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活动一：试一试 练一练
1. 解下列分式方程：
(1) $\frac{3}{x}=\frac{5}{x + 1}$；
(2) $\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$。
2. 经检验，第 1 题中方程(2)的解适合原方程吗？为什么？
1. 解下列分式方程：
(1) $\frac{3}{x}=\frac{5}{x + 1}$；
(2) $\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$。
2. 经检验，第 1 题中方程(2)的解适合原方程吗？为什么？
答案
活动一:1. (1) $ x = \dfrac{3}{2} $ (2) $ x = 2 $ (增根) 2. 不适合,使原方程的分母为 0
解析
【解析】
1. (1) 解方程$\frac{3}{x}=\frac{5}{x + 1}$：
去分母，两边同乘最简公分母$x(x+1)$，得$3(x+1)=5x$，
去括号、移项合并同类项得$-2x=-3$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
检验：$x=\frac{3}{2}$时，$x(x+1)≠0$，是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$：
先将右边变形为$\frac{1}{x - 2}=\frac{x-1}{x-2}-3$，
去分母，两边同乘$x-2$，得$1=x-1-3(x-2)$，
去括号、移项合并同类项得$2x=4$，
解得$x=2$，
检验：$x=2$时，$x-2=0$，是增根。
2. 第1题方程(2)的解$x=2$不适合原方程，因为$x=2$使原方程的分母$x-2$和$2-x$都为0，分式无意义。
【答案】
1. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x=2$（增根）
2. 不适合，因为该解使原方程的分母为0
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定
【点评】
解分式方程必须进行检验，若解使最简公分母为0，则为增根，原方程无解，检验是解分式方程的必要步骤，切勿遗漏。
【难度系数】
0.6
1. (1) 解方程$\frac{3}{x}=\frac{5}{x + 1}$：
去分母，两边同乘最简公分母$x(x+1)$，得$3(x+1)=5x$，
去括号、移项合并同类项得$-2x=-3$，
解得$x=\frac{3}{2}$，
检验：$x=\frac{3}{2}$时，$x(x+1)≠0$，是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{1}{x - 2}=\frac{1 - x}{2 - x}-3$：
先将右边变形为$\frac{1}{x - 2}=\frac{x-1}{x-2}-3$，
去分母，两边同乘$x-2$，得$1=x-1-3(x-2)$，
去括号、移项合并同类项得$2x=4$，
解得$x=2$，
检验：$x=2$时，$x-2=0$，是增根。
2. 第1题方程(2)的解$x=2$不适合原方程，因为$x=2$使原方程的分母$x-2$和$2-x$都为0，分式无意义。
【答案】
1. (1) $x=\frac{3}{2}$；(2) $x=2$（增根）
2. 不适合，因为该解使原方程的分母为0
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定
【点评】
解分式方程必须进行检验，若解使最简公分母为0，则为增根，原方程无解，检验是解分式方程的必要步骤，切勿遗漏。
【难度系数】
0.6
1. 什么叫作分式方程的增根？你认为在解分式方程的过程中哪一步变形可能引起增根？
答案
活动二:1. 使分式方程分母为 0 的根,叫作分式方程的增根,分式方程去分母时可能引起增根
解析
【解析】
分式方程的增根是指使分式方程分母为0的根；在解分式方程的过程中，去分母这一步变形可能引起增根，因为去分母时两边同乘的整式可能为0，将分式方程转化为整式方程后，整式方程的根可能会使原分式方程的分母为0，从而成为增根。
【答案】
使分式方程分母为0的根，叫作分式方程的增根，分式方程去分母时可能引起增根
【知识点】
分式方程增根定义、分式方程增根成因
【点评】
本题为分式方程的基础概念题，理解增根的定义及产生原因，是正确解分式方程并检验根的合理性的重要前提。
【难度系数】
0.8
分式方程的增根是指使分式方程分母为0的根；在解分式方程的过程中，去分母这一步变形可能引起增根，因为去分母时两边同乘的整式可能为0，将分式方程转化为整式方程后，整式方程的根可能会使原分式方程的分母为0，从而成为增根。
【答案】
使分式方程分母为0的根，叫作分式方程的增根，分式方程去分母时可能引起增根
【知识点】
分式方程增根定义、分式方程增根成因
【点评】
本题为分式方程的基础概念题，理解增根的定义及产生原因，是正确解分式方程并检验根的合理性的重要前提。
【难度系数】
0.8
2. 为什么解分式方程必须检验？如何检验比较简便？
答案
2. 因为解分式方程的过程中可能产生增根,所以解分式方程必须检验,将解得的根代入公分母,若为 0,则为增根
解析
【解析】
