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二、填空题
11. 写出二元一次方程 $x - y + 3 = 0$ 的一个解：。
11. 写出二元一次方程 $x - y + 3 = 0$ 的一个解：。
答案
$\begin{cases} x=0 \\ y=3 \end{cases}$（答案不唯一）
12. 如果关于 $x$，$y$ 的方程 $3x^{m - 2n} + 2y^{m + n} = 4$ 是二元一次方程，那么 $m$ 的值为，$n$ 的值为。
答案
因为方程$3x^{m - 2n} + 2y^{m + n} = 4$是二元一次方程，所以$x$，$y$的次数都为$1$，可得方程组：
$\begin{cases}m - 2n = 1 \\m + n = 1\end{cases}$
用第二个方程$m + n = 1$减去第一个方程$m - 2n = 1$，得：
$(m + n) - (m - 2n) = 1 - 1$
$m + n - m + 2n = 0$
$3n = 0$
解得$n = 0$
将$n = 0$代入$m + n = 1$，得$m + 0 = 1$，解得$m = 1$
1；0
$\begin{cases}m - 2n = 1 \\m + n = 1\end{cases}$
用第二个方程$m + n = 1$减去第一个方程$m - 2n = 1$，得：
$(m + n) - (m - 2n) = 1 - 1$
$m + n - m + 2n = 0$
$3n = 0$
解得$n = 0$
将$n = 0$代入$m + n = 1$，得$m + 0 = 1$，解得$m = 1$
1；0
13. 在二元一次方程 $3x - 2y = 12$ 中，已知 $x$ 是 $y$ 的 $2$ 倍，则 $x - y$ 的值为。
答案
根据题意，有$x = 2y$。
将$x = 2y$代入方程$3x - 2y = 12$中，得到：
$3×(2y) - 2y = 12$
$6y - 2y = 12$
$4y = 12$
$y = 3$
由$x = 2y$，得$x = 2 × 3 = 6$。
所以，$x - y = 6 - 3 = 3$。
故答案为$3$。
将$x = 2y$代入方程$3x - 2y = 12$中，得到：
$3×(2y) - 2y = 12$
$6y - 2y = 12$
$4y = 12$
$y = 3$
由$x = 2y$，得$x = 2 × 3 = 6$。
所以，$x - y = 6 - 3 = 3$。
故答案为$3$。
14. 若实数 $a$，$b$ 满足 $|2a - b + 9| + (a + 4b)^2 = 0$，则 $a =$，$b =$。
答案
因为$|2a - b + 9| + (a + 4b)^2 = 0$，
根据绝对值和平方数的非负性，有：
$\begin{cases}2a - b + 9 = 0, \\a + 4b =0.\end{cases}$
由$a + 4b = 0$，可得$a = -4b$，
将$a = -4b$代入$2a - b + 9 = 0$，
得：$-8b - b + 9 = 0$，
合并同类项得：$-9b + 9 = 0$，
移项得：$-9b = -9$，
系数化为$1$得：$b = 1$，
将$b = 1$代入$a = -4b$，
得：$a = -4 × 1 = -4$，
所以，$\begin{cases}a = -4, \\b = 1.\end{cases}$
故答案为：$-4$；$1$。
根据绝对值和平方数的非负性，有：
$\begin{cases}2a - b + 9 = 0, \\a + 4b =0.\end{cases}$
由$a + 4b = 0$，可得$a = -4b$，
将$a = -4b$代入$2a - b + 9 = 0$，
得：$-8b - b + 9 = 0$，
合并同类项得：$-9b + 9 = 0$，
移项得：$-9b = -9$，
系数化为$1$得：$b = 1$，
将$b = 1$代入$a = -4b$，
得：$a = -4 × 1 = -4$，
所以，$\begin{cases}a = -4, \\b = 1.\end{cases}$
故答案为：$-4$；$1$。
15. 对于实数 $x$ 和 $y$，定义一种新的运算 $△$：$x△ y = ax + by$，其中 $a$，$b$ 为常数，等式右边的运算通常的加法和乘法运算。已知 $3△ 5 = 25$，$4△ 7 = 38$，那么 $1△ 5$ 的值为。
答案
根据新运算定义，得：
$\begin{cases}3a + 5b = 25 \\4a + 7b = 38\end{cases}$
①×4得：$12a + 20b = 100$ ③
②×3得：$12a + 21b = 114$ ④
④ - ③得：$b = 14$
将$b = 14$代入①：$3a + 5×14 = 25$，解得$a = -15$
则$1△5 = a×1 + b×5 = -15×1 + 14×5 = -15 + 70 = 55$
55
$\begin{cases}3a + 5b = 25 \\4a + 7b = 38\end{cases}$
①×4得：$12a + 20b = 100$ ③
②×3得：$12a + 21b = 114$ ④
④ - ③得：$b = 14$
将$b = 14$代入①：$3a + 5×14 = 25$，解得$a = -15$
则$1△5 = a×1 + b×5 = -15×1 + 14×5 = -15 + 70 = 55$
55
16. 方程 $2x - y = 5$ 和 $4x + 3y = -10$ 的公共解是。
答案
使用消元法来解这个方程组。
首先，有方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad (1) \\4x + 3y = -10 \quad (2)\end{cases}$
为了消去 $y$，可以将方程 (1) 乘以 3，然后与方程 (2) 相加。
