5. 如图1，一次函数 $ l_1 $ 的图象分别与 $ x,y $ 轴交于点 $ A,B(0,5) $，正比例函数 $ y = -3x $ 图象与 $ l_1 $ 交于点 $ M $，已知点 $ M $ 的横坐标是 $ -1 $.
(1)求一次函数 $ l_1 $ 的解析式；
(2)$ y $ 轴上有一动点 $ Q $，连接 $ QM,QA $，求 $ △ QMA $ 周长的最小值及此时点 $ Q $ 的坐标；
(3)在(2)的条件下，将一次函数 $ l_1 $ 的图象沿 $ y $ 轴向下平移经过点 $ O $，点 $ M $ 对应点为 $ M_1 $，点 $ N $ 是坐标平面内一点，当以 $ M_1,Q,N $ 为顶点的三角形是以 $ M_1Q $ 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点 $ N $ 的坐标.

(1) 设一次函数$ l_1 $的解析式为$ y = kx + b $。
∵点$ M $在$ y = -3x $上且横坐标为$-1$，∴$ M(-1, 3) $。
∵$ l_1 $过$ B(0,5) $，∴$ b = 5 $。
将$ M(-1, 3) $代入$ y = kx + 5 $，得$ 3 = -k + 5 $，解得$ k = 2 $。
∴$ l_1 $的解析式为$ y = 2x + 5 $。
(2) 令$ y = 0 $，则$ 2x + 5 = 0 $，解得$ x = -\frac{5}{2} $，∴$ A(-\frac{5}{2}, 0) $。
作$ A $关于$ y $轴的对称点$ A'(\frac{5}{2}, 0) $，连接$ A'M $交$ y $轴于$ Q $，此时$ QA + QM $最小。
设直线$ A'M $的解析式为$ y = mx + n $，将$ A'(\frac{5}{2}, 0) $，$ M(-1, 3) $代入：
$\begin{cases} \frac{5}{2}m + n = 0 \\ -m + n = 3 \end{cases}$，解得$\begin{cases} m = -\frac{6}{7} \\ n = \frac{15}{7} \end{cases}$。
∴直线$ A'M $：$ y = -\frac{6}{7}x + \frac{15}{7} $，令$ x = 0 $，得$ Q(0, \frac{15}{7}) $。
$ A'M = \sqrt{(\frac{5}{2} + 1)^2 + (0 - 3)^2} = \frac{\sqrt{85}}{2} $，$ MA = \sqrt{(-1 + \frac{5}{2})^2 + (3 - 0)^2} = \frac{3\sqrt{5}}{2} $。
∴$△ QMA$周长最小值为$\frac{\sqrt{85} + 3\sqrt{5}}{2}$，此时$ Q(0, \frac{15}{7}) $。
(3) 将$ l_1 $向下平移5个单位得$ y = 2x $，$ M_1(-1, -2) $。
以$ M_1Q $为腰的等腰直角三角形，分两种情况：
① 直角顶点为$ M_1 $：$ N_1(-\frac{36}{7}, -1) $，$ N_2(\frac{22}{7}, -3) $；
② 直角顶点为$ Q $：$ N_3(\frac{29}{7}, \frac{8}{7}) $，$ N_4(-\frac{29}{7}, \frac{22}{7}) $。
综上，点$ N $的坐标为$(-\frac{36}{7}, -1)$，$(\frac{22}{7}, -3)$，$(\frac{29}{7}, \frac{8}{7})$，$(-\frac{29}{7}, \frac{22}{7})$。

1. (2024·广元)如图1，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $.点 $ P $ 从点 $ A $ 出发沿 $ A \to C \to B $ 以 $ 1\ \mathrm{cm/s} $ 的速度匀速运动至点 $ B $，图2是点 $ P $ 运动时，$ △ ABP $ 的面积 $ y(\mathrm{cm}^2) $ 随时间 $ x(\mathrm{s}) $ 变化的函数图象，则该三角形的斜边 $ AB $ 的长为()


A.$ 5 $
B.$ 7 $
C.$ 3\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $

A

设AC=a cm，BC=b cm。点P速度为1cm/s，运动路径A→C→B，总时间为a+b=7s（由图2知总时间7s）。当P在AC上时，△ABP面积y=(1/2)·AP·BC=(1/2)xb，为增函数；P在CB上时，y=(1/2)·AC·PB=(1/2)a(7-x)，为减函数。图2中面积最大值6即△ABC面积，故(1/2)ab=6，ab=12。由a+b=7，得AB²=a²+b²=(a+b)²-2ab=49-24=25，AB=5。

2. (2024·广安)已知直线 $ l:y = \dfrac{\sqrt{3}}{3}x - \dfrac{\sqrt{3}}{3} $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A_1 $，以 $ OA_1 $ 为边作等边三角形 $ OA_1B_1 $，点 $ B_1 $ 在第一象限内，过点 $ B_1 $ 作 $ x $ 轴的平行线与直线 $ l $ 交于点 $ A_2 $，与 $ y $ 轴交于点 $ C_1 $，以 $ C_1A_2 $ 为边作等边三角形 $ C_1A_2B_2 $(点 $ B_2 $ 在点 $ B_1 $ 的上方)，以同样的方式依次作等边三角形 $ C_2A_3B_3 $，等边三角形 $ C_3A_4B_4 $，……则点 $ A_{2024} $ 的横坐标为.

$(\frac{5}{2})^{2023}$

直线$ l: y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} $与$ x $轴交于$ A_1 $，令$ y=0 $，解得$ x=1 $，则$ A_1(1,0) $，横坐标为$ 1 = (\frac{5}{2})^0 $。
过$ B_1 $作$ x $轴平行线$ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $，与$ l $交于$ A_2 $，代入$ y = \frac{\sqrt{3}}{2} $得$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} $，解得$ x = \frac{5}{2} $，$ A_2 $横坐标为$ \frac{5}{2} = (\frac{5}{2})^1 $。
过$ B_2 $作$ x $轴平行线$ y = \frac{7\sqrt{3}}{4} $，与$ l $交于$ A_3 $，代入得$ \frac{7\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3} $，解得$ x = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 $。
规律：$ A_n $横坐标为$ (\frac{5}{2})^{n-1} $。
故$ A_{2024} $横坐标为$ (\frac{5}{2})^{2023} $。