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例 计算：
(1) $10^{4}÷10^{-2}×10^{0}$；
(2) $10^{0}÷(-10)^{-3}$；
(3) $(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}$。
(1) $10^{4}÷10^{-2}×10^{0}$；
(2) $10^{0}÷(-10)^{-3}$；
(3) $(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}$。
答案
(1)
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n = a^{m - n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）以及同底数幂的乘法法则$a^m× a^n = a^{m + n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），且任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1(a≠0)$。
$10^{4}÷10^{-2}×10^{0}=10^{4-(-2)}×1 = 10^{4 + 2}×1=10^{6}×1 = 1000000$
(2)
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0$，$p$为正整数$)$，以及同底数幂的除法法则。
$10^{0}÷(-10)^{-3}=1÷(-\frac{1}{10^{3}})=1×(-10^{3})=-1000$
(3)
根据零指数幂的运算法则$a^0 = 1(a≠0)$，负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0$，$p$为正整数$)$以及同底数幂的除法法则。
$(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}=1÷\frac{1}{(-\frac{1}{3})^{2}}×(-5)=1÷\frac{1}{\frac{1}{9}}×(-5)=1÷9×(-5)=1×\frac{1}{9}×(-5)=-\frac{5}{9}$
根据同底数幂的除法法则$a^m÷ a^n = a^{m - n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）以及同底数幂的乘法法则$a^m× a^n = a^{m + n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），且任何非零数的$0$次幂都等于$1$，即$a^0 = 1(a≠0)$。
$10^{4}÷10^{-2}×10^{0}=10^{4-(-2)}×1 = 10^{4 + 2}×1=10^{6}×1 = 1000000$
(2)
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0$，$p$为正整数$)$，以及同底数幂的除法法则。
$10^{0}÷(-10)^{-3}=1÷(-\frac{1}{10^{3}})=1×(-10^{3})=-1000$
(3)
根据零指数幂的运算法则$a^0 = 1(a≠0)$，负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0$，$p$为正整数$)$以及同底数幂的除法法则。
$(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}=1÷\frac{1}{(-\frac{1}{3})^{2}}×(-5)=1÷\frac{1}{\frac{1}{9}}×(-5)=1÷9×(-5)=1×\frac{1}{9}×(-5)=-\frac{5}{9}$
解析
【分析】
这三个小题均为整数指数幂的混合运算，解题核心是熟练运用相关幂的运算法则，按从左到右的顺序逐步计算：
1. 对于(1)，先利用零指数幂法则确定$10^0=1$，再通过同底数幂的除法法则计算$10^4÷10^{-2}$，最后进行乘法运算；
2. 对于(2)，先算出$10^0=1$，再将负整数指数幂$(-10)^{-3}$转化为正整数指数幂形式，再做除法运算；
3. 对于(3)，先计算$(\frac{1}{3})^0=1$，再分别把$(-\frac{1}{3})^{-2}$和$(-\frac{1}{5})^{-1}$转化为正整数指数幂，最后按从左到右的顺序完成乘除运算，过程中注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），同底数幂的乘法法则$a^m×a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）计算：
$10^{4}÷10^{-2}×10^{0}$
$=10^{4-(-2)}×1$
$=10^{4+2}×1$
$=10^6×1$
$=1000000$
(2) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
$10^{0}÷(-10)^{-3}$
$=1÷\frac{1}{(-10)^3}$
$=1÷(-\frac{1}{1000})$
$=1×(-1000)$
$=-1000$
(3) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
$(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}$
$=1÷\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}×\frac{1}{(-\frac{1}{5})}$
$=1÷\frac{1}{\frac{1}{9}}×(-5)$
$=1÷9×(-5)$
$=\frac{1}{9}×(-5)$
$=-\frac{5}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{1000000}$；(2) $\boxed{-1000}$；(3) $\boxed{-\frac{5}{9}}$
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘除运算
【点评】
本题考查整数指数幂的混合运算，关键是熟练掌握各类整数指数幂的运算法则，运算时需严格遵循从左到右的顺序，特别注意符号的处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
这三个小题均为整数指数幂的混合运算，解题核心是熟练运用相关幂的运算法则，按从左到右的顺序逐步计算：
1. 对于(1)，先利用零指数幂法则确定$10^0=1$，再通过同底数幂的除法法则计算$10^4÷10^{-2}$，最后进行乘法运算；
