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5. 已知 $x^{m} = 3, x^{n} = 9$ ( $m, n$ 是正整数).
(1) 求 $x^{m + n}, x^{m - n}$ 的值；
(2) 求 $x^{3m - 2n}$ 的值.
(1) 求 $x^{m + n}, x^{m - n}$ 的值；
(2) 求 $x^{3m - 2n}$ 的值.
答案
(1)
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{m + n}=x^{m}· x^{n}$，已知$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$，则$x^{m + n}=3×9 = 27$；
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{m - n}=\frac{x^{m}}{x^{n}}$，把$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$代入得$x^{m - n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2)
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$x^{3m}=(x^{m})^{3}$，把$x^{m} = 3$代入得$x^{3m}=3^{3}=27$；
$x^{2n}=(x^{n})^{2}$，把$x^{n} = 9$代入得$x^{2n}=9^{2}=81$；
再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{3m - 2n}=\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，把$x^{3m}=27$，$x^{2n}=81$代入得$x^{3m - 2n}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$。
综上，答案依次为：(1)$x^{m + n}=27$，$x^{m - n}=\frac{1}{3}$；(2)$x^{3m - 2n}=\frac{1}{3}$。
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{m + n}=x^{m}· x^{n}$，已知$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$，则$x^{m + n}=3×9 = 27$；
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{m - n}=\frac{x^{m}}{x^{n}}$，把$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$代入得$x^{m - n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2)
根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$x^{3m}=(x^{m})^{3}$，把$x^{m} = 3$代入得$x^{3m}=3^{3}=27$；
$x^{2n}=(x^{n})^{2}$，把$x^{n} = 9$代入得$x^{2n}=9^{2}=81$；
再根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{3m - 2n}=\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，把$x^{3m}=27$，$x^{2n}=81$代入得$x^{3m - 2n}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$。
综上，答案依次为：(1)$x^{m + n}=27$，$x^{m - n}=\frac{1}{3}$；(2)$x^{3m - 2n}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则的应用，解题思路是利用同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则的逆运算，将所求式子转化为已知条件中$x^m$和$x^n$的形式，再代入数值计算。
对于(1)，$x^{m+n}$可根据同底数幂相乘的法则逆用，转化为$x^m·x^n$，直接代入已知值计算；$x^{m-n}$根据同底数幂相除的法则逆用，转化为$\frac{x^m}{x^n}$，代入数值计算即可。
对于(2)，$x^{3m-2n}$可拆分为$\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，再利用幂的乘方法则，将$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，代入已知值计算后再相除得到结果。
【解析】
(1)
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{m + n}=x^{m}· x^{n}$，已知$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$，则$x^{m + n}=3×9 = 27$；
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{m - n}=\frac{x^{m}}{x^{n}}$，把$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$代入得$x^{m - n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2)
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$x^{3m}=(x^{m})^{3}$，把$x^{m} = 3$代入得$x^{3m}=3^{3}=27$；
$x^{2n}=(x^{n})^{2}$，把$x^{n} = 9$代入得$x^{2n}=9^{2}=81$；
再根据同底数幂的除法法则，$x^{3m - 2n}=\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，把$x^{3m}=27$，$x^{2n}=81$代入得$x^{3m - 2n}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x^{m + n}=27$，$x^{m - n}=\frac{1}{3}$；
(2) $x^{3m - 2n}=\frac{1}{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的逆用，需要熟练掌握同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，通过将所求式子转化为已知条件的形式，利用整体代入的方法计算，属于基础题型，有助于巩固幂的运算相关知识点。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算法则的应用，解题思路是利用同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则的逆运算，将所求式子转化为已知条件中$x^m$和$x^n$的形式，再代入数值计算。
对于(1)，$x^{m+n}$可根据同底数幂相乘的法则逆用，转化为$x^m·x^n$，直接代入已知值计算；$x^{m-n}$根据同底数幂相除的法则逆用，转化为$\frac{x^m}{x^n}$，代入数值计算即可。
对于(2)，$x^{3m-2n}$可拆分为$\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，再利用幂的乘方法则，将$x^{3m}$转化为$(x^m)^3$，$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，代入已知值计算后再相除得到结果。
【解析】
(1)
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$x^{m + n}=x^{m}· x^{n}$，已知$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$，则$x^{m + n}=3×9 = 27$；
根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$x^{m - n}=\frac{x^{m}}{x^{n}}$，把$x^{m} = 3$，$x^{n} = 9$代入得$x^{m - n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
(2)
根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$x^{3m}=(x^{m})^{3}$，把$x^{m} = 3$代入得$x^{3m}=3^{3}=27$；
$x^{2n}=(x^{n})^{2}$，把$x^{n} = 9$代入得$x^{2n}=9^{2}=81$；
再根据同底数幂的除法法则，$x^{3m - 2n}=\frac{x^{3m}}{x^{2n}}$，把$x^{3m}=27$，$x^{2n}=81$代入得$x^{3m - 2n}=\frac{27}{81}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $x^{m + n}=27$，$x^{m - n}=\frac{1}{3}$；
(2) $x^{3m - 2n}=\frac{1}{3}$
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方
【点评】
本题主要考查幂的运算法则的逆用，需要熟练掌握同底数幂的乘除法法则以及幂的乘方法则，通过将所求式子转化为已知条件的形式，利用整体代入的方法计算，属于基础题型，有助于巩固幂的运算相关知识点。
【难度系数】
0.8
6. 在课本“7.2 幂的乘方与积的乘方”中, 我们探索得到了积的乘方运算性质: $(ab)^{m} = a^{m}b^{m}$ ( $m$ 是正整数). 请类比该性质的推导过程, 解决下列问题:
(1) 计算 $(\frac{a}{b})^{n}$ ( $b ≠ 0, n$ 是正整数)；
(2) 尝试用文字表述第(1)小题中得到的结论.
