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1. 如果有 $ n $ 个数 $ x_1,x_2,···,x_n $，那么， 叫作这 $ n $ 个数的平均数。
答案
$\frac{1}{n}(x_1 + x_2+··· +x_n)$
解析
根据平均数的定义，对于n个数$x_1,x_2,···,x_n$，其平均数为所有数的和除以数的个数，即$\frac{1}{n}(x_1 + x_2+··· +x_n)$。
2. 如果 $ n $ 个数 $ x_1,x_2,···,x_n $ 的权分别是 $ w_1,w_2,···,w_n $，则 叫作这 $ n $ 个数的加权平均数。
答案
$\frac{x_1w_1 + x_2w_2 + ··· + x_nw_n}{w_1 + w_2 + ··· + w_n}$
解析
根据加权平均数的定义，如果$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$的权分别是$w_1,w_2,···,w_n$，那么$\frac{x_1w_1 + x_2w_2 + ··· + x_nw_n}{w_1 + w_2 + ··· + w_n}$叫作这$n$个数的加权平均数。
3. 加权平均数的“权”可表示：
(1)数据的程度；
(2)数据出现的。
(1)数据的程度；
(2)数据出现的。
答案
(1)重要；(2)次数
解析
加权平均数中，“权”反映了各个数据在总体中的重要程度，也可以表示数据出现的次数。
填空 某学校生物兴趣小组 $ 11 $ 人到校外采集标本，其中 $ 3 $ 人每人采集 $ 4 $ 件，$ 4 $ 人每人采集 $ 3 $ 件，$ 4 $ 人每人采集 $ 5 $ 件，则该兴趣小组平均每人采集标本件。
答案
$4$
解析
本题可根据加权平均数的计算公式来求解该兴趣小组平均每人采集标本的数量。
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+··· +x_{k}f_{k}}{f_{1}+f_{2}+··· +f_{k}}$，其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数。
在本题中，$x_1 = 4$（每人采集$4$件），其权数$f_1 = 3$；$x_2 = 3$（每人采集$3$件），其权数$f_2 = 4$；$x_3 = 5$（每人采集$5$件），其权数$f_3 = 4$；总人数$f_{1}+f_{2}+f_{3}=3 + 4 + 4 = 11$。
将上述值代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}=\frac{4×3 + 3×4 + 5×4}{3 + 4 + 4}=\frac{12 + 12 + 20}{11}=\frac{44}{11}=4$（件）
加权平均数的计算公式为$\overline{x}=\frac{x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+··· +x_{k}f_{k}}{f_{1}+f_{2}+··· +f_{k}}$，其中$x_{i}$为各数据，$f_{i}$为各数据的权数。
在本题中，$x_1 = 4$（每人采集$4$件），其权数$f_1 = 3$；$x_2 = 3$（每人采集$3$件），其权数$f_2 = 4$；$x_3 = 5$（每人采集$5$件），其权数$f_3 = 4$；总人数$f_{1}+f_{2}+f_{3}=3 + 4 + 4 = 11$。
将上述值代入加权平均数公式可得：
$\overline{x}=\frac{4×3 + 3×4 + 5×4}{3 + 4 + 4}=\frac{12 + 12 + 20}{11}=\frac{44}{11}=4$（件）
例1(1)在半期考试中，小丹语文、数学、英语、物理四科的成绩分别是 $ 91 $ 分、$ 100 $ 分、$ 95 $ 分、$ 94 $ 分，则她四科成绩的平均分为分。
(2)已知一组数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ 的平均数为 $ 3 $，则数据 $ x_1 + 5,x_2 + 5,x_3 + 5,x_4 + 5 $ 的平均数为。
(2)已知一组数据 $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ 的平均数为 $ 3 $，则数据 $ x_1 + 5,x_2 + 5,x_3 + 5,x_4 + 5 $ 的平均数为。
答案
(1) $95$；
(2) $8$。
(2) $8$。
解析
(1)
根据算术平均数公式：若$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$，则其平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+··· + x_n}{n}$。
小丹四科成绩的平均分为$\frac{91 + 100+95 + 94}{4}=\frac{380}{4}=95$（分）。
(2)
因为$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+x_3 + x_4}{4}=3$，所以$x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4×3 = 12$。
新数据$x_1 + 5,x_2 + 5,x_3 + 5,x_4 + 5$的平均数为：
$\frac{(x_1 + 5)+(x_2 + 5)+(x_3 + 5)+(x_4 + 5)}{4}=\frac{(x_1 + x_2+x_3 + x_4)+20}{4}=\frac{12 + 20}{4}=\frac{32}{4}=8$。
