1. 给出下列函数关系式：① $ y = -x $；② $ y = 2x + 11 $；③ $ y = x^2 $；④ $ y = \dfrac{1}{x} $.其中一次函数的个数是()

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

B

一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$）。
①$y = -x$，可写成$y=-1× x+0$的形式，符合一次函数定义。
②$y = 2x + 11$，符合一次函数定义，其中$k = 2$，$b = 11$。
③$y = x^2$，自变量$x$的次数是$2$，不符合一次函数定义，是二次函数。
④$y=\frac{1}{x}$，可写成$y = x^{-1}$，自变量$x$的次数是$-1$，不符合一次函数定义，是反比例函数。
所以一次函数有①②，共$2$个。

2. (多选)结合一次函数 $ y = -3x + 5 $ 的函数图象，下列说法正确的是()

A.该函数图象经过点 $ (1,1) $
B.该函数图象经过第一，二，四象限
C.该函数图象与坐标轴围成的图形的面积为 $ \dfrac{25}{6} $
D.若点 $ P_1(x_1,y_1) $，$ P_2(x_2,y_2) $ 在该函数图象上，当 $ x_1 ＜ x_2 $ 时，则 $ y_1 ＞ y_2 $

BCD

A. 验证点 $(1,1)$：
代入$x = 1$，得$y = -3 × 1 + 5 = 2 ≠ 1$，故A错误。
B. 判断图象经过的象限：
斜率$k = -3 ＜ 0$，截距$b = 5 ＞ 0$，故图象经过第一，二，四象限，B正确。
C. 计算与坐标轴围成的图形面积：
令$x = 0$，得$y = 5$；
令$y = 0$，得$x = \frac{5}{3}$；
面积$S = \frac{1}{2} × 5 × \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$，C正确。
D. 判断单调性：
由于$k = -3 ＜ 0$，函数为减函数，故当$x_1 ＜ x_2$时，有$y_1 ＞ y_2$，D正确。

3. 如图，直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(-1,-2) $ 和点 $ B(-2,0) $，直线 $ y = 2x $ 过点 $ A $，则不等式 $ 2x ＜ kx + b ＜ 0 $ 的解集为.

$ -2 ＜ x ＜ -1 $（或区间 $(-2, -1)$）。

已知直线 $ y = kx + b $ 经过点 $ A(-1, -2) $ 和点 $ B(-2, 0) $，
代入点 $ A $：$ -2 = k · (-1) + b \implies -k + b = -2 $，
代入点 $ B $：$ 0 = k · (-2) + b \implies -2k + b = 0 $，
解方程组：
$ \begin{cases}-k + b = -2 ,\\ -2k + b = 0 .\end{cases} $
解得$ \begin{cases}k = -2 ,\\ b = -4 .\end{cases} $
因此直线的方程为 $ y = -2x - 4 $。
题目要求解不等式 $ 2x ＜ kx + b ＜ 0 $，即 $ 2x ＜ -2x - 4 ＜ 0 $。
解第一部分不等式 $ 2x ＜ -2x - 4 $：
$ 4x ＜ -4 \implies x ＜ -1 $。
解第二部分不等式 $ -2x - 4 ＜ 0 $：
$ -2x ＜ 4 \implies x ＞ -2 $。
综合解集为 $ -2 ＜ x ＜ -1 $。

4. 如图，正方形 $ ABCD $ 中，$ BC = 6 $，$ E $ 为 $ AB $ 边靠近点 $ B $ 的三等分点，$ F $ 为 $ BC $ 边的中点.动点 $ P $ 从 $ A $ 点出发，沿折线 $ A \to D \to C $ 运动，到 $ C $ 点停止运动.设点 $ P $ 运动路程为 $ x(0 ＜ x ＜ 12) $，$ △ PEF $ 的面积为 $ y $.

(1)请写出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式，并写出自变量 $ x $ 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)结合函数图象，若直线 $ y = \dfrac{1}{2}x + n $ 与上面的函数图象有两个交点，直接写出 $ n $ 的取值范围.

(1) 当点 $ P $ 在 $ AD $ 上（$ 0 ＜ x ≤ 6 $）时，$ P(0, x) $，$ E(4, 0) $，$ F(6, 3) $。
由坐标面积公式得：
$ y = \frac{1}{2} |0(0 - 3) + 4(3 - x) + 6(x - 0)| = \frac{1}{2} |12 + 2x| = x + 6 $。
当点 $ P $ 在 $ DC $ 上（$ 6 ＜ x ＜ 12 $）时，$ P(x - 6, 6) $，$ E(4, 0) $，$ F(6, 3) $。
由坐标面积公式得：
$ y = \frac{1}{2} |(x - 6)(0 - 3) + 4(3 - 6) + 6(6 - 0)| = \frac{1}{2} |-3x + 42| = -\frac{3}{2}x + 21 $。
综上，$ y = \begin{cases} x + 6 & (0 ＜ x ≤ 6) \\ -\frac{3}{2}x + 21 & (6 ＜ x ＜ 12) \end{cases} $。
(2) 函数图象为两条线段：第一段过点 $ (0, 6) $（空心）、$ (6, 12) $（实心）；第二段过点 $ (6, 12) $（实心）、$ (12, 3) $（空心）。
性质：当 $ 0 ＜ x ≤ 6 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大；当 $ 6 ＜ x ＜ 12 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而减小。
(3) $ 6 ＜ n ＜ 9 $。