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【例 2】已知关于 x 的函数 y = (m - 1)x + 1 - m².
(1) 当 m 为何值时，该函数是一次函数？
(2) 当 m 为何值时，该函数是正比例函数？
解：
【规律方法】
(1) 识别一次函数与正比例函数时，要看函数解析式能否通过恒等变形转化为 y = kx + b（k，b 为常数，且 k ≠ 0）的形式，若能，则是一次函数，此时若 b = 0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
(2) 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）必须满足的三个条件：
① y 关于 x 的式子是整式；
② 比例系数 k ≠ 0；
③ 两个变量的指数均为 1.
(1) 当 m 为何值时，该函数是一次函数？
(2) 当 m 为何值时，该函数是正比例函数？
解：
【规律方法】
(1) 识别一次函数与正比例函数时，要看函数解析式能否通过恒等变形转化为 y = kx + b（k，b 为常数，且 k ≠ 0）的形式，若能，则是一次函数，此时若 b = 0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
(2) 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）必须满足的三个条件：
① y 关于 x 的式子是整式；
② 比例系数 k ≠ 0；
③ 两个变量的指数均为 1.
答案
解：(1)当 $ m $ 为不等于 1 的值时，该函数是一次函数.
(2)当 $ m $ 为 $ -1 $ 时，该函数是正比例函数.
【规律方法】
(1) 识别一次函数与正比例函数时，要看函数解析式能否通过恒等变形转化为 y = kx + b（k，b 为常数，且 k ≠ 0）的形式，若能，则是一次函数，此时若 b = 0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
(2) 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）必须满足的三个条件：
① y 关于 x 的式子是整式；
② 比例系数 k ≠ 0；
③ 两个变量的指数均为 1.
(2)当 $ m $ 为 $ -1 $ 时，该函数是正比例函数.
【规律方法】
(1) 识别一次函数与正比例函数时，要看函数解析式能否通过恒等变形转化为 y = kx + b（k，b 为常数，且 k ≠ 0）的形式，若能，则是一次函数，此时若 b = 0，则该函数既是一次函数，又是正比例函数.
(2) 一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）必须满足的三个条件：
① y 关于 x 的式子是整式；
② 比例系数 k ≠ 0；
③ 两个变量的指数均为 1.
解析
【解析】
(1) 根据一次函数的定义，需满足比例系数不为0，即 $m-1≠0$，解得 $m≠1$，因此当 $m≠1$ 时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需同时满足比例系数不为0且常数项为0，即 $\begin{cases}m-1≠0\\1-m^2=0\end{cases}$，由 $1-m^2=0$ 解得 $m=\pm1$，结合 $m≠1$，可得 $m=-1$，因此当 $m=-1$ 时，该函数是正比例函数。
【答案】
(1) $m≠1$；(2) $m=-1$
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题需紧扣一次函数与正比例函数的定义求解，注意正比例函数是特殊的一次函数，需同时满足一次函数的条件与常数项为0的条件，解题时要注意条件的完整性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8
(1) 根据一次函数的定义，需满足比例系数不为0，即 $m-1≠0$，解得 $m≠1$，因此当 $m≠1$ 时，该函数是一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义，需同时满足比例系数不为0且常数项为0，即 $\begin{cases}m-1≠0\\1-m^2=0\end{cases}$，由 $1-m^2=0$ 解得 $m=\pm1$，结合 $m≠1$，可得 $m=-1$，因此当 $m=-1$ 时，该函数是正比例函数。
【答案】
(1) $m≠1$；(2) $m=-1$
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题需紧扣一次函数与正比例函数的定义求解，注意正比例函数是特殊的一次函数，需同时满足一次函数的条件与常数项为0的条件，解题时要注意条件的完整性，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数是一次函数但不是正比例函数的是(
A.y = $\frac{x - 2}{3}$
B.y = x²
C.y = x
D.y = $\frac{1}{x}$
A
)A.y = $\frac{x - 2}{3}$
B.y = x²
C.y = x
D.y = $\frac{1}{x}$
答案
1. A
解析
【解析】
先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数）的函数是一次函数；正比例函数是形如$y=kx$（$k≠0$，$k$为常数）的函数，是特殊的一次函数（$b=0$的一次函数）。
