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情境探究
已知下列问题：
(1) A，B 两地相距 80 km，某人骑自行车以 10 km/h 的速度从 A 地向 B 地行驶，t h 后剩下的距离 y(单位：km)与 t(单位：h)之间的函数解析式是；
(2) 张老师带 x 名小学生去动物园参观，若每张成人票 10 元，每张学生票 5 元，则门票总费用 y(单位：元)与学生人数 x 之间的函数解析式是；
(3) 圆的周长 C 与半径 r 之间的函数解析式是；
(4) 如果冷冻一个 0℃的物体，使它每分钟下降 2℃，那么物体温度 T(单位：℃)与冷冻时间 t(单位：min)之间的函数解析式是.
问题 1：请写出上面各问题的函数解析式，填在横线上.（无需考虑自变量的取值范围）
问题 2：请总结一下上述函数解析式的共同特征.
已知下列问题：
(1) A，B 两地相距 80 km，某人骑自行车以 10 km/h 的速度从 A 地向 B 地行驶，t h 后剩下的距离 y(单位：km)与 t(单位：h)之间的函数解析式是；
(2) 张老师带 x 名小学生去动物园参观，若每张成人票 10 元，每张学生票 5 元，则门票总费用 y(单位：元)与学生人数 x 之间的函数解析式是；
(3) 圆的周长 C 与半径 r 之间的函数解析式是；
(4) 如果冷冻一个 0℃的物体，使它每分钟下降 2℃，那么物体温度 T(单位：℃)与冷冻时间 t(单位：min)之间的函数解析式是.
问题 1：请写出上面各问题的函数解析式，填在横线上.（无需考虑自变量的取值范围）
问题 2：请总结一下上述函数解析式的共同特征.
答案
问题1：(1) $ y = 80 - 10t $ (2) $ y = 5x + 10 $ (3) $ C = 2π r $ (4) $ T = -2t $问题2：①这些函数解析式都是常数与自变量的积与一个常数的和的形式；②函数解析式都是整式，且自变量的次数都是1.
解析
【解析】
问题1：根据对应数量关系或实际背景，可写出各函数解析式：
(1) $ y = 80 - 10t $
(2) $ y = 5x + 10 $
(3) $ C = 2π r $
(4) $ T = -2t $
问题2：观察上述函数解析式，可总结出共同特征：
① 均为常数与自变量的积与一个常数的和的形式；
② 均为整式，且自变量的次数为1。
【答案】
问题1：(1) $ y = 80 - 10t $ (2) $ y = 5x + 10 $ (3) $ C = 2π r $ (4) $ T = -2t $
问题2：①这些函数解析式都是常数与自变量的积与一个常数的和的形式；②函数解析式都是整式，且自变量的次数都是1.
【知识点】
一次函数的定义，函数解析式书写
【点评】
本题考查函数解析式的书写及一次函数的特征，通过实例帮助理解一次函数的本质，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
问题1：根据对应数量关系或实际背景，可写出各函数解析式：
(1) $ y = 80 - 10t $
(2) $ y = 5x + 10 $
(3) $ C = 2π r $
(4) $ T = -2t $
问题2：观察上述函数解析式，可总结出共同特征：
① 均为常数与自变量的积与一个常数的和的形式；
② 均为整式，且自变量的次数为1。
【答案】
问题1：(1) $ y = 80 - 10t $ (2) $ y = 5x + 10 $ (3) $ C = 2π r $ (4) $ T = -2t $
问题2：①这些函数解析式都是常数与自变量的积与一个常数的和的形式；②函数解析式都是整式，且自变量的次数都是1.
【知识点】
一次函数的定义，函数解析式书写
【点评】
本题考查函数解析式的书写及一次函数的特征，通过实例帮助理解一次函数的本质，侧重基础概念的掌握。
【难度系数】
0.7
【例 1】下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
(1) y = -3x； (2) y = $\frac{x + 1}{2}$；
(3) y = 1 + 8x； (4) y = $\frac{2}{x}$ + 1；
(5) y = x² + 1； (6) y = $\sqrt{x - 10}$.
解：
(1) y = -3x； (2) y = $\frac{x + 1}{2}$；
(3) y = 1 + 8x； (4) y = $\frac{2}{x}$ + 1；
(5) y = x² + 1； (6) y = $\sqrt{x - 10}$.
解：
答案
解：(1) $ y = -3x $ 是正比例函数，也是一次函数.
(2) $ y = \frac{x + 1}{2} $ 即 $ y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} $，是一次函数，但不是正比例函数.
(3) $ y = 1 + 8x $ 是一次函数，但不是正比例函数.
