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变式训练
1. 已知 $ y = (m + 1)x^{\vert m + 2 \vert} - 2n + 8 $ 是正比例函数。
（1）求 $ m $，$ n $ 的值；
（2）写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并画出这个函数的图象。
1. 已知 $ y = (m + 1)x^{\vert m + 2 \vert} - 2n + 8 $ 是正比例函数。
（1）求 $ m $，$ n $ 的值；
（2）写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式，并画出这个函数的图象。
答案
变式训练
1.解:(1) $ m $ 的值为 $ -3 $, $ n $ 的值为 $ 4 $.
(2) $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式为 $ y = -2x $.
它的图象如图所示.
解析
【解析】
（1）根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
$\begin{cases}\vert m + 2 \vert = 1 \\m + 1 ≠ 0 \\-2n + 8 = 0\end{cases}$
解$\vert m + 2 \vert = 1$，得$m + 2 = 1$或$m + 2 = -1$，即$m = -1$或$m = -3$；
由$m + 1 ≠ 0$得$m ≠ -1$，故$m = -3$；
解$-2n + 8 = 0$，得$n = 4$。
（2）将$m = -3$代入原式，得$y = (-3 + 1)x = -2x$，即函数解析式为$y = -2x$。
画函数图象：正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，过这两点作直线即可得到该函数的图象。
【答案】
（1）$m = -3$，$n = 4$；
（2）函数解析式为$y = -2x$，图象为过原点$(0,0)$和点$(1,-2)$的直线。
【知识点】
1. 正比例函数的定义；
2. 正比例函数图象绘制
【点评】
本题考查正比例函数的定义与图象画法，需紧扣正比例函数“系数不为0、自变量次数为1、常数项为0”的核心特征求解参数，再通过取点连线绘制图象，属于基础巩固题型，有助于加深对正比例函数概念的理解。
【难度系数】
0.8
（1）根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可得：
$\begin{cases}\vert m + 2 \vert = 1 \\m + 1 ≠ 0 \\-2n + 8 = 0\end{cases}$
解$\vert m + 2 \vert = 1$，得$m + 2 = 1$或$m + 2 = -1$，即$m = -1$或$m = -3$；
由$m + 1 ≠ 0$得$m ≠ -1$，故$m = -3$；
解$-2n + 8 = 0$，得$n = 4$。
（2）将$m = -3$代入原式，得$y = (-3 + 1)x = -2x$，即函数解析式为$y = -2x$。
画函数图象：正比例函数图象是过原点的直线，取点$(0,0)$和$(1,-2)$，过这两点作直线即可得到该函数的图象。
【答案】
（1）$m = -3$，$n = 4$；
（2）函数解析式为$y = -2x$，图象为过原点$(0,0)$和点$(1,-2)$的直线。
【知识点】
1. 正比例函数的定义；
2. 正比例函数图象绘制
【点评】
本题考查正比例函数的定义与图象画法，需紧扣正比例函数“系数不为0、自变量次数为1、常数项为0”的核心特征求解参数，再通过取点连线绘制图象，属于基础巩固题型，有助于加深对正比例函数概念的理解。
【难度系数】
0.8
【例2】已知正比例函数 $ y = (2m + 1)x^{2 - m^2} $，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则这个正比例函数的解析式为
思路分析
思考：因为该函数是正比例函数，所以 $ 2 - m^2 = $
【一题多变】
当 $ m = $
【规律方法】
先根据正比例函数的定义确定指数部分的值，再根据正比例函数的增减性确定比例系数的符号，最后求出参数的值或取值范围。
$ y = 3x $
。思路分析
思考：因为该函数是正比例函数，所以 $ 2 - m^2 = $
$ 1 $
，$ 2m + 1 $$ ≠ $
$ 0 $。又因为 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，所以 $ 2m + 1 $$ ＞ $
$ 0 $。【一题多变】
当 $ m = $
$ -\sqrt{2} $
时，正比例函数 $ y = (m + 1) · x^{m^2 - 1} $ 的图象经过第二、第四象限。【规律方法】
先根据正比例函数的定义确定指数部分的值，再根据正比例函数的增减性确定比例系数的符号，最后求出参数的值或取值范围。
答案
【例2】
思路分析
思考: $ 1 ≠ ＞ $
$ y = 3x $
一题多变
$ -\sqrt{2} $
思路分析
思考: $ 1 ≠ ＞ $
$ y = 3x $
一题多变
$ -\sqrt{2} $
解析
【解析】
例2解析：
1. 根据正比例函数的定义，自变量$x$的指数需满足$2 - m^2 = 1$，且比例系数$2m + 1 ≠ 0$；
2. 解方程$2 - m^2 = 1$，得$m^2 = 1$，即$m = \pm1$；
3. 因为$y$随$x$的增大而增大，所以比例系数$2m + 1 ＞ 0$：
当$m=1$时，$2×1+1=3＞0$，符合条件；
当$m=-1$时，$2×(-1)+1=-1＜0$，不符合条件，舍去；
因此$m=1$，正比例函数解析式为$y=3x$。
一题多变解析：