解分式方程时，需通过去分母将其转化为整式方程求解，此过程中可能会产生使原分式方程分母为0的根（即增根），增根不是原分式方程的解，因此必须检验。简便检验方法为：将解得的根代入原方程的公分母，判断其值是否为0。
【答案】
因为解分式方程的过程中可能产生增根，所以解分式方程必须检验；简便检验方法是将解得的根代入公分母，若公分母为0，则该根为增根，应舍去，否则是原方程的解。
【知识点】
分式方程的增根、分式方程的检验
【点评】
本题聚焦解分式方程的检验环节，明确检验是解分式方程的必要步骤，掌握简便检验方法可有效提升解题的准确性与效率。
【难度系数】
0.8
解分式方程时，需通过去分母将其转化为整式方程求解，此过程中可能会产生使原分式方程分母为0的根（即增根），增根不是原分式方程的解，因此必须检验。简便检验方法为：将解得的根代入原方程的公分母，判断其值是否为0。
【答案】
因为解分式方程的过程中可能产生增根，所以解分式方程必须检验；简便检验方法是将解得的根代入公分母，若公分母为0，则该根为增根，应舍去，否则是原方程的解。
【知识点】
分式方程的增根、分式方程的检验
【点评】
本题聚焦解分式方程的检验环节，明确检验是解分式方程的必要步骤，掌握简便检验方法可有效提升解题的准确性与效率。
【难度系数】
0.8
(1) 分式方程 $\frac{2}{x}=\frac{3}{x - 1}$ 的解为
$x = - 2$
；答案
【检测反馈】 1. (1) $ x = - 2 $
解析
【解析】
解：去分母，两边同乘$x(x-1)$，得
$2(x-1)=3x$，
去括号，得
$2x-2=3x$，
移项、合并同类项，得
$-x=2$，
系数化为1，得
$x=-2$，
检验：把$x=-2$代入$x(x-1)=(-2)×(-3)=6≠0$，
所以$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
解分式方程需通过去分母转化为整式方程求解，求解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
解：去分母，两边同乘$x(x-1)$，得
$2(x-1)=3x$，
去括号，得
$2x-2=3x$，
移项、合并同类项，得
$-x=2$，
系数化为1，得
$x=-2$，
检验：把$x=-2$代入$x(x-1)=(-2)×(-3)=6≠0$，
所以$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的检验
【点评】
解分式方程需通过去分母转化为整式方程求解，求解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.8
(2) 分式方程 $\frac{1}{x - 3}+7=\frac{x - 4}{3 - x}$ 有增根，增根为
$x = 3$
；答案
【检测反馈】 1. (2) $ x = 3 $
解析
【解析】
分式方程的增根是使最简公分母为0的根。原方程的最简公分母为$x - 3$，令$x - 3 = 0$，解得$x = 3$，将$x = 3$代入原方程，分母为0，符合增根的定义，故增根为$x = 3$。
【答案】
$x = 3$
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的定义，求解时需先确定最简公分母，再令其为0得到增根，需明确增根是使原分式方程分母为0的根。
【难度系数】
0.8
分式方程的增根是使最简公分母为0的根。原方程的最简公分母为$x - 3$，令$x - 3 = 0$，解得$x = 3$，将$x = 3$代入原方程，分母为0，符合增根的定义，故增根为$x = 3$。
【答案】
$x = 3$
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的定义，求解时需先确定最简公分母，再令其为0得到增根，需明确增根是使原分式方程分母为0的根。
【难度系数】
0.8
(3) 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2x}{x - 1}=\frac{m}{x - 1}+5$ 有增根，则 $m$ 的值是
2
。答案
【检测反馈】 1. (3) 2
解析
【解析】
1. 确定分式方程的增根：分式方程的增根是使分母为0的根，原方程分母为$x-1$，令$x-1=0$，得增根$x=1$。
2. 去分母：方程两边同乘$(x-1)$，化为整式方程：$2x = m + 5(x-1)$。
3. 代入增根求$m$：将$x=1$代入整式方程，得$2×1 = m + 5×(1-1)$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义：增根是使原分式方程分母为0的根，虽不是原分式方程的解，但满足去分母后的整式方程。解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解参数值。
【难度系数】
0.7
1. 确定分式方程的增根：分式方程的增根是使分母为0的根，原方程分母为$x-1$，令$x-1=0$，得增根$x=1$。
2. 去分母：方程两边同乘$(x-1)$，化为整式方程：$2x = m + 5(x-1)$。
3. 代入增根求$m$：将$x=1$代入整式方程，得$2×1 = m + 5×(1-1)$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的定义：增根是使原分式方程分母为0的根，虽不是原分式方程的解，但满足去分母后的整式方程。解题关键是先确定增根，再代入整式方程求解参数值。
【难度系数】
0.7