2. 对于(2)，先算出$10^0=1$，再将负整数指数幂$(-10)^{-3}$转化为正整数指数幂形式，再做除法运算；
3. 对于(3)，先计算$(\frac{1}{3})^0=1$，再分别把$(-\frac{1}{3})^{-2}$和$(-\frac{1}{5})^{-1}$转化为正整数指数幂，最后按从左到右的顺序完成乘除运算，过程中注意符号的处理。
【解析】
(1) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，同底数幂的除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数），同底数幂的乘法法则$a^m×a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，$m$、$n$为整数）计算：
$10^{4}÷10^{-2}×10^{0}$
$=10^{4-(-2)}×1$
$=10^{4+2}×1$
$=10^6×1$
$=1000000$
(2) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
$10^{0}÷(-10)^{-3}$
$=1÷\frac{1}{(-10)^3}$
$=1÷(-\frac{1}{1000})$
$=1×(-1000)$
$=-1000$
(3) 根据零指数幂法则$a^0=1(a≠0)$，负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$计算：
$(\frac{1}{3})^{0}÷(-\frac{1}{3})^{-2}×(-\frac{1}{5})^{-1}$
$=1÷\frac{1}{(-\frac{1}{3})^2}×\frac{1}{(-\frac{1}{5})}$
$=1÷\frac{1}{\frac{1}{9}}×(-5)$
$=1÷9×(-5)$
$=\frac{1}{9}×(-5)$
$=-\frac{5}{9}$
【答案】
(1) $\boxed{1000000}$；(2) $\boxed{-1000}$；(3) $\boxed{-\frac{5}{9}}$
【知识点】
零指数幂运算、负整数指数幂运算、同底数幂的乘除运算
【点评】
本题考查整数指数幂的混合运算，关键是熟练掌握各类整数指数幂的运算法则，运算时需严格遵循从左到右的顺序，特别注意符号的处理，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
1. 填空题：
(1) $a^{0}=$( $a≠0$ )；
(2) $a^{-n}=$( $a≠0$，$n$是正整数)；
(3) $10^{-1}=$；
(4) $2^{-2}=$；
(5) $(-\frac{1}{4})^{0}=$；
(6) $(\frac{1}{2})^{-2}=$。
(1) $a^{0}=$( $a≠0$ )；
(2) $a^{-n}=$( $a≠0$，$n$是正整数)；
(3) $10^{-1}=$；
(4) $2^{-2}=$；
(5) $(-\frac{1}{4})^{0}=$；
(6) $(\frac{1}{2})^{-2}=$。
答案
(1) 1
(2) $\frac{1}{a^{n}}$
(3) $\frac{1}{10}$（或 0.1）
(4) $\frac{1}{4}$（或 0.25）
(5) 1
(6) 4
(2) $\frac{1}{a^{n}}$
(3) $\frac{1}{10}$（或 0.1）
(4) $\frac{1}{4}$（或 0.25）
(5) 1
(6) 4
解析
(1)根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都等于1，即 $a^{0}=1$（$a≠0$）。
(2)根据负整数指数幂的定义，$a^{-n}$等于其倒数的正整数次幂，即 $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$（$a≠0$，$n$是正整数）。
(3)将$a=10$，$n=1$代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，得到 $10^{-1}=\frac{1}{10^{1}}=\frac{1}{10}=0.1$。
(4)将$a=2$，$n=2$，代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，得到 $2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0.25$。
(5)根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都等于1，所以 $(-\frac{1}{4})^{0}=1$。
(6)将$a=\frac{1}{2}$，$n=2$，代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，也可以看作倒数的平方，得到 $(\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}=4$。
(2)根据负整数指数幂的定义，$a^{-n}$等于其倒数的正整数次幂，即 $a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$（$a≠0$，$n$是正整数）。
(3)将$a=10$，$n=1$代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，得到 $10^{-1}=\frac{1}{10^{1}}=\frac{1}{10}=0.1$。
(4)将$a=2$，$n=2$，代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，得到 $2^{-2}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}=0.25$。
(5)根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都等于1，所以 $(-\frac{1}{4})^{0}=1$。
(6)将$a=\frac{1}{2}$，$n=2$，代入$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$，也可以看作倒数的平方，得到 $(\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}=4$。
2. 把下列分数写成负整数指数幂的形式：
(1) $\frac{1}{10^{5}}=$；
(2) $\frac{1}{125}=$；
(3) $\frac{1}{16}=$。
(1) $\frac{1}{10^{5}}=$；
(2) $\frac{1}{125}=$；
(3) $\frac{1}{16}=$。
答案
(1) $10^{-5}$
