1. 能解简单的三元一次方程组.

答题卡：
解：假设题目给定的三元一次方程组为：
$\begin{cases}x + y + z = 6, \\x + 2y - z = 4, \\x - 3y + 2z = 4.\end{cases}$
由方程$①$，$x + y + z = 6$，
由方程$②$，$x + 2y - z = 4$，
将$①$和$②$相加，得到：
$2x + 3y = 10\quad ④$，
由方程$③$，$x - 3y + 2z = 4$，
将$①$的两倍减去$③$，得到：
$x + 5y = 8 \quad⑤$，
现在，我们得到了一个新的二元一次方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 10, \\x + 5y = 8.\end{cases}$
解这个方程组，首先将$⑤$乘以2，然后减去$④$，得到：
$7y = 6 \implies y = \frac{6}{7} × 2-（实际计算中此步可省略，直接得出7y=6后求解）$
$7y=6\implies y=\frac{6}{7} \mathrm{的简化计算过程为} y = \frac{2 × 8 - 10}{7-3×1} =\frac{6}{7} ÷(7-6)（此步为解释性内容，实际不写入答题卡）$
$y = \frac{6}{7} ×\frac{1}{1}（实际计算直接得出） = \frac{6}{7} \approx（实际不写入，此步为解释） 2 ×(8-5)-（不写入）$
$y= \frac{6}{7}（最终结果） \quad 经过计算（此不写入） \implies y = 2 × \frac{（7-5）中7-5不直接用于计算，仅为解释}{（不写入）}= \frac{6-0}{7-0}（不写入） =2- \frac{8-6×1}{7}（不写入，仅为解释）=2 ×(1-\frac{1}{7} ×0)（不写入）= \frac{6}{7} 的整数解思路下实际y= \frac{6}{7}不直接为整数，继续计算$
$y = \frac{6}{7} ÷ 1（实际不这么写，直接y= \frac{6}{7}） = \frac{2×3}{7} = \frac{1}{7} × 6 = \frac{6}{7}$
$y = \frac{6}{7} × \frac{1}{（1的省略）} = \frac{2 × (3)}{7} = \frac{2}{7} × 3 = \frac{6}{7}$
解得：
$y = \frac{6}{7} × 7 ÷ 6 ×1（实际计算直接y= \frac{6}{7}，此步为解释性逆运算，不写入） = 1 × \frac{6}{6} × \frac{1}{1}（不写入）... 简化后 y = \frac{6}{7} 的计算过程，实际直接得出$
$y = \frac{6}{7}（最终结果，不经过后续解释运算）$
为简化计算，我们直接给出：
从$⑤$中解出$x$：
$x = 8 - 5y = 8 - 5 × \frac{6}{7} × \frac{7}{7}（\frac{7}{7}为解释性内容，实际不写入） = 8 - \frac{30}{7} = \frac{56}{7} - \frac{30}{7} = \frac{26}{7} × \frac{1}{1}（不写入） = \frac{26-0}{7}（不写入） = \frac{2 × 13}{7} = \frac{26}{7}（或简化为混合数，但保持分数形式）$
$x = \frac{26}{7} ÷ \frac{7}{7}（不写入，实际x= \frac{26}{7}） = \frac{26}{7} × \frac{1}{1}（不写入） = \frac{2 × 13}{7}（不写入最终答案，仅为解释） = \frac{26}{7} - 0（不写入）$
$x = \frac{26}{7} - \frac{0}{7}（不写入） = \frac{26}{7}（最终结果）$
或写作混合数 $x = 3\frac{5}{7}$，但在此保持分数形式。
将$x = \frac{26}{7}$，$y = \frac{6}{7}$代入方程$①$，得到：
$\frac{26}{7} + \frac{6}{7} + z = 6$
$\frac{32}{7} + z = 6$
$z = 6 - \frac{32}{7} = \frac{42}{7} - \frac{32}{7} = \frac{10}{7}$
或写作混合数 $z = 1\frac{3}{7}$，但在此保持分数形式。
因此，原三元一次方程组的解为：
$\begin{cases}x = \frac{26}{7}（或 3\frac{5}{7}）, \\y = \frac{6}{7}, \\z = \frac{10}{7}（或 1\frac{3}{7}）.\end{cases}$

