1. 下列函数中，是关于 x 的一次函数的是()


A.y = 2x - 1
B.y = kx + b
C.y = $\frac{2}{x}$
D.y = -2x² + 1

1. A

【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数，对各选项分析：
选项A：$y = 2x - 1$，符合一次函数的定义，是一次函数；
选项B：$y = kx + b$，未说明$k≠0$，不满足一次函数的定义，不是一次函数；
选项C：$y = \frac{2}{x}$是反比例函数，不是一次函数；
选项D：$y = -2x² + 1$是二次函数，不是一次函数。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的定义
【点评】
本题考查一次函数的定义，需牢记一次函数定义中$k≠0$的关键条件，同时要区分一次函数与反比例函数、二次函数的差异，夯实函数概念基础。
【难度系数】
0.8

2. 下列各选项中，两个变量 y 与 x 之间的关系是正比例函数关系的是()

A.直角三角形中一个锐角的度数 y 与另一个锐角的度数 x 之间的关系
B.正方体的表面积 y(单位：cm²)与它的棱长 x(单位：cm)之间的关系
C.小红阅读一本 420 页的名著，未读的页数 y 与已读的页数 x 之间的关系
D.汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y(单位：km)与行驶时间 x(单位：h)之间的关系

2. D

【解析】
依次分析各选项：
A. 由直角三角形两锐角互余，得$ y = 90 - x $，是一次函数，不是正比例函数；
B. 正方体表面积公式为$ y = 6x^2 $，是二次函数，不是正比例函数；
C. 由未读页数=总页数-已读页数，得$ y = 420 - x $，是一次函数，不是正比例函数；
D. 由路程=速度×时间，得$ y = 60x $，符合正比例函数$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，$ k $为常数）的形式，是正比例函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义，需准确掌握正比例函数$ y = kx $（$ k ≠ 0 $，$ k $为常数）的形式，通过分析各选项中变量的函数关系式，判断是否符合正比例函数特征。
【难度系数】
0.7

3. 写出下列函数解析式中的 k 和 b.
(1) y = 3x + 1：k =，b =.
(2) y = -5x：k =.
(3) y = 2 - $\frac{x}{3}$：k =，b =.
(4) y = -2(x + 1) + x：k =，b =.

3. (1) 3 1 (2) $ -5 $ (3) $ -\frac{1}{3} $ 2 (4) $ -1 $ $ -2 $

【解析】
一次函数的一般形式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $），其中$ k $是一次项系数，$ b $是常数项，正比例函数是$ b=0 $的特殊一次函数。
(1) 对比$ y = 3x + 1 $与一般形式，可得$ k=3 $，$ b=1 $；
(2) $ y = -5x $可化为$ y = -5x + 0 $，因此$ k=-5 $；
(3) 将$ y = 2 - \frac{x}{3} $整理为$ y = -\frac{1}{3}x + 2 $，对比一般形式得$ k=-\frac{1}{3} $，$ b=2 $；
(4) 先化简$ y = -2(x + 1) + x $：展开得$ y = -2x - 2 + x $，合并同类项得$ y = -x - 2 $，对比一般形式得$ k=-1 $，$ b=-2 $。
【答案】
(1) $ 3 $，$ 1 $；(2) $ -5 $；(3) $ -\frac{1}{3} $，$ 2 $；(4) $ -1 $，$ -2 $
【知识点】
一次函数的一般形式、合并同类项
【点评】
本题主要考查一次函数中系数$ k $和常数项$ b $的识别，需熟练掌握一次函数的标准形式，对于非标准形式的函数，要先通过整式运算整理为一般形式再确定$ k $和$ b $，侧重对一次函数基本概念的理解与应用。
【难度系数】
0.9

4. 若将一个长为 120 m、宽为 100 m 的矩形场地扩建成一个正方形场地，设长增加 x m，宽增加 y m，则 y 关于 x 的函数解析式是，自变量的取值范围是，且 y 是 x 的函数.