(4) $ y = \frac{2}{x} + 1 $，$ x $ 在分母位置上，因此不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
(5) $ y = x^{2} + 1 $，自变量 $ x $ 的次数是 2，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
(6) $ y = \sqrt{x - 10} $，不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
(2) $ y = \frac{x + 1}{2} $ 即 $ y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} $，是一次函数，但不是正比例函数.
(3) $ y = 1 + 8x $ 是一次函数，但不是正比例函数.
(4) $ y = \frac{2}{x} + 1 $，$ x $ 在分母位置上，因此不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
(5) $ y = x^{2} + 1 $，自变量 $ x $ 的次数是 2，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
(6) $ y = \sqrt{x - 10} $，不是整式，所以不是一次函数，也不是正比例函数.
解析
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k ≠ 0$）的函数是一次函数；正比例函数的定义：形如$y = kx$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。对各函数逐一分析：
(1) $y = -3x$符合正比例函数的形式，因此是正比例函数，同时也是一次函数；
(2) 将$y = \frac{x + 1}{2}$整理为$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，符合一次函数的形式，但$b = \frac{1}{2} ≠ 0$，因此是一次函数，不是正比例函数；
(3) $y = 1 + 8x$即$y = 8x + 1$，符合一次函数的形式，但$b = 1 ≠ 0$，因此是一次函数，不是正比例函数；
(4) $y = \frac{2}{x} + 1$中$x$在分母位置，不是整式，不符合一次函数的定义，因此既不是一次函数也不是正比例函数；
(5) $y = x^2 + 1$中自变量$x$的次数是2，不符合一次函数中自变量次数为1的要求，因此既不是一次函数也不是正比例函数；
(6) $y = \sqrt{x - 10}$不是整式，不符合一次函数的定义，因此既不是一次函数也不是正比例函数。
【答案】
(1) $y = -3x$是正比例函数，也是一次函数；
(2) $y = \frac{x + 1}{2}$是一次函数，但不是正比例函数；
(3) $y = 1 + 8x$是一次函数，但不是正比例函数；
(4) $y = \frac{2}{x} + 1$既不是一次函数，也不是正比例函数；
(5) $y = x^2 + 1$既不是一次函数，也不是正比例函数；
(6) $y = \sqrt{x - 10}$既不是一次函数，也不是正比例函数。
【知识点】
1. 一次函数的定义；2. 正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，解题关键是准确把握一次函数是形如$y = kx + b$（$k ≠ 0$，$k$、$b$为常数）的整式函数，正比例函数是$b = 0$的特殊一次函数。通过对不同形式函数的辨析，帮助巩固对函数定义的理解，区分不同类型的函数。
【难度系数】
0.8
根据一次函数的定义：形如$y = kx + b$（$k$、$b$为常数，$k ≠ 0$）的函数是一次函数；正比例函数的定义：形如$y = kx$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。对各函数逐一分析：
(1) $y = -3x$符合正比例函数的形式，因此是正比例函数，同时也是一次函数；
(2) 将$y = \frac{x + 1}{2}$整理为$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，符合一次函数的形式，但$b = \frac{1}{2} ≠ 0$，因此是一次函数，不是正比例函数；
(3) $y = 1 + 8x$即$y = 8x + 1$，符合一次函数的形式，但$b = 1 ≠ 0$，因此是一次函数，不是正比例函数；
(4) $y = \frac{2}{x} + 1$中$x$在分母位置，不是整式，不符合一次函数的定义，因此既不是一次函数也不是正比例函数；
(5) $y = x^2 + 1$中自变量$x$的次数是2，不符合一次函数中自变量次数为1的要求，因此既不是一次函数也不是正比例函数；
(6) $y = \sqrt{x - 10}$不是整式，不符合一次函数的定义，因此既不是一次函数也不是正比例函数。
【答案】
(1) $y = -3x$是正比例函数，也是一次函数；
(2) $y = \frac{x + 1}{2}$是一次函数，但不是正比例函数；
(3) $y = 1 + 8x$是一次函数，但不是正比例函数；
(4) $y = \frac{2}{x} + 1$既不是一次函数，也不是正比例函数；
(5) $y = x^2 + 1$既不是一次函数，也不是正比例函数；
(6) $y = \sqrt{x - 10}$既不是一次函数，也不是正比例函数。
【知识点】
1. 一次函数的定义；2. 正比例函数的定义
【点评】
本题主要考查一次函数与正比例函数的定义，解题关键是准确把握一次函数是形如$y = kx + b$（$k ≠ 0$，$k$、$b$为常数）的整式函数，正比例函数是$b = 0$的特殊一次函数。通过对不同形式函数的辨析，帮助巩固对函数定义的理解，区分不同类型的函数。
【难度系数】
0.8