对各选项逐一分析：
A. $y = \frac{x - 2}{3}$可整理为$y=\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$，符合一次函数形式，且$b=-\frac{2}{3}≠0$，因此是一次函数但不是正比例函数；
B. $y = x^2$是二次函数，不是一次函数；
C. $y = x$是正比例函数，同时也是一次函数，不符合“不是正比例函数”的要求；
D. $y = \frac{1}{x}$是反比例函数，不是一次函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数定义、正比例函数定义
【点评】
本题考查一次函数与正比例函数的定义及区别，需明确正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0的一次函数），解题时需准确判断各函数类型。
【难度系数】
0.8
先明确一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数）的函数是一次函数；正比例函数是形如$y=kx$（$k≠0$，$k$为常数）的函数，是特殊的一次函数（$b=0$的一次函数）。
对各选项逐一分析：
A. $y = \frac{x - 2}{3}$可整理为$y=\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$，符合一次函数形式，且$b=-\frac{2}{3}≠0$，因此是一次函数但不是正比例函数；
B. $y = x^2$是二次函数，不是一次函数；
C. $y = x$是正比例函数，同时也是一次函数，不符合“不是正比例函数”的要求；
D. $y = \frac{1}{x}$是反比例函数，不是一次函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数定义、正比例函数定义
【点评】
本题考查一次函数与正比例函数的定义及区别，需明确正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0的一次函数），解题时需准确判断各函数类型。
【难度系数】
0.8
2. 下列说法中正确的有(
① y = kx 是正比例函数；
② 如果 y = (a + 3)x + a² - 9 是正比例函数，那么 a = ±3；
③ 如果 y 与 x + 2 成正比例，那么 y 是 x 的正比例函数；
④ 如果 y = $\frac{1}{3}$x²，那么 y 与 x² 成正比例.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A
)① y = kx 是正比例函数；
② 如果 y = (a + 3)x + a² - 9 是正比例函数，那么 a = ±3；
③ 如果 y 与 x + 2 成正比例，那么 y 是 x 的正比例函数；
④ 如果 y = $\frac{1}{3}$x²，那么 y 与 x² 成正比例.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
2. A
解析
【解析】
逐一分析各说法：
1. ①正比例函数的定义是形如$y = kx$（$k≠0$，$k$为常数）的函数，此说法未说明$k≠0$，故①错误；
2. ②若$y=(a + 3)x + a² - 9$是正比例函数，则需满足$\begin{cases}a² - 9 = 0 \\ a + 3 ≠ 0\end{cases}$，解得$a=3$，并非$a=±3$，故②错误；
3. ③若$y$与$x + 2$成正比例，设$y=k(x + 2)=kx + 2k$（$k≠0$），该函数是一次函数，不是正比例函数（存在常数项$2k$），故③错误；
4. ④由$y=\frac{1}{3}x²$，可看作$y=\frac{1}{3}·x²$，符合正比例函数形式$y=k·t$（$t=x²$，$k=\frac{1}{3}≠0$），故④正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义，需紧扣定义中“比例系数不为0、无常数项”等关键条件，逐一辨析每个说法，避免忽略定义的细节要求。
【难度系数】
0.4
逐一分析各说法：
1. ①正比例函数的定义是形如$y = kx$（$k≠0$，$k$为常数）的函数，此说法未说明$k≠0$，故①错误；
2. ②若$y=(a + 3)x + a² - 9$是正比例函数，则需满足$\begin{cases}a² - 9 = 0 \\ a + 3 ≠ 0\end{cases}$，解得$a=3$，并非$a=±3$，故②错误；
3. ③若$y$与$x + 2$成正比例，设$y=k(x + 2)=kx + 2k$（$k≠0$），该函数是一次函数，不是正比例函数（存在常数项$2k$），故③错误；
4. ④由$y=\frac{1}{3}x²$，可看作$y=\frac{1}{3}·x²$，符合正比例函数形式$y=k·t$（$t=x²$，$k=\frac{1}{3}≠0$），故④正确。
综上，只有1个说法正确。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义，需紧扣定义中“比例系数不为0、无常数项”等关键条件，逐一辨析每个说法，避免忽略定义的细节要求。
【难度系数】
0.4
【例 3】某电视机厂要印刷产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收 1 元印刷费，另收制版费 1000 元. 乙印刷厂提出：每份材料收 2 元印刷费，不收制版费.
