和混合后的总销售额，再根据“成本＞销售额”列出不等式。
【解析】
(1) 净重的0.6%为$300×0.6\%$，由于蛋白质含量$m$不低于净重的0.6%，因此可得不等式：
$m ≥ 300 × 0.6\%$，化简得$m ≥ 1.8$；
(2) 八年级学生人数的2倍为$2n$，结合“七年级学生人数比八年级的2倍还要多”，可得不等式：
$m ＞ 2n$；
(3) A、B两种糖果的总成本为$30a + 20b$元，混合后总重量为$30+20=50\mathrm{kg}$，总销售额为$\frac{a + b}{2}×50$元，因为亏本，即总成本大于总销售额，所以不等式为：
$30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或化简为$30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
【答案】
(1) $m ≥ 1.8$（或$m ≥ 300 × 0.6\%$）；
(2) $m ＞ 2n$；
(3) $30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或$30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
【知识点】
列不等式表示数量关系、实际问题与不等式
【点评】
本题重点考查将实际问题中的文字描述转化为数学不等式的能力，需准确把握“不低于”“比…多”“亏本”等关键词对应的不等关系，培养从实际情境中抽象出数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
1. 对于(1)，“不低于”表示大于等于，先计算出净重300g的0.6%，再让蛋白质含量m大于等于该数值即可列出不等式；
2. 对于(2)，“比八年级的2倍还要多”意味着七年级人数m大于八年级人数n的2倍，直接根据此数量关系列不等式；
3. 对于(3)，亏本即总成本大于总销售额，先分别计算A、B两种糖果的总成本和混合后的总销售额，再根据“成本＞销售额”列出不等式。
【解析】
(1) 净重的0.6%为$300×0.6\%$，由于蛋白质含量$m$不低于净重的0.6%，因此可得不等式：
$m ≥ 300 × 0.6\%$，化简得$m ≥ 1.8$；
(2) 八年级学生人数的2倍为$2n$，结合“七年级学生人数比八年级的2倍还要多”，可得不等式：
$m ＞ 2n$；
(3) A、B两种糖果的总成本为$30a + 20b$元，混合后总重量为$30+20=50\mathrm{kg}$，总销售额为$\frac{a + b}{2}×50$元，因为亏本，即总成本大于总销售额，所以不等式为：
$30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或化简为$30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
【答案】
(1) $m ≥ 1.8$（或$m ≥ 300 × 0.6\%$）；
(2) $m ＞ 2n$；
(3) $30a + 20b ＞ \frac{a + b}{2} × (30 + 20)$（或$30a + 20b ＞ 25a + 25b$）。
【知识点】
列不等式表示数量关系、实际问题与不等式
【点评】
本题重点考查将实际问题中的文字描述转化为数学不等式的能力，需准确把握“不低于”“比…多”“亏本”等关键词对应的不等关系，培养从实际情境中抽象出数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
5. 请设计不同的实际背景表示下列不等式:
(1) $ x + y ≤ 5 $;
(2) $ 2 x + 1 ＞ 3 $.
(1) $ x + y ≤ 5 $;
(2) $ 2 x + 1 ＞ 3 $.
答案
(1) 背景1：小明购买单价为1元的铅笔x支和单价为1元的橡皮y块，总花费不超过5元。背景2：一个长方形的长为x，宽为y，其周长的一半不超过5。
(2) 背景1：某数x的2倍与1的和大于3。背景2：小明有x个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
(2) 背景1：某数x的2倍与1的和大于3。背景2：小明有x个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
解析
【分析】
设计不等式的实际背景，核心是先拆解不等式的数量关系与不等关系，再结合生活中常见场景（如购物、物品数量、几何图形量等），将代数式转化为实际的量，匹配对应的不等关系：
1. 对于$x + y ≤ 5$，左边是两个变量的和，不等关系为“不超过5”，可从购物总花费、图形的长加宽之和、两种物品总数等角度构建场景；