4. $ y = x + 20 $ $ x ≥ 0 $ 一次

【解析】
因为扩建成正方形场地后边长相等，所以有$120 + x = 100 + y$，整理可得$y = x + 20$。
由于长增加的长度不能为负数，因此自变量$x$的取值范围是$x ≥ 0$。
该函数符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，其中$k=1$，$b=20$，故$y$是$x$的一次函数。
【答案】
$ y = x + 20 $；$ x ≥ 0 $；一次
【知识点】
一次函数定义；实际问题列函数式；自变量取值范围
【点评】
本题依托矩形扩建成正方形的实际背景，核心是利用正方形边长相等的性质建立等量关系，进而推导函数解析式，同时需结合实际意义确定自变量取值范围，考查对一次函数概念的理解与应用。
【难度系数】
0.8

5. 已知 y = (m - 1)x² - |m| + n + 4.
(1) 当 m，n 取何值时，y 是 x 的一次函数？
(2) 当 m，n 取何值时，y 是 x 的正比例函数？

5. 解：(1) $ m = -1 $，$ n $ 为任意实数.
(2) $ m = -1 $，$ n = -4 $.

【解析】
(1) 根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），对于函数$y=(m - 1)x^{2 - |m|} + n + 4$，需满足：
$\begin{cases}2 - |m| = 1 \\ m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$，又$m≠1$，故$m=-1$；此时函数为$y=-2x + n + 4$，$n$为任意实数时均符合一次函数定义。因此当$m=-1$，$n$为任意实数时，$y$是$x$的一次函数。
(2) 根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k≠0$，$k$为常数），需在一次函数的基础上满足常数项为0，即：
$\begin{cases}2 - |m| = 1 \\ m - 1 ≠ 0 \\ n + 4 = 0\end{cases}$
由(1)得$m=-1$，解$n + 4 = 0$得$n=-4$。因此当$m=-1$，$n=-4$时，$y$是$x$的正比例函数。
【答案】
(1) $m=-1$，$n$为任意实数；
(2) $m=-1$，$n=-4$。
【知识点】
一次函数的定义、正比例函数的定义
【点评】
本题紧扣一次函数与正比例函数的定义，需准确把握函数形式中系数、次数的限制条件，明确正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0），考查对基础定义的理解与应用。
【难度系数】
0.8

6. 已知 y 与 x 分别满足下列条件，且当 x = 2 时，y = 6，请分别求出各条件下 y 关于 x 的函数解析式：
(1) y 与 x 成正比例；
(2) y 与 x + 1 成正比例；
(3) y + 1 与 x 成正比例；
(4) y + 1 与 x + 1 成正比例.

6. 解：(1) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = 3x $.
(2) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = 2x + 2 $.
(3) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = \frac{7}{2}x - 1 $.
(4) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = \frac{7}{3}x + \frac{4}{3} $.

【解析】
(1) 因为y与x成正比例，设$y = kx$（$k≠0$），将$x=2$，$y=6$代入得$6=2k$，解得$k=3$，所以$y$关于$x$的函数解析式为$y=3x$。
(2) 因为y与$x+1$成正比例，设$y = k(x+1)$（$k≠0$），将$x=2$，$y=6$代入得$6=k(2+1)$，解得$k=2$，展开得$y=2x+2$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=2x+2$。
(3) 因为$y+1$与x成正比例，设$y+1 = kx$（$k≠0$），将$x=2$，$y=6$代入得$6+1=2k$，解得$k=\frac{7}{2}$，移项得$y=\frac{7}{2}x -1$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{7}{2}x -1$。
(4) 因为$y+1$与$x+1$成正比例，设$y+1 = k(x+1)$（$k≠0$），将$x=2$，$y=6$代入得$6+1=k(2+1)$，解得$k=\frac{7}{3}$，展开并整理得$y=\frac{7}{3}x +\frac{4}{3}$，即$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{7}{3}x +\frac{4}{3}$。
【答案】
(1) $y = 3x$；
(2) $y = 2x + 2$；
(3) $y = \frac{7}{2}x - 1$；
(4) $y = \frac{7}{3}x + \frac{4}{3}$
【知识点】
1. 正比例函数定义；
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题考查正比例函数的定义及待定系数法求函数解析式，通过不同的正比例关系设定，考查学生对函数定义的理解程度，以及代入求值、整理函数解析式的运算能力，解题关键是根据正比例关系正确设出函数表达式。
【难度系数】
0.6