(1) 分别写出两厂的收费 y甲，y乙（单位：元）关于印刷数量 x（单位：份）的函数解析式；
(2) 该电视机厂拟拿出 3000 元用于印刷宣传材料，哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？
解：
【规律方法】
从实际问题中建立一次函数模型的一般思路
先从实际问题中找出相等关系，根据相等关系列出等式，然后变形为两个变量之间的函数关系，个别题目注意可能涉及自变量的取值范围.
(1) 分别写出两厂的收费 y甲，y乙（单位：元）关于印刷数量 x（单位：份）的函数解析式；
(2) 该电视机厂拟拿出 3000 元用于印刷宣传材料，哪家印刷厂印刷的宣传材料能多一些？
解：
【规律方法】
从实际问题中建立一次函数模型的一般思路
先从实际问题中找出相等关系，根据相等关系列出等式，然后变形为两个变量之间的函数关系，个别题目注意可能涉及自变量的取值范围.
答案
解：(1) $ y_{\mathrm{甲}} = x + 1000 $；$ y_{\mathrm{乙}} = 2x $.
(2)甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些.
【规律方法】
从实际问题中建立一次函数模型的一般思路
先从实际问题中找出相等关系，根据相等关系列出等式，然后变形为两个变量之间的函数关系，个别题目注意可能涉及自变量的取值范围.
(2)甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些.
【规律方法】
从实际问题中建立一次函数模型的一般思路
先从实际问题中找出相等关系，根据相等关系列出等式，然后变形为两个变量之间的函数关系，个别题目注意可能涉及自变量的取值范围.
解析
【解析】
(1) 根据甲印刷厂的收费标准，每份材料印刷费1元，x份印刷费为x元，加上制版费1000元，可得$ y_{\mathrm{甲}} = x + 1000 $；根据乙印刷厂的收费标准，每份材料印刷费2元，x份印刷费为$ y_{\mathrm{乙}} = 2x $。
(2) 当总费用为3000元时，
对于甲印刷厂：令$ y_{\mathrm{甲}}=3000 $，即$ x + 1000 = 3000 $，解得$ x = 2000 $；
对于乙印刷厂：令$ y_{\mathrm{乙}}=3000 $，即$ 2x = 3000 $，解得$ x = 1500 $。
因为$ 2000 ＞ 1500 $，所以甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些。
【答案】
(1) $ y_{\mathrm{甲}} = x + 1000 $；$ y_{\mathrm{乙}} = 2x $；
(2) 甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些。
【知识点】
一次函数实际应用、函数解析式求解
【点评】
本题考查一次函数在实际收费问题中的应用，通过建立一次函数模型对比不同方案的结果，帮助理解一次函数的实际意义，提升利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(1) 根据甲印刷厂的收费标准，每份材料印刷费1元，x份印刷费为x元，加上制版费1000元，可得$ y_{\mathrm{甲}} = x + 1000 $；根据乙印刷厂的收费标准，每份材料印刷费2元，x份印刷费为$ y_{\mathrm{乙}} = 2x $。
(2) 当总费用为3000元时，
对于甲印刷厂：令$ y_{\mathrm{甲}}=3000 $，即$ x + 1000 = 3000 $，解得$ x = 2000 $；
对于乙印刷厂：令$ y_{\mathrm{乙}}=3000 $，即$ 2x = 3000 $，解得$ x = 1500 $。
因为$ 2000 ＞ 1500 $，所以甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些。
【答案】
(1) $ y_{\mathrm{甲}} = x + 1000 $；$ y_{\mathrm{乙}} = 2x $；
(2) 甲印刷厂印刷的宣传材料能多一些。
【知识点】
一次函数实际应用、函数解析式求解
【点评】
本题考查一次函数在实际收费问题中的应用，通过建立一次函数模型对比不同方案的结果，帮助理解一次函数的实际意义，提升利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
3. 已知某汽车油箱中原有油 50 L，如果汽车每行驶 50 km 耗油 9 L，记油箱中剩余的油量为 y（单位：L），行驶路程为 x（单位：km）.
