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2. 某同学用计算器计算 $ 30 $ 个数据的平均数时，错将其中一个数据 $ 105 $ 输入为 $ 15 $，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()
A.$ 3.5 $
B.$ 3 $
C.$ -3 $
D.$ 0.5 $
A.$ 3.5 $
B.$ 3 $
C.$ -3 $
D.$ 0.5 $
答案
C
解析
设其余29个数据的和为A，105输入为15，少输入了105 - 15 = 90，那么错误的平均数为$\frac{A + 15}{30}$，实际的平均数为$\frac{A + 15+90}{30}=\frac{A + 105}{30}$，两者的差值为$\frac{A + 15}{30}-\frac{A + 105}{30}=\frac{A+15 - A - 105}{30}=\frac{-90}{30}=- 3$。
3. 一家饮品店新推出一款奶茶，为了解顾客满意度(满分 $ 5 $ 星)，随机调查了 $ 20 $ 名顾客，打分情况如下：有 $ 2 $ 人打了 $ 1 $ 星，$ 3 $ 人打了 $ 2 $ 星，$ 5 $ 人打了 $ 3 $ 星，$ 8 $ 人打了 $ 4 $ 星，$ 2 $ 人打了 $ 5 $ 星。则这 $ 20 $ 名顾客给出的平均星级是星。
答案
3.25
解析
总星级 = 2×1 + 3×2 + 5×3 + 8×4 + 2×5 = 2 + 6 + 15 + 32 + 10 = 65，平均星级 = 65÷20 = 3.25
4. 已知一组数据 $ x_1 $、$ x_2 $、$ x_3 $、$ x_4 $ 的平均数是 $ 2025 $，则数据 $ x_1 + 5 $、$ x_2 - 2 $、$ x_3 - 5 $、$ x_4 - 3 $ 的平均数是。
答案
2023.75
解析
因为数据$x_1$、$x_2$、$x_3$、$x_4$的平均数是$2025$，所以$\frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4}=2025$，即$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4×2025 = 8100$。
新数据$x_1 + 5$、$x_2 - 2$、$x_3 - 5$、$x_4 - 3$的总和为$(x_1 + 5)+(x_2 - 2)+(x_3 - 5)+(x_4 - 3) = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)+(5 - 2 - 5 - 3)=8100 - 5 = 8095$。
其平均数为$\frac{8095}{4}=2023.75$。
新数据$x_1 + 5$、$x_2 - 2$、$x_3 - 5$、$x_4 - 3$的总和为$(x_1 + 5)+(x_2 - 2)+(x_3 - 5)+(x_4 - 3) = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)+(5 - 2 - 5 - 3)=8100 - 5 = 8095$。
其平均数为$\frac{8095}{4}=2023.75$。
5. 某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的歌唱比赛。评委从歌唱的音准、表现力、难度三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计。进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示：
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“音准”这一项最重要，音准、表现力、难度的成绩按照 $ 5:3:2 $ 的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由。
（1）分别计算甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），能否以此确定两人的名次？
（2）如果评委认为“音准”这一项最重要，音准、表现力、难度的成绩按照 $ 5:3:2 $ 的比确定，以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次；
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由。
答案
（1）甲的平均成绩：$\frac{95 + 90 + 85}{3} = \frac{270}{3} = 90$（分）
乙的平均成绩：$\frac{92 + 88 + 90}{3} = \frac{270}{3} = 90$（分）
平均成绩相同，不能确定名次。
（2）甲的平均成绩：$\frac{95×5 + 90×3 + 85×2}{5 + 3 + 2} = \frac{475 + 270 + 170}{10} = \frac{915}{10} = 91.5$（分）
乙的平均成绩：$\frac{92×5 + 88×3 + 90×2}{5 + 3 + 2} = \frac{460 + 264 + 180}{10} = \frac{904}{10} = 90.4$（分）
$91.5 ＞ 90.4$，甲第一，乙第二。
（3）设计三项成绩比为$4:4:2$。理由：音准和表现力是歌唱的核心，同等重要，难度次之。（答案不唯一，合理即可）
乙的平均成绩：$\frac{92 + 88 + 90}{3} = \frac{270}{3} = 90$（分）
平均成绩相同，不能确定名次。
（2）甲的平均成绩：$\frac{95×5 + 90×3 + 85×2}{5 + 3 + 2} = \frac{475 + 270 + 170}{10} = \frac{915}{10} = 91.5$（分）
乙的平均成绩：$\frac{92×5 + 88×3 + 90×2}{5 + 3 + 2} = \frac{460 + 264 + 180}{10} = \frac{904}{10} = 90.4$（分）
$91.5 ＞ 90.4$，甲第一，乙第二。
（3）设计三项成绩比为$4:4:2$。理由：音准和表现力是歌唱的核心，同等重要，难度次之。（答案不唯一，合理即可）
6. 某校举行八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原，每个项目得分按一定百分比折算后记入总分。下表为甲、乙、丙三位同学得分情况：（单位：分）
（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四个项目得分分别按 $ 10\% $，$ 40\% $，$ 20\% $，$ 30\% $ 折算记入总分，据此求出甲的总分；
（2）大赛组委会最后决定，总分为 $ 80 $ 分以上（包括 $ 80 $ 分）的学生获一等奖。现获悉乙、丙的总分分别是 $ 70 $ 分、$ 80 $ 分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后分数之和是 $ 20 $ 分，甲能否获得这次比赛的一等奖？
（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方复原这四个项目得分分别按 $ 10\% $，$ 40\% $，$ 20\% $，$ 30\% $ 折算记入总分，据此求出甲的总分；
（2）大赛组委会最后决定，总分为 $ 80 $ 分以上（包括 $ 80 $ 分）的学生获一等奖。现获悉乙、丙的总分分别是 $ 70 $ 分、$ 80 $ 分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后分数之和是 $ 20 $ 分，甲能否获得这次比赛的一等奖？
答案
（1）甲的总分：$66×10\% + 89×40\% + 86×20\% + 68×30\%$
$=66×0.1 + 89×0.4 + 86×0.2 + 68×0.3$
$=6.6 + 35.6 + 17.2 + 20.4$
$=79.8$（分）
（2）设趣题巧解、数学应用的百分比分别为$m$、$n$，七巧板、魔方复原的百分比分别为$p$、$q$。由题意得：
$\begin{cases}66p + 68q = 20\\66p + 60m + 80n + 68q = 70\\66p + 80m + 90n + 68q = 80\end{cases}$
化简得：$\begin{cases}60m + 80n = 50\\80m + 90n = 60\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m = 0.3\\n = 0.4\end{cases}$
甲的总分：$20 + 89×0.3 + 86×0.4 = 20 + 26.7 + 34.4 = 81.1$（分）
$81.1≥80$，能获得一等奖。
（1）79.8分；（2）能。
$=66×0.1 + 89×0.4 + 86×0.2 + 68×0.3$
$=6.6 + 35.6 + 17.2 + 20.4$
$=79.8$（分）
（2）设趣题巧解、数学应用的百分比分别为$m$、$n$，七巧板、魔方复原的百分比分别为$p$、$q$。由题意得：
$\begin{cases}66p + 68q = 20\\66p + 60m + 80n + 68q = 70\\66p + 80m + 90n + 68q = 80\end{cases}$
化简得：$\begin{cases}60m + 80n = 50\\80m + 90n = 60\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m = 0.3\\n = 0.4\end{cases}$
甲的总分：$20 + 89×0.3 + 86×0.4 = 20 + 26.7 + 34.4 = 81.1$（分）
$81.1≥80$，能获得一等奖。
（1）79.8分；（2）能。