(2) $5^{-3}$
(3) $2^{-4}$（或$4^{-2}$或$16^{-1}$）
(2) $5^{-3}$
(3) $2^{-4}$（或$4^{-2}$或$16^{-1}$）
解析
【分析】
要解决将分数写成负整数指数幂的问题，核心是利用负整数指数幂的定义：对于任意非零数$a$，正整数$p$，有$\frac{1}{a^p}=a^{-p}$。解题思路如下：
1. 先将分数的分母转化为某个非零整数的正整数次幂；
2. 再根据负整数指数幂的定义，将分数逆转为该整数的负整数次幂形式。
具体到每个小题：
(1) 分母本身就是$10$的正整数次幂，可直接套用定义转化；
(2) 需先将125转化为$5$的3次幂，再进行转化；
(3) 16可表示为多个整数的正整数次幂，因此对应多种负整数指数幂形式。
【解析】
根据负整数指数幂的定义$\frac{1}{a^p}=a^{-p}$（$a≠0$，$p$为正整数）：
(1) 因为分母为$10^5$，所以$\frac{1}{10^{5}}=10^{-5}$；
(2) 由于$125=5^3$，则$\frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3}$；
(3) 因为$16=2^4=4^2=16^1$，所以$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$，或$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^2}=4^{-2}$，或$\frac{1}{16}=\frac{1}{16^1}=16^{-1}$。
【答案】
(1) $10^{-5}$；(2) $5^{-3}$；(3) $2^{-4}$（或$4^{-2}$或$16^{-1}$）
【知识点】
负整数指数幂的定义、有理数的乘方
【点评】
本题考查负整数指数幂定义的逆用，解题关键是熟练掌握负整数指数幂与正整数指数幂的互化关系，同时第(3)题存在多种等价形式，需考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.9
要解决将分数写成负整数指数幂的问题，核心是利用负整数指数幂的定义：对于任意非零数$a$，正整数$p$，有$\frac{1}{a^p}=a^{-p}$。解题思路如下：
1. 先将分数的分母转化为某个非零整数的正整数次幂；
2. 再根据负整数指数幂的定义，将分数逆转为该整数的负整数次幂形式。
具体到每个小题：
(1) 分母本身就是$10$的正整数次幂，可直接套用定义转化；
(2) 需先将125转化为$5$的3次幂，再进行转化；
(3) 16可表示为多个整数的正整数次幂，因此对应多种负整数指数幂形式。
【解析】
根据负整数指数幂的定义$\frac{1}{a^p}=a^{-p}$（$a≠0$，$p$为正整数）：
(1) 因为分母为$10^5$，所以$\frac{1}{10^{5}}=10^{-5}$；
(2) 由于$125=5^3$，则$\frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3}$；
(3) 因为$16=2^4=4^2=16^1$，所以$\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4}$，或$\frac{1}{16}=\frac{1}{4^2}=4^{-2}$，或$\frac{1}{16}=\frac{1}{16^1}=16^{-1}$。
【答案】
(1) $10^{-5}$；(2) $5^{-3}$；(3) $2^{-4}$（或$4^{-2}$或$16^{-1}$）
【知识点】
负整数指数幂的定义、有理数的乘方
【点评】
本题考查负整数指数幂定义的逆用，解题关键是熟练掌握负整数指数幂与正整数指数幂的互化关系，同时第(3)题存在多种等价形式，需考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3. 选择题：
(1) 计算 $2^{-4}$，结果是()。
A. $-\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{16}$
C. $8$
D. $\frac{1}{8}$
(2) 计算 $(-2)^{-4}$，结果是()。
A. $-\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{16}$
C. $8$
D. $16$
(3) 下列计算中，正确的是()。
A. $4^{0}=0$
B. $4^{-2}=-8$
C. $(-4)^{-2}=\frac{1}{16}$
D. $(-4)^{-2}=-\frac{1}{16}$
(1) 计算 $2^{-4}$，结果是()。
A. $-\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{16}$
C. $8$
D. $\frac{1}{8}$
(2) 计算 $(-2)^{-4}$，结果是()。
A. $-\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{16}$
C. $8$
D. $16$
(3) 下列计算中，正确的是()。
A. $4^{0}=0$
B. $4^{-2}=-8$
C. $(-4)^{-2}=\frac{1}{16}$
D. $(-4)^{-2}=-\frac{1}{16}$
答案
(1) B
(2) B
(3) C
(2) B
(3) C
解析
(1) 根据负整数指数幂的定义，$2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$，故选B。
(2) 根据负整数指数幂的定义，$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$，故选B。
(3) 逐一分析选项：
A. $4^0 = 1$，不是0，错误；
B. $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$，不是-8，错误；
C. $(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$，正确；
D. $(-4)^{-2} = \frac{1}{16}$，不是$-\frac{1}{16}$，错误。
故选C。
(2) 根据负整数指数幂的定义，$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$，故选B。
(3) 逐一分析选项：
A. $4^0 = 1$，不是0，错误；
B. $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$，不是-8，错误；
C. $(-4)^{-2} = \frac{1}{(-4)^2} = \frac{1}{16}$，正确；
D. $(-4)^{-2} = \frac{1}{16}$，不是$-\frac{1}{16}$，错误。
故选C。