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式，并判断 y 是不是 x 的一次函数.
(2) 写出自变量的取值范围.
(3) 当汽车行驶 150 km 时，求此时油箱内的剩余油量.
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式，并判断 y 是不是 x 的一次函数.
(2) 写出自变量的取值范围.
(3) 当汽车行驶 150 km 时，求此时油箱内的剩余油量.
答案
3. 解：(1) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = 50 - \frac{9}{50}x $，$ y $ 是 $ x $ 的一次函数.
(2)自变量 $ x $ 的取值范围是 $ 0 ≤ x ≤ \frac{2500}{9} $.
(3)当汽车行驶 $ 150\ \mathrm{km} $ 时，此时油箱内的剩余油量为 $ 23\ \mathrm{L} $.
(2)自变量 $ x $ 的取值范围是 $ 0 ≤ x ≤ \frac{2500}{9} $.
(3)当汽车行驶 $ 150\ \mathrm{km} $ 时，此时油箱内的剩余油量为 $ 23\ \mathrm{L} $.
解析
【解析】
(1) 先计算汽车每行驶1km的耗油量为$\frac{9}{50}\ \mathrm{L}$，根据“剩余油量=原有油量-行驶路程的耗油量”，可得函数解析式为$y = 50 - \frac{9}{50}x$；该函数符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，因此$y$是$x$的一次函数。
(2) 自变量$x$表示行驶路程，故$x≥0$；同时剩余油量$y≥0$，即$50 - \frac{9}{50}x≥0$，解得$x≤\frac{2500}{9}$，因此自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤\frac{2500}{9}$。
(3) 将$x=150$代入$y = 50 - \frac{9}{50}x$，计算得$y=50 - \frac{9}{50}×150=23$，即此时油箱内剩余油量为23L。
【答案】
(1) $y = 50 - \frac{9}{50}x$，$y$是$x$的一次函数；
(2) $0≤ x≤\frac{2500}{9}$；
(3) $23\ \mathrm{L}$
【知识点】
一次函数的应用、一次函数的定义、自变量取值范围确定
【点评】
本题考查一次函数在实际耗油问题中的应用，需结合实际意义分析变量关系，自变量取值范围要满足路程非负、剩余油量非负的实际要求，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 先计算汽车每行驶1km的耗油量为$\frac{9}{50}\ \mathrm{L}$，根据“剩余油量=原有油量-行驶路程的耗油量”，可得函数解析式为$y = 50 - \frac{9}{50}x$；该函数符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，因此$y$是$x$的一次函数。
(2) 自变量$x$表示行驶路程，故$x≥0$；同时剩余油量$y≥0$，即$50 - \frac{9}{50}x≥0$，解得$x≤\frac{2500}{9}$，因此自变量$x$的取值范围是$0≤ x≤\frac{2500}{9}$。
(3) 将$x=150$代入$y = 50 - \frac{9}{50}x$，计算得$y=50 - \frac{9}{50}×150=23$，即此时油箱内剩余油量为23L。
【答案】
(1) $y = 50 - \frac{9}{50}x$，$y$是$x$的一次函数；
(2) $0≤ x≤\frac{2500}{9}$；
(3) $23\ \mathrm{L}$
【知识点】
一次函数的应用、一次函数的定义、自变量取值范围确定
【点评】
本题考查一次函数在实际耗油问题中的应用，需结合实际意义分析变量关系，自变量取值范围要满足路程非负、剩余油量非负的实际要求，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
