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1. 实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，若$n$个数$x_{1},x_{2},···,x_{n}$的权分别是$w_{1},w_{2},···,w_{n}$，则叫做这$n$个数的加权平均数。
2. 常见的权的形式：（1）分数或百分比；（2）出现的次数；（3）权的比例关系。
2. 常见的权的形式：（1）分数或百分比；（2）出现的次数；（3）权的比例关系。
答案
$\frac{x_{1}w_{1} + x_{2}w_{2} + ··· + x_{n}w_{n}}{w_{1} + w_{2} + ··· + w_{n}}$
解析
根据加权平均数的定义，若$n$个数$x_{1},x_{2},···,x_{n}$的权分别是$w_{1},w_{2},···,w_{n}$，则加权平均数为各数据与其对应权的乘积之和除以权的总和。
【典例】某学校对各个班级的教室卫生情况的检查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面。某天，八年级三个班级的各项卫生成绩（分）分别如下表所示：
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按$15\%$、$10\%$、$35\%$、$40\%$的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的方案，哪个班的卫生成绩最高？
解析：（1）一班的成绩$=95×15\% + 90×10\% + 90×35\% + 85×40\% = 88.75$（分）；
二班的成绩$=90×15\% + 95×10\% + 85×35\% + 90×40\% = 88.75$（分）；
三班的成绩$=85×15\% + 90×10\% + 95×35\% + 90×40\% = 91$（分）。
$\therefore$三班的成绩最高。
（2）如果按照四项的权重一样，则三个班的平均成绩分别为
一班的成绩$=(95 + 90 + 90 + 85)÷4 = 90$（分）；
二班的成绩$=(90 + 95 + 85 + 90)÷4 = 90$（分）；
三班的成绩$=(85 + 90 + 95 + 90)÷4 = 90$（分）；
$\therefore$三个班的成绩一样。（答案不唯一）
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按$15\%$、$10\%$、$35\%$、$40\%$的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的方案，哪个班的卫生成绩最高？
解析：（1）一班的成绩$=95×15\% + 90×10\% + 90×35\% + 85×40\% = 88.75$（分）；
二班的成绩$=90×15\% + 95×10\% + 85×35\% + 90×40\% = 88.75$（分）；
三班的成绩$=85×15\% + 90×10\% + 95×35\% + 90×40\% = 91$（分）。
$\therefore$三班的成绩最高。
（2）如果按照四项的权重一样，则三个班的平均成绩分别为
一班的成绩$=(95 + 90 + 90 + 85)÷4 = 90$（分）；
二班的成绩$=(90 + 95 + 85 + 90)÷4 = 90$（分）；
三班的成绩$=(85 + 90 + 95 + 90)÷4 = 90$（分）；
$\therefore$三个班的成绩一样。（答案不唯一）
答案
（1）一班成绩：$95×15\% + 90×10\% + 90×35\% + 85×40\% = 88.75$（分）
二班成绩：$90×15\% + 95×10\% + 85×35\% + 90×40\% = 88.75$（分）
三班成绩：$85×15\% + 90×10\% + 95×35\% + 90×40\% = 91$（分）
$\because 91 ＞ 88.75$，$\therefore$三班成绩最高。
（2）若四项权重相同（各25%）：
一班成绩：$(95 + 90 + 90 + 85)÷4 = 90$（分）
二班成绩：$(90 + 95 + 85 + 90)÷4 = 90$（分）
三班成绩：$(85 + 90 + 95 + 90)÷4 = 90$（分）
$\therefore$三个班成绩一样。（答案不唯一）
二班成绩：$90×15\% + 95×10\% + 85×35\% + 90×40\% = 88.75$（分）
三班成绩：$85×15\% + 90×10\% + 95×35\% + 90×40\% = 91$（分）
$\because 91 ＞ 88.75$，$\therefore$三班成绩最高。
（2）若四项权重相同（各25%）：
一班成绩：$(95 + 90 + 90 + 85)÷4 = 90$（分）
二班成绩：$(90 + 95 + 85 + 90)÷4 = 90$（分）
三班成绩：$(85 + 90 + 95 + 90)÷4 = 90$（分）
$\therefore$三个班成绩一样。（答案不唯一）
【对点训练】
某学校经过初步比较后，决定从八（1）、（4）、（8）这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班级。现对这三个班进行综合素质考评，下表是他们五项素质考评的得分情况（以分为单位，每项满分为$10$分）：
根据五个项目的重要程度，若按行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生$=3:2:3:1:1$的比例，对各班的得分重新计算，请比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班级。
某学校经过初步比较后，决定从八（1）、（4）、（8）这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班级。现对这三个班进行综合素质考评，下表是他们五项素质考评的得分情况（以分为单位，每项满分为$10$分）：
根据五个项目的重要程度，若按行为规范：学习成绩：校运动会：艺术获奖：劳动卫生$=3:2:3:1:1$的比例，对各班的得分重新计算，请比较出大小关系，并从中推荐一个得分最高的班级作为市级先进班集体的候选班级。
答案
设行为规范、学习成绩、校运动会、艺术获奖、劳动卫生的权重比例分别为$3:2:3:1:1$，则加权平均数公式为：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{\mathrm{行为规范} × 3 + \mathrm{学习成绩} × 2 + \mathrm{校运动会} × 3 + \mathrm{艺术获奖} × 1 + \mathrm{劳动卫生} × 1}{3 + 2 + 3 + 1 + 1}$。
对于八（1）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{10 × 3 + 10 × 2 + 6 × 3 + 10 × 1 + 7 × 1}{10} = \frac{30 + 20 + 18 + 10 + 7}{10} = \frac{85}{10} = 8.5$。
对于八（4）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{10 × 3 + 8 × 2 + 8 × 3 + 9 × 1 + 8 × 1}{10} = \frac{30 + 16 + 24 + 9 + 8}{10} = \frac{87}{10} = 8.7$。
对于八（8）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{9 × 3 + 10 × 2 + 9 × 3 + 6 × 1 + 9 × 1}{10} = \frac{27 + 20 + 27 + 6 + 9}{10} = \frac{89}{10} = 8.9$。
比较三个班级的加权平均分：
$8.5 ＜ 8.7 ＜ 8.9$。
从中推荐一个得分最高的班级，因此推荐八（8）班作为市级先进班集体的候选班级。
$\mathrm{加权平均分} = \frac{\mathrm{行为规范} × 3 + \mathrm{学习成绩} × 2 + \mathrm{校运动会} × 3 + \mathrm{艺术获奖} × 1 + \mathrm{劳动卫生} × 1}{3 + 2 + 3 + 1 + 1}$。
对于八（1）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{10 × 3 + 10 × 2 + 6 × 3 + 10 × 1 + 7 × 1}{10} = \frac{30 + 20 + 18 + 10 + 7}{10} = \frac{85}{10} = 8.5$。
对于八（4）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{10 × 3 + 8 × 2 + 8 × 3 + 9 × 1 + 8 × 1}{10} = \frac{30 + 16 + 24 + 9 + 8}{10} = \frac{87}{10} = 8.7$。
对于八（8）班：
$\mathrm{加权平均分} = \frac{9 × 3 + 10 × 2 + 9 × 3 + 6 × 1 + 9 × 1}{10} = \frac{27 + 20 + 27 + 6 + 9}{10} = \frac{89}{10} = 8.9$。
比较三个班级的加权平均分：
$8.5 ＜ 8.7 ＜ 8.9$。
从中推荐一个得分最高的班级，因此推荐八（8）班作为市级先进班集体的候选班级。