2. 对于$2x + 1 ＞ 3$，左边是$x$的2倍与1的和，不等关系为“大于3”，可从数的运算、物品数量比较、生活中的数量对比等角度构建场景。
【解析】
(1) 背景1：小明购买单价为1元的铅笔$x$支和单价为1元的橡皮$y$块，总花费不超过5元。
背景2：一个长方形的长为$x$，宽为$y$，其长与宽的和（即周长的一半）不超过5。
(2) 背景1：某数$x$的2倍与1的和大于3。
背景2：小明有$x$个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
【答案】
(1) 示例1：小明购买单价1元的铅笔$x$支和单价1元的橡皮$y$块，总花费不超过5元；示例2：长方形的长为$x$，宽为$y$，其长与宽的和不超过5。
(2) 示例1：某数$x$的2倍与1的和大于3；示例2：小明有$x$个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
【知识点】
不等式的实际建模、生活中的不等式应用
【点评】
本题考查不等式与实际生活的联系，答案不唯一，只要构建的场景符合不等式的数量逻辑即可，能帮助学生理解不等式的实际意义，提升数学建模能力。
【难度系数】
0.8
设计不等式的实际背景，核心是先拆解不等式的数量关系与不等关系，再结合生活中常见场景（如购物、物品数量、几何图形量等），将代数式转化为实际的量，匹配对应的不等关系：
1. 对于$x + y ≤ 5$，左边是两个变量的和，不等关系为“不超过5”，可从购物总花费、图形的长加宽之和、两种物品总数等角度构建场景；
2. 对于$2x + 1 ＞ 3$，左边是$x$的2倍与1的和，不等关系为“大于3”，可从数的运算、物品数量比较、生活中的数量对比等角度构建场景。
【解析】
(1) 背景1：小明购买单价为1元的铅笔$x$支和单价为1元的橡皮$y$块，总花费不超过5元。
背景2：一个长方形的长为$x$，宽为$y$，其长与宽的和（即周长的一半）不超过5。
(2) 背景1：某数$x$的2倍与1的和大于3。
背景2：小明有$x$个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
【答案】
(1) 示例1：小明购买单价1元的铅笔$x$支和单价1元的橡皮$y$块，总花费不超过5元；示例2：长方形的长为$x$，宽为$y$，其长与宽的和不超过5。
(2) 示例1：某数$x$的2倍与1的和大于3；示例2：小明有$x$个苹果，小红的苹果数比小明的2倍还多1个，小红的苹果数大于3。
【知识点】
不等式的实际建模、生活中的不等式应用
【点评】
本题考查不等式与实际生活的联系，答案不唯一，只要构建的场景符合不等式的数量逻辑即可，能帮助学生理解不等式的实际意义，提升数学建模能力。
【难度系数】
0.8
6. 一个竹篮的质量为 $ 0.5 \mathrm { kg } $，装入每枚质量为 $ 0.06 \mathrm { kg } $ 的一些鸡蛋后，总质量超过了 $ 3 \mathrm { kg } $. 该竹篮内至少装了多少枚鸡蛋?
(1) 如果这个竹篮装了 $ x $ 枚鸡蛋，那么 $ x $ 应满足怎样的关系?
(2) 填写下表:
(3) 估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋.
(1) 如果这个竹篮装了 $ x $ 枚鸡蛋，那么 $ x $ 应满足怎样的关系?
(2) 填写下表:
(3) 估计该竹篮至少装了多少枚鸡蛋.
答案
(1) 设该竹篮装了 $x$ 枚鸡蛋，根据题意，应满足：
$0.5 + 0.06x ＞ 3$。
(2) 计算并填写表格：
| 鸡蛋数量 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总质量/kg | $0.5 + 0.06 × 30 = 2.3$ | $0.5 + 0.06 × 35 = 2.6$ | $0.5 + 0.06 × 40 = 2.9$ | $0.5 + 0.06 × 45 = 3.2$ | $0.5 + 0.06 × 50 = 3.5$ |
(3) 根据 (1) 中的不等式：
$0.06x ＞ 2.5$，
$x ＞ \frac{2.5}{0.06} \approx 41.67$。
因此，竹篮内至少装了 42 枚鸡蛋。
$0.5 + 0.06x ＞ 3$。
(2) 计算并填写表格：
| 鸡蛋数量 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总质量/kg | $0.5 + 0.06 × 30 = 2.3$ | $0.5 + 0.06 × 35 = 2.6$ | $0.5 + 0.06 × 40 = 2.9$ | $0.5 + 0.06 × 45 = 3.2$ | $0.5 + 0.06 × 50 = 3.5$ |
(3) 根据 (1) 中的不等式：
$0.06x ＞ 2.5$，
$x ＞ \frac{2.5}{0.06} \approx 41.67$。