1. 由正比例函数定义，自变量$x$的指数满足$m^2 - 1 = 1$，解得$m^2 = 2$，即$m = \pm\sqrt{2}$；
2. 因为函数图象经过第二、第四象限，所以比例系数$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$；
3. 结合$m = \pm\sqrt{2}$，只有$m=-\sqrt{2}$满足$m ＜ -1$，故$m=-\sqrt{2}$。
【答案】
【例2】$y = 3x$；思路分析答案依次为$1$、$≠$、$＞$；【一题多变】$-\sqrt{2}$
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的性质
【点评】
本题围绕正比例函数的定义与性质展开，需先根据定义确定参数的可能取值，再结合函数的增减性或图象所在象限筛选出符合条件的参数值，考查对正比例函数核心概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
例2解析：
1. 根据正比例函数的定义，自变量$x$的指数需满足$2 - m^2 = 1$，且比例系数$2m + 1 ≠ 0$；
2. 解方程$2 - m^2 = 1$，得$m^2 = 1$，即$m = \pm1$；
3. 因为$y$随$x$的增大而增大，所以比例系数$2m + 1 ＞ 0$：
当$m=1$时，$2×1+1=3＞0$，符合条件；
当$m=-1$时，$2×(-1)+1=-1＜0$，不符合条件，舍去；
因此$m=1$，正比例函数解析式为$y=3x$。
一题多变解析：
1. 由正比例函数定义，自变量$x$的指数满足$m^2 - 1 = 1$，解得$m^2 = 2$，即$m = \pm\sqrt{2}$；
2. 因为函数图象经过第二、第四象限，所以比例系数$m + 1 ＜ 0$，即$m ＜ -1$；
3. 结合$m = \pm\sqrt{2}$，只有$m=-\sqrt{2}$满足$m ＜ -1$，故$m=-\sqrt{2}$。
【答案】
【例2】$y = 3x$；思路分析答案依次为$1$、$≠$、$＞$；【一题多变】$-\sqrt{2}$
【知识点】
正比例函数的定义、正比例函数的性质
【点评】
本题围绕正比例函数的定义与性质展开，需先根据定义确定参数的可能取值，再结合函数的增减性或图象所在象限筛选出符合条件的参数值，考查对正比例函数核心概念的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
变式训练
2. 若函数 $ y = (4m - 1)x + (m - 4) $ 是正比例函数，则它的图象经过
3. 若正比例函数 $ y = (2m - 1)x $ 的图象经过点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，$ m $ 的取值范围是
2. 若函数 $ y = (4m - 1)x + (m - 4) $ 是正比例函数，则它的图象经过
第一、第三
象限。3. 若正比例函数 $ y = (2m - 1)x $ 的图象经过点 $ A(x_1, y_1) $ 和点 $ B(x_2, y_2) $，当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，$ y_1 ＞ y_2 $，$ m $ 的取值范围是
$ m ＜ \frac{1}{2} $
。答案
变式训练
2.第一、第三 3. $ m ＜ \frac{1}{2} $
2.第一、第三 3. $ m ＜ \frac{1}{2} $
解析
【解析】
2. 因为函数$y=(4m - 1)x + (m - 4)$是正比例函数，根据正比例函数定义，需满足常数项为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m - 4 = 0 \\ 4m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=4$，此时一次项系数$4m - 1=15＞0$，所以正比例函数为$y=15x$，其图象经过第一、第三象限。
3. 已知正比例函数$y=(2m - 1)x$的图象上，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此一次项系数小于0，即：
$2m - 1 ＜ 0$
解得$m ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
2. 第一、第三；3. $m ＜ \frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义与性质，需牢记正比例函数的形式特征及函数增减性与比例系数的关系，通过列方程或不等式求解参数，进而判断图象象限或参数范围。
【难度系数】
0.6
2. 因为函数$y=(4m - 1)x + (m - 4)$是正比例函数，根据正比例函数定义，需满足常数项为0且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases}m - 4 = 0 \\ 4m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=4$，此时一次项系数$4m - 1=15＞0$，所以正比例函数为$y=15x$，其图象经过第一、第三象限。
3. 已知正比例函数$y=(2m - 1)x$的图象上，当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此一次项系数小于0，即：
$2m - 1 ＜ 0$
解得$m ＜ \frac{1}{2}$。
【答案】
2. 第一、第三；3. $m ＜ \frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的性质
【点评】
本题主要考查正比例函数的定义与性质，需牢记正比例函数的形式特征及函数增减性与比例系数的关系，通过列方程或不等式求解参数，进而判断图象象限或参数范围。
【难度系数】
0.6