(1) 计算 $(\frac{a}{b})^{n}$ ( $b ≠ 0, n$ 是正整数)；
(2) 尝试用文字表述第(1)小题中得到的结论.
答案
(1)
根据乘方的意义，将$\frac{a}{b}$看作一个整体，$(\frac{a}{b})^{n}$表示$n$个$\frac{a}{b}$相乘，即：
$(\frac{a}{b})^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，$\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}=\frac{a× a×···× a}{b× b×···× b}$（分子分母都是$n$个因数相乘）
根据乘方的定义，$a× a×···× a = a^{n}$，$b× b×···× b = b^{n}$，所以$\frac{a× a×···× a}{b× b×···× b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$。
故$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$，其中$b≠0$，$n$是正整数。
(2)
商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
根据乘方的意义，将$\frac{a}{b}$看作一个整体，$(\frac{a}{b})^{n}$表示$n$个$\frac{a}{b}$相乘，即：
$(\frac{a}{b})^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，$\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}=\frac{a× a×···× a}{b× b×···× b}$（分子分母都是$n$个因数相乘）
根据乘方的定义，$a× a×···× a = a^{n}$，$b× b×···× b = b^{n}$，所以$\frac{a× a×···× a}{b× b×···× b}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$。
故$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$，其中$b≠0$，$n$是正整数。
(2)
商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
解析
【分析】
我们可以类比积的乘方的推导过程来解决问题：首先依据乘方的意义，将商的乘方转化为多个相同商相乘的形式；接着运用分式乘法法则，把分子、分母分别进行连乘运算；最后根据乘方的定义，将分子分母的连乘形式转化为幂的形式，进而得出结论。对于第(2)问，只需把第(1)问得到的数学表达式转化为规范的文字语言即可。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(\frac{a}{b})^{n}$表示$n$个$\frac{a}{b}$相乘，即：
$(\frac{a}{b})^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得：
$\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}=\frac{\underbrace{a×a×···×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×···×b}_{n个}}$
根据乘方的定义，$\underbrace{a×a×···×a}_{n个}=a^{n}$，$\underbrace{b×b×···×b}_{n个}=b^{n}$，因此：
$\frac{\underbrace{a×a×···×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×···×b}_{n个}}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$
综上，$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$（$b≠0$，$n$是正整数）。
(2) 用文字表述结论为：商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}}$（$b≠0$，$n$是正整数）；
(2) 商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
【知识点】
商的乘方运算性质，乘方的意义，分式乘法法则
【点评】
本题通过类比积的乘方的推导过程，考查知识迁移能力，核心是理解乘方的意义和分式乘法法则，掌握从具体运算到抽象性质的推导方法，有助于加深对幂的运算性质的整体理解。
【难度系数】
0.8
我们可以类比积的乘方的推导过程来解决问题：首先依据乘方的意义，将商的乘方转化为多个相同商相乘的形式；接着运用分式乘法法则，把分子、分母分别进行连乘运算；最后根据乘方的定义，将分子分母的连乘形式转化为幂的形式，进而得出结论。对于第(2)问，只需把第(1)问得到的数学表达式转化为规范的文字语言即可。
【解析】
(1) 根据乘方的意义，$(\frac{a}{b})^{n}$表示$n$个$\frac{a}{b}$相乘，即：
$(\frac{a}{b})^{n}=\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}$
根据分式乘法法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得：
$\underbrace{\frac{a}{b}×\frac{a}{b}×···×\frac{a}{b}}_{n个}=\frac{\underbrace{a×a×···×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×···×b}_{n个}}$
根据乘方的定义，$\underbrace{a×a×···×a}_{n个}=a^{n}$，$\underbrace{b×b×···×b}_{n个}=b^{n}$，因此：
$\frac{\underbrace{a×a×···×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×···×b}_{n个}}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$
综上，$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$（$b≠0$，$n$是正整数）。
(2) 用文字表述结论为：商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}}$（$b≠0$，$n$是正整数）；
(2) 商的乘方，等于把分子、分母分别乘方，再把所得的幂相除。
【知识点】
商的乘方运算性质，乘方的意义，分式乘法法则
【点评】
本题通过类比积的乘方的推导过程，考查知识迁移能力，核心是理解乘方的意义和分式乘法法则，掌握从具体运算到抽象性质的推导方法，有助于加深对幂的运算性质的整体理解。
【难度系数】
0.8