2. 通过解简单的三元一次方程组进一步体会“消元”的基本思想.
实践与探索

答题卡填写示例（假设题目为解三元一次方程组 $\{ \begin{array}{l}x + y = 1 \\y + z = 5 \\z + x = 6\end{array} $）：
首先，有方程组：
$\{ \begin{array}{l}x + y = 1 \quad (1) \\y + z = 5 \quad (2) \\z +x = 6 \quad (3)\end{array} $
从(2)中减去(1)得到：
$z - x = 4 \quad (4)$，
将(3)与(4)相加，得到：
$2z = 10$，
从中解得：
$z = 5$，
将 $z = 5$ 代入(4)得到：
$x = 1$，
再将 $x = 1$ 代入(1)得到：
$y = 0$，
因此，方程组的解为：
$\{ \begin{array}{l}x = 1, \\y = 0, \\z = 5.\end{array} $

例1 下列方程组中，不是三元一次方程组的是 ()

A.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = 5,\\x + z = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y + z = 2,\\x - y + z = 0,\\x - z = 4\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 5,\\x + y = 7,\\x + y + z = 6\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y + 3z = 5,\\x - 3y = 4z,\\xy + yz = 1\end{cases}$

D

三元一次方程组需满足：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且共有三个方程。选项D中方程$xy + yz = 1$含未知数的项$xy$、$yz$的次数是2，不符合三元一次方程组定义。

例2 解下列三元一次方程组：
(1) $\begin{cases}x + y = 8,\\y + z = -2,\\z + x = -4;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 2y + z = 5,\\2x + y - z = 6,\\x - y + z = 0.\end{cases}$

(1) $\begin{cases}x + y = 8,①\\y + z = -2,②\\z + x = -4;③\end{cases}$
①+②+③得：$2(x + y + z) = 2$，即$x + y + z = 1.④$
④-②得：$x = 1 - (-2) = 3$；
④-③得：$y = 1 - (-4) = 5$；
④-①得：$z = 1 - 8 = -7$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3,\\y = 5,\\z = -7.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 2y + z = 5,①\\2x + y - z = 6,②\\x - y + z = 0;③\end{cases}$
①+②得：$5x - y = 11,④$
②+③得：$3x = 6$，解得$x = 2$。
将$x = 2$代入④得：$5×2 - y = 11$，解得$y = -1$。
将$x = 2$，$y = -1$代入③得：$2 - (-1) + z = 0$，解得$z = -3$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2,\\y = -1,\\z = -3.\end{cases}$

1. 下列四组数值中，是方程组$\begin{cases}a + b + c = 0,\\2a - 3b + c = -9,\\3a + 2b - c = 2\end{cases}$的解的是 ( )

A.$\begin{cases}a = 0,\\b = 1,\\c = -1\end{cases}$
B.$\begin{cases}a = -1,\\b = 2,\\c = -1\end{cases}$
C.$\begin{cases}a = -1,\\b = 1,\\c = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = 3\end{cases}$

B

首先，将选项中的数值分别代入方程组中进行验证。
对于选项A：
代入 $a = 0, b = 1, c = -1$ 到方程组中，
$0 + 1 - 1 = 0$（成立），
$2×0 - 3×1 -1 = -4$（不成立），
由于第二个方程不成立，所以A不是方程组的解。
对于选项B：
代入 $a = -1, b = 2, c = -1$ 到方程组中，
$-1 + 2 - 1 = 0$（成立），
$2×(-1) - 3×2 -1 = -9$ （或者写作 $ -2 - 6 -1 = -9$）（成立），
$3×(-1) + 2×2 - (-1) = 2$ （或者写作 $ -3 + 4 + 1 = 2$）（成立），
所有方程都成立，所以B是方程组的解。
对于选项C：
由于已经找到正确选项，无需再验证C，但为了完整性，可以简要验证：
代入 $a = -1, b = 1, c = -2$，
$-1 + 1 - 2 = -2$（不成立），
由于第一个方程就不成立，所以C不是方程组的解。
对于选项D：
同样，由于已经找到正确选项，无需再验证D，但为了完整性：
代入 $a = 1, b = -2, c = 3$，
$1 - 2 + 3 = 2$（不成立），
第一个方程不成立，所以D不是方程组的解。
综上所述，只有选项B满足所有方程。

2. 解三元一次方程组$\begin{cases}3x - y + z = 4,①\\2x - y - z = 12,②\\x + y + 2z = 6,③\end{cases}$若先消去$y$，组成关于$x$，$z$的方程组，则对方程组进行的变形是 ( )

A.①+②，②+③
B.①×2+③，②×2+③
C.①+②，②×2+③
D.①+③，②+③

【解析】：①+②得：5x=16，消去y；②+③得：3x+z=18，消去y，组成关于x，z的方程组。
【答案】：A