因此，竹篮内至少装了 42 枚鸡蛋。
解析
【分析】
1. 第(1)问：明确总质量由竹篮质量和鸡蛋总质量组成，“总质量超过3kg”意味着总质量大于3kg，据此可列出关于鸡蛋数量$x$的不等式。
2. 第(2)问：根据“总质量=竹篮质量+鸡蛋总质量”的公式，将不同的鸡蛋数量代入公式，计算对应总质量即可。
3. 第(3)问：先解第(1)问得到的不等式，求出$x$的取值范围，再结合鸡蛋数量为正整数的实际情况，确定最小的整数解。
【解析】
(1) 设竹篮装了$x$枚鸡蛋，竹篮质量为$0.5\mathrm{kg}$，$x$枚鸡蛋的质量为$0.06x\mathrm{kg}$，由总质量超过$3\mathrm{kg}$，可得$x$满足的关系：
$0.5 + 0.06x ＞ 3$
(2) 代入鸡蛋数量计算总质量：
当$x=30$时，总质量$=0.5 + 0.06×30 = 2.3(\mathrm{kg})$
当$x=35$时，总质量$=0.5 + 0.06×35 = 2.6(\mathrm{kg})$
当$x=40$时，总质量$=0.5 + 0.06×40 = 2.9(\mathrm{kg})$
当$x=45$时，总质量$=0.5 + 0.06×45 = 3.2(\mathrm{kg})$
当$x=50$时，总质量$=0.5 + 0.06×50 = 3.5(\mathrm{kg})$
填写表格如下：
| 鸡蛋数量 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总质量/kg | 2.3 | 2.6 | 2.9 | 3.2 | 3.5 |
(3) 解不等式$0.5 + 0.06x ＞ 3$：
移项得：$0.06x ＞ 3 - 0.5$，即$0.06x ＞ 2.5$
两边除以$0.06$得：$x ＞ \frac{2.5}{0.06} \approx 41.67$
因为鸡蛋数量为正整数，所以$x$的最小值为42，即竹篮至少装了42枚鸡蛋。
【答案】
(1) $0.5 + 0.06x ＞ 3$；
(2) 2.3、2.6、2.9、3.2、3.5；
(3) 42枚。
【知识点】
一元一次不等式的应用、代数式求值
【点评】
本题结合实际场景，考查了不等关系的建立与一元一次不等式的求解，同时涉及代数式的计算。解题关键是准确将“超过”转化为不等号，并且注意鸡蛋数量为正整数的实际限制，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问：明确总质量由竹篮质量和鸡蛋总质量组成，“总质量超过3kg”意味着总质量大于3kg，据此可列出关于鸡蛋数量$x$的不等式。
2. 第(2)问：根据“总质量=竹篮质量+鸡蛋总质量”的公式，将不同的鸡蛋数量代入公式，计算对应总质量即可。
3. 第(3)问：先解第(1)问得到的不等式，求出$x$的取值范围，再结合鸡蛋数量为正整数的实际情况，确定最小的整数解。
【解析】
(1) 设竹篮装了$x$枚鸡蛋，竹篮质量为$0.5\mathrm{kg}$，$x$枚鸡蛋的质量为$0.06x\mathrm{kg}$，由总质量超过$3\mathrm{kg}$，可得$x$满足的关系：
$0.5 + 0.06x ＞ 3$
(2) 代入鸡蛋数量计算总质量：
当$x=30$时，总质量$=0.5 + 0.06×30 = 2.3(\mathrm{kg})$
当$x=35$时，总质量$=0.5 + 0.06×35 = 2.6(\mathrm{kg})$
当$x=40$时，总质量$=0.5 + 0.06×40 = 2.9(\mathrm{kg})$
当$x=45$时，总质量$=0.5 + 0.06×45 = 3.2(\mathrm{kg})$
当$x=50$时，总质量$=0.5 + 0.06×50 = 3.5(\mathrm{kg})$
填写表格如下：
| 鸡蛋数量 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 总质量/kg | 2.3 | 2.6 | 2.9 | 3.2 | 3.5 |
(3) 解不等式$0.5 + 0.06x ＞ 3$：
移项得：$0.06x ＞ 3 - 0.5$，即$0.06x ＞ 2.5$
两边除以$0.06$得：$x ＞ \frac{2.5}{0.06} \approx 41.67$
因为鸡蛋数量为正整数，所以$x$的最小值为42，即竹篮至少装了42枚鸡蛋。
【答案】
(1) $0.5 + 0.06x ＞ 3$；
(2) 2.3、2.6、2.9、3.2、3.5；
(3) 42枚。
【知识点】
一元一次不等式的应用、代数式求值
【点评】
本题结合实际场景，考查了不等关系的建立与一元一次不等式的求解，同时涉及代数式的计算。解题关键是准确将“超过”转化为不等号，并且注意鸡蛋数量为正整数的实际限制，培养将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