$3 × (2x - y) + (4x + 3y) = 3 × 5 + (-10)$
$6x - 3y + 4x + 3y = 15 - 10$
$10x = 5$
$x = \frac{1}{2}$
得到 $x = \frac{1}{2}$ 后，将其代入方程 (1) 中求解 $y$。
$2 × \frac{1}{2} - y = 5$
$1 - y = 5$
$y = -4$
因此，方程组的公共解为：
$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = -4\end{cases}$
首先，有方程组：
$\begin{cases}2x - y = 5 \quad (1) \\4x + 3y = -10 \quad (2)\end{cases}$
为了消去 $y$，可以将方程 (1) 乘以 3，然后与方程 (2) 相加。
$3 × (2x - y) + (4x + 3y) = 3 × 5 + (-10)$
$6x - 3y + 4x + 3y = 15 - 10$
$10x = 5$
$x = \frac{1}{2}$
得到 $x = \frac{1}{2}$ 后，将其代入方程 (1) 中求解 $y$。
$2 × \frac{1}{2} - y = 5$
$1 - y = 5$
$y = -4$
因此，方程组的公共解为：
$\begin{cases}x = \frac{1}{2} \\y = -4\end{cases}$
17. 某超市某天卖出 $39$ 支牙刷和 $21$ 盒牙膏，收入 $396$ 元；第二天，该超市以同样的价格卖出同样的 $52$ 支牙刷和 $28$ 盒牙膏，则应收入元。
答案
设每支牙刷的价格为 $x$ 元，每盒牙膏的价格为 $y$ 元。
根据第一天销售情况，建立方程：
$39x + 21y = 396$，
方程两边同时除以3，得到：
$13x + 7y = 132$，
第二天销售情况：
$52x + 28y$
$= 4 × (13x + 7y)$
$= 4 × 132$
$= 528$
所以第二天应收入528元。
根据第一天销售情况，建立方程：
$39x + 21y = 396$，
方程两边同时除以3，得到：
$13x + 7y = 132$，
第二天销售情况：
$52x + 28y$
$= 4 × (13x + 7y)$
$= 4 × 132$
$= 528$
所以第二天应收入528元。
18. 《增删算法统宗》中记载了“绳索量竿”的问题，内容如下：一条竿子一条索，索比竿子长一托。折回索子来量竿，却比竿子短一托。其大意是现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 $5$ 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短 $5$ 尺。设绳索长 $x$ 尺，竿长 $y$ 尺。根据题意，可列方程组为。
答案
根据题意，可列方程组：
$\begin{cases}x = y + 5, \\ \frac{x}{2} = y - 5.\end{cases}$
$\begin{cases}x = y + 5, \\ \frac{x}{2} = y - 5.\end{cases}$
三、解答题
19. 解方程组。
（1）$\begin{cases}2x + y = 4,\\x - y = -1;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 7,\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 8.\end{cases}$
19. 解方程组。
（1）$\begin{cases}2x + y = 4,\\x - y = -1;\end{cases}$
（2）$\begin{cases}\frac{x}{4} + \frac{y}{3} = 7,\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 8.\end{cases}$
答案
（1）$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$；（2）$\begin{cases}x=60\\y=-24\end{cases}$
解析
（1）$\begin{cases}2x + y = 4 &①\\x - y = -1 &②\end{cases}$
①+②得：$3x=3$，解得$x=1$
将$x=1$代入②得：$1 - y = -1$，解得$y=2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
（2）原方程组整理得：$\begin{cases}3x + 4y = 84 &①\\2x + 3y = 48 &②\end{cases}$
①×2得：$6x + 8y = 168$ ③
②×3得：$6x + 9y = 144$ ④
④ - ③得：$y = -24$
将$y = -24$代入②得：$2x + 3×(-24) = 48$，解得$x=60$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=60\\y=-24\end{cases}$
①+②得：$3x=3$，解得$x=1$
将$x=1$代入②得：$1 - y = -1$，解得$y=2$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$
（2）原方程组整理得：$\begin{cases}3x + 4y = 84 &①\\2x + 3y = 48 &②\end{cases}$
①×2得：$6x + 8y = 168$ ③
②×3得：$6x + 9y = 144$ ④
④ - ③得：$y = -24$
将$y = -24$代入②得：$2x + 3×(-24) = 48$，解得$x=60$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=60\\y=-24\end{cases}$