根据算术平均数公式：若$n$个数$x_1,x_2,···,x_n$，则其平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+··· + x_n}{n}$。
小丹四科成绩的平均分为$\frac{91 + 100+95 + 94}{4}=\frac{380}{4}=95$（分）。
(2)
因为$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+x_3 + x_4}{4}=3$，所以$x_1 + x_2+x_3 + x_4 = 4×3 = 12$。
新数据$x_1 + 5,x_2 + 5,x_3 + 5,x_4 + 5$的平均数为：
$\frac{(x_1 + 5)+(x_2 + 5)+(x_3 + 5)+(x_4 + 5)}{4}=\frac{(x_1 + x_2+x_3 + x_4)+20}{4}=\frac{12 + 20}{4}=\frac{32}{4}=8$。
变式训练 已知一组数据 $ 8,9,x,3 $，若这组数据的平均数是 $ 7 $，则 $ x = $。
答案
$8$
解析
根据题意，这组数据的平均数为 $7$，即 $\frac{8 + 9 + x + 3}{4} = 7$。
计算分子部分，得 $8 + 9 + x + 3 = 20 + x$，所以 $\frac{20 + x}{4} = 7$。
两边同时乘以 $4$，得 $20 + x = 28$。
解得 $x = 8$。
例2 学校把学生的纸笔测试、实践能力、成长记录三项成绩分别按 $ 50\% $、$ 20\% $、$ 30\% $ 的比例计入学期总评成绩，规定学期总评成绩不低于 $ 90 $ 分的学生可以评为优秀。若学生甲、乙、丙、丁的各项成绩如下表(单位：分)，则这四人中应评为优秀的是()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
B
解析
需要计算每位学生的总评成绩，公式为：
总评成绩 $= 纸笔测试 × 50\% + 实践能力 × 20\% + 成长记录 × 30\%$。
甲的总评成绩：
$90 × 50\% + 82 × 20\% + 95 × 30\% = 45 + 16.4 + 28.5 = 89.9$（分），
$89.9 ＜ 90$，所以甲不能评为优秀。
乙的总评成绩：
$88 × 50\% + 90 × 20\% + 96 × 30\% = 44 + 18 + 28.8 = 90.8$（分），
$90.8 ＞ 90$，所以乙可以评为优秀。
丙的总评成绩：
$80 × 50\% + 88 × 20\% + 90 × 30\% = 40 + 17.6 + 27 = 84.6$（分），
$84.6 ＜ 90$，所以丙不能评为优秀。
丁的总评成绩：
$95 × 50\% + 90 × 20\% + 80 × 30\% = 47.5 + 18 + 24 = 89.5$（分），
$89.5 ＜ 90$，所以丁不能评为优秀。
因此，只有乙可以评为优秀。
总评成绩 $= 纸笔测试 × 50\% + 实践能力 × 20\% + 成长记录 × 30\%$。
甲的总评成绩：
$90 × 50\% + 82 × 20\% + 95 × 30\% = 45 + 16.4 + 28.5 = 89.9$（分），
$89.9 ＜ 90$，所以甲不能评为优秀。
乙的总评成绩：
$88 × 50\% + 90 × 20\% + 96 × 30\% = 44 + 18 + 28.8 = 90.8$（分），
$90.8 ＞ 90$，所以乙可以评为优秀。
丙的总评成绩：
$80 × 50\% + 88 × 20\% + 90 × 30\% = 40 + 17.6 + 27 = 84.6$（分），
$84.6 ＜ 90$，所以丙不能评为优秀。
丁的总评成绩：
$95 × 50\% + 90 × 20\% + 80 × 30\% = 47.5 + 18 + 24 = 89.5$（分），
$89.5 ＜ 90$，所以丁不能评为优秀。
因此，只有乙可以评为优秀。
变式训练 某中学规定学生的学期体育成绩满分为 $ 100 $ 分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩 $ 3:3:4 $ 计算学期成绩。某同学本学期的三项成绩(百分制)依次为 $ 90 $ 分、$ 85 $ 分、$ 95 $ 分，则该同学本学期的总成绩是()
A.$ 91.5 $ 分
B.$ 90 $ 分
C.$ 92.5 $ 分
D.$ 90.5 $ 分
A.$ 91.5 $ 分
B.$ 90 $ 分
C.$ 92.5 $ 分
D.$ 90.5 $ 分
答案
D
解析
根据加权平均数公式，总成绩 = (90×3 + 85×3 + 95×4)÷(3 + 3 + 4) = (270 + 255 + 380)÷10 = 905÷10 = 90.5分
1. 样本 $ 2,7,1,2,14,3,6 $ 的平均数是()
A.$ 5 $
B.$ 7 $
C.$ 9 $
D.$ 10 $
A.$ 5 $
B.$ 7 $
C.$ 9 $
D.$ 10 $
答案
A
解析
首先，需要计算样本中所有数的和。
$2 + 7 + 1 + 2 + 14 + 3 + 6 = 35$，
然后，将这个和除以样本中数的个数（7个）来求得平均数：
$\frac{35}{7} = 5$，
因此，这些数的平均数是5。
$2 + 7 + 1 + 2 + 14 + 3 + 6 = 35$，
然后，将这个和除以样本中数的个数（7个）来求得平均数：
$\frac{35}{7} = 5$，
因此，这些数的平均数是5。
