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3. 计算:
(1) $(-2)^{5} ÷ (-2)^{3}$；
(2) $(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3}$；
(3) $(-a)^{6} ÷ a^{3}$；
(4) $-a^{6} ÷ a^{3}$；
(5) $a^{3n} ÷ a^{2n}$ ( $n$ 是正整数)；
(6) $a^{6} ÷ (-a)^{3} ÷ (-a)^{2}$.
(1) $(-2)^{5} ÷ (-2)^{3}$；
(2) $(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3}$；
(3) $(-a)^{6} ÷ a^{3}$；
(4) $-a^{6} ÷ a^{3}$；
(5) $a^{3n} ÷ a^{2n}$ ( $n$ 是正整数)；
(6) $a^{6} ÷ (-a)^{3} ÷ (-a)^{2}$.
答案
(2)
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3} &= (-\frac{1}{2})^{5-3} \\&= (-\frac{1}{2})^{2} \\&= \frac{1}{4}\end{aligned}$
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3} &= (-\frac{1}{2})^{5-3} \\&= (-\frac{1}{2})^{2} \\&= \frac{1}{4}\end{aligned}$
解析
【分析】
这道题是同底数幂的除法运算，首先回忆同底数幂除法的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。观察题目可知，两个幂的底数都是$-\frac{1}{2}$，符合同底数幂除法的条件，所以先运用法则将指数相减，再计算最终的乘方结果即可，计算时要注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3} &= (-\frac{1}{2})^{5-3} \\&= (-\frac{1}{2})^{2} \\&= \frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的应用，计算时要注意底数为负数时，指数的奇偶性决定结果的符号，当指数为偶数时，结果为正；指数为奇数时，结果为负。同时要牢记同底数幂除法的核心：底数不变，指数相减。
【难度系数】
0.9
这道题是同底数幂的除法运算，首先回忆同底数幂除法的运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。观察题目可知，两个幂的底数都是$-\frac{1}{2}$，符合同底数幂除法的条件，所以先运用法则将指数相减，再计算最终的乘方结果即可，计算时要注意负数的偶次幂为正数。
【解析】
$\begin{aligned}(-\frac{1}{2})^{5} ÷ (-\frac{1}{2})^{3} &= (-\frac{1}{2})^{5-3} \\&= (-\frac{1}{2})^{2} \\&= \frac{1}{4}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 同底数幂的除法
2. 有理数的乘方
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的应用，计算时要注意底数为负数时，指数的奇偶性决定结果的符号，当指数为偶数时，结果为正；指数为奇数时，结果为负。同时要牢记同底数幂除法的核心：底数不变，指数相减。
【难度系数】
0.9
4. 计算:
(1) $(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$；
(2) $(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$；
(3) $(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$.
(1) $(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$；
(2) $(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$；
(3) $(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$.
答案
(1)
$(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$
$= x^{8} ÷ x^{8} · x^{4} · x^{2}$
$= 1 · x^{4} · x^{2}$
$= x^{6}$
(2)
$(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9} ÷ (a - b)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9 - 4-3}$
$= (a - b)^{2}$
(3)
$(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5} ÷ (x + y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5 - 2 - 1}$
$= (x + y)^{2}$
$(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$
$= x^{8} ÷ x^{8} · x^{4} · x^{2}$
$= 1 · x^{4} · x^{2}$
$= x^{6}$
(2)
$(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9} ÷ (a - b)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9 - 4-3}$
$= (a - b)^{2}$
(3)
$(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5} ÷ (x + y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5 - 2 - 1}$
$= (x + y)^{2}$
解析
【分析】
这三道题主要考查幂的运算性质的综合运用，解题思路如下：
1. 第(1)题：先根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”计算各幂的乘方，再按照从左到右的同级运算顺序，利用同底数幂的乘除法法则计算，同底数幂相除底数不变指数相减，相乘则底数不变指数相加。
2. 第(2)题：观察到底数$(a - b)$和$(b - a)$互为相反数，利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”，将$(b - a)^4$转化为$(a - b)^4$，再根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”计算。
3. 第(3)题：先把$(-x - y)^2$变形为$(x + y)^2$，因为$(-x - y)=-(x + y)$，平方后符号消失，再将所有项转化为以$(x + y)$为底数的幂，最后用同底数幂的除法法则计算。
【解析】
(1)
$(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$
$= x^{8} ÷ x^{8} · x^{4} · x^{2}$
$= 1 · x^{4} · x^{2}$
$= x^{6}$
(2)
$(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9} ÷ (a - b)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9 - 4 - 3}$
$= (a - b)^{2}$
(3)
$(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5} ÷ (x + y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5 - 2 - 1}$
$= (x + y)^{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^{6}}$；(2) $\boldsymbol{(a - b)^{2}}$；(3) $\boldsymbol{(x + y)^{2}}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂乘除、相反数幂转化
【点评】
本题综合考查幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，核心是当底数互为相反数时，需根据指数奇偶性灵活转化底数，将不同底数统一为相同底数后再运用运算法则，同时要严格遵循同级运算从左到右的顺序，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
这三道题主要考查幂的运算性质的综合运用，解题思路如下：
1. 第(1)题：先根据幂的乘方法则“底数不变，指数相乘”计算各幂的乘方，再按照从左到右的同级运算顺序，利用同底数幂的乘除法法则计算，同底数幂相除底数不变指数相减，相乘则底数不变指数相加。
2. 第(2)题：观察到底数$(a - b)$和$(b - a)$互为相反数，利用“互为相反数的两个数的偶次幂相等”，将$(b - a)^4$转化为$(a - b)^4$，再根据同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”计算。
3. 第(3)题：先把$(-x - y)^2$变形为$(x + y)^2$，因为$(-x - y)=-(x + y)$，平方后符号消失，再将所有项转化为以$(x + y)$为底数的幂，最后用同底数幂的除法法则计算。
【解析】
(1)
$(x^{4})^{2} ÷ (x^{4})^{2} · (x^{2})^{2} · x^{2}$
$= x^{8} ÷ x^{8} · x^{4} · x^{2}$
$= 1 · x^{4} · x^{2}$
$= x^{6}$
(2)
$(a - b)^{9} ÷ (b - a)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9} ÷ (a - b)^{4} ÷ (a - b)^{3}$
$= (a - b)^{9 - 4 - 3}$
$= (a - b)^{2}$
(3)
$(x + y)^{5} ÷ (-x - y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5} ÷ (x + y)^{2} ÷ (x + y)$
$= (x + y)^{5 - 2 - 1}$
$= (x + y)^{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{x^{6}}$；(2) $\boldsymbol{(a - b)^{2}}$；(3) $\boldsymbol{(x + y)^{2}}$
【知识点】
幂的乘方、同底数幂乘除、相反数幂转化
【点评】
本题综合考查幂的乘方、同底数幂的乘除法法则，核心是当底数互为相反数时，需根据指数奇偶性灵活转化底数，将不同底数统一为相同底数后再运用运算法则，同时要严格遵循同级运算从左到右的顺序，避免运算顺序错误。
【难度系数】
0.